Функция Дирака

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Функция Дирака

Выполнила студентка V курса

математического факультета Прокашева Е.В.

________________________________/подпись/

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Ончукова Л.В.

________________________________/

подпись/

Рецензент:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Фалелеева С.А.

________________________________/
подпись/

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Определение функции Дирака......................................................... 4

1.1. Основные понятия................................................................................ 4

1.2. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака………...10

1.2.1. Задача об импульсе ……………………………………………….10

1.2.2.Задача о плотности материальной точки……………………........11

1.3. Математическое определение дельта-функции………………………..16

Глава 2. Применение функции Дирака…………………………………………19

2.1. Разрывные функции и их производные………………………………….19

2.2. Нахождение производных разрывных функций………………………...21

Заключение………………………………………………………………………25

Введение

Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и более «высокой математики», одним из достижений которой являются обобщенные функции, в частности функция Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в вычислениях, автоматизируя элементарные операции.

Цели данной работы:

1) изучить понятие функции Дирака;

2) рассмотреть физический и математический подходы к ее определению;

3) показать применение к нахождению производных разрывных функций.

Задачи работы: показать возможности использования дельта-функции в математике и физике.

В работе представлены различные способы определения и введения дельта-функции Дирака, ее применение при решении задач.

Глава 1

Определение функции Дирака

1.1. Основные понятия.

В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x),оказывается недостаточным.

Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.

В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.

П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» [5] определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:

.

Кроме того задается условие:

Наглядно можно представить график функции, похожей на δ(x), как показано на рисунке 1. Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(
x
) = 0
при x
≠ 0
, функция приближается к дельта-функции.

Такое представление общепринято в физике.

Следует подчеркнуть, что δ(
x
)
не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

при и .

В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.

Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:

Определение 1.Изображением функцииf(t) или L - изображением заданной функции f(t) называют функцию комплексной переменной p,определяемую равенством:

При этом будем считать, что при t
<0
f
(
t
)=0
, а при t
>0
выполняется неравенство , где М
и а
– некоторые положительные постоянные.

Определение 2.
Функция f
(
t
)
, определенная так:

,

называется единичной функцией Хевисайда
и обозначается через . График этой функции изображен на рис.2

Найдем L
– изображение функции Хевисайда:

.

Итак,

(1)

Пусть функция f(t) при t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t0
) будет тождественно равна нулю при t<t0
(рис.4).

Для нахождения изображения δ(x) с помощью вспомогательной функции рассмотрим теорему запаздывания:

Теорема 1.
Если
F
(
p
) есть изображение функции
f
(
t
), то есть изображение функции
f
(
t
-
t
0
), то есть если
L
{
f
(
t
)}=
F
(
p
), то
.

Доказательство.

По определению изображения имеем

.

Первый интеграл равен нулю, так как f
(
t
-
t
0
)=0
при t
<
t
0
. В последнем интеграле сделаем замену переменной t
-
t
0
=
z
:

.

Таким образом, .

Для единичной функции Хевисайда было установлено, что
. На основании доказанной теоремы следует, что для функции , L
–
изображением будет , то есть

(2)

Определение 3.
Непрерывная или кусочно-непрерывная функция δ(
t
,
λ
)
аргумента t
, зависящая от параметра λ
, называется иглообразной
, если:

1) при ;

2) при ;

3)

Определение 4.
Числовую функцию f
, определенную на некотором линейном пространстве L
, называют функционалом
.

Зададим совокупность тех функций, на которых будут действовать функционалы. В качестве этой совокупности рассмотрим множество K
всех вещественных функций φ(
x
)
, каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, то есть обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций φ(
x
)
). Эти функции будем называть основными
, а всю их совокупность К
– основным пространством
.

Определение 5
. Обобщенной функцией
называется всякий линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К
.

Расшифруем определение обобщенной функции:

1) обобщенная функция f
есть функционал на основных функциях φ
, то есть каждой φ
сопоставляется (комплексное) число (
f
, φ)
;

2) функционал f
линейный, то есть для любых комплексных чисел λ1
и λ2
и любых основных функций φ1
и φ2
;

3) функционал f
непрерывный, то есть , если .

Определение 6.
Импульс
– одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения[2, стр. 482].

Определение 7.
Средняя плотность
– отношение массы тела m
к его объему V
, то есть [2, стр. 134].

Теорема 2.
(Обобщенная теорема о среднем).

Если
f
(
t
) – непрерывная, а - интегрируемая функции на [
a
;
b
], причем на этом отрезке не меняет знака, то , где
[1, стр. 228].

Теорема 3.
Пусть функция
f
(
x
), ограничена на [
a
,
b
] и имеет не более конечного числа точек разрыва. Тогда функция
является первообразной для функции
f
(
x
) на отрезке [
a
,
b
] и для любой первообразной Ф(
x
) справедлива формула
[1, стр. 220].

Определение 8.
Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном пространстве Е
, образует линейное пространство. Оно называется пространством, сопряженным
с Е
, и обозначается Е*
.

Определение 9.
Линейное пространство Е
, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством
.

Определение 10.
Последовательность называется слабо сходящейся
к , если для каждого выполнено соотношение .

Теорема 4.
Если {
xn
} – слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что
[10, стр. 187].

1.2 Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака.

С физической точки зрения, функция Дирака, применяемая в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные в одной точке величины (нагрузка, заряд и т. п.), представлена как простейшая обобщенная функция, позволяющая записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке a
пространства Rn
. Она характеризует, например, плотность распределения масс, при котором в одной точке сосредоточена единичная масса, а любой интервал, не содержащий этой точки, свободен от масс.

1.2.1.Задача об импульсе.

Рассмотрим функцию

,

изображенную на рис.5.

Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0
до h
, а в остальное время равную нулю, то импульс этой силы, вычисляемый по формуле равен единице.

На основании формул (1) и (2) изображение этой функции будет

.

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию δ(
t
)
как предел функции при :

.

Эту функцию называют единичной импульсной функцией
или дельта-функцией
, причем , так как импульс силы равен единице.

1.2.2. Задача о плотности материальной точки.

Попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1.

Положим, что эта точка есть начало координат. Чтобы определить плотность, распределим единичную массу равномерно внутри шара радиуса ε
с центром в 0
. В результате получим среднюю плотность fε
(
x
)
, равную

Но нас интересует плотность при (т.е. ε
стремится к 0
справа). Примем сначала в качестве искомой плотности δ(
x
)
предел последовательности средних плотностей fε
(
x
)
при , то есть функцию

(3)

От плотности δ
естественно требовать, чтобы интеграл от нее по всему пространству давал бы полную массу вещества, то есть

. (4)