Министерство образования и науки
Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Филиал государственного образовательного учреждения
Высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
В г. Тобольске
Специальность «Финансы и кредит»
Контрольная работа
Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика»
Вариант №8
Выполнила:
№ зачетной книжки:
№ группы:
Домашний адрес:
Тобольск, 2009
1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?
Решение
Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3.
N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)=
Отсюда получаем:
Число таких вариантов равно:
Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности
2. Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.
Решение
Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли:
, где q=1-p
По условию задачи вероятность назначения оператора равна , значит
3. Опыт состоит в четырехкратном выборе с вращением одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?
Решение
Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из четырёх элементов по четыре элемента, т.е.
N
= =
Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому
Р(А
) = = 0,00390625 ≈ 0,004
Ответ: 0,004.
4. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?
Решение
детали брак
1 автомат 70% 2%
2 автомат (100-70)% 5%
Введём обозначения для событий: А
- взятая деталь оказалась бракованной; В1
, В2
– эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем:
Р(В1
) = 0,7; Р(В2
) = 0,3
=0,02 = 0,05
По формуле Байеса РА
(Вk
) = (k
= 1, 2, …, п
) находим
РА
(В2
) = = = ≈ 0,52
5. В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.
Решение
Пусть событие А состоит в том, что в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса:
, где и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса.
По условию задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит
вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485
Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x:
По таблице значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628
Теперь
6. Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x).
Решение
0 x
≤ -1,5
а)
f(x) = F'(x) f(x) = -1,5 < x
≤ 1,5
0 x
> 1,5
b
)
P (a ≤ x
≤ b) = =>
= > P (-1,5 ≤ x
≤ 1,5) = = = (1,5 - 0,5) = ≈ 0,33
c
)
М(х)== = = ≈ 0,75
D(x)== = 3,9375 ≈ 4
Построим графики F(x) и f(x)
7. Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд.
а) Построить гистограмму и полигон частот.
b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.
с) Вычислить числовые характеристики:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратичное отклонение;
3) асимметрию;
4) эксцесс;
5) коэффициент вариаций.
d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx
и ех
и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
е) Определить точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x).
f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.
g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).
Время выполнения упражнения (с):
| Границы интервалов | 9,35-9,45 | 9,45-9,55 | 9,55-10,05 |
| Частоты | 5 | 7 | 2 |
Решение
| Границы интервалов
|
9,35-9,45 | 9,45-9,55 | 9,55-10,05 | |
| Середины интервалов
|
9,40 | 9,50 | 9,80 | |
| Частоты
|
5 | 7 | 2 | п =
14 |
а)
Построим гистограмму и полигон частот.
Гистограмма частот
Полигон частот
b
)
Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически.
Найдём объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14
Зная, что
0 при x < x1
при xk
≤ x ≤ xk
+1
(k € N)
1 при x ≤ xs
, при 9,35 < x
< 9,45
, при 9,45 < x
< 9,55
, при 9,55 < x
< 10,05
можем записать эмпирическую функцию и изобразить графически:
0 при х ≤ 9,35
при 9,35 < x
< 9,45
, при 9,45 < x
< 9,55
1 при 9,55 ≤ x
с)
Вычислим числовые характеристики:
1. выборочную среднюю;
,
в данной задаче в качестве xi
возьмём серидины интервалов, а ni
– соответствующие этим интервалам частоты.
≈ 7,18
2. выборочное среднее квадратичное отклонение;
,
W
6,23
3. асимметрию;
,
≈ 12,74
≈ 0,05
4. эксцесс;
,
≈ 30
-3 = -2,98017 ≈ -3
5. коэффициент вариаций.
0,87
d
)
По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx
и ех
и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
Решение:
Сделаем предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
· аx
= 0,05 и ех
= -3, что неприемлимо для нормального закона распределения.
· М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) = = 7,18, а σ(х) = 6,23 => отпадает версия о показательном распределении.
· При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а
D(х)=dB
= = ≈ ≈ 5,44 => и этот закон отпадает.
· Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена по биноминальному закону распределения.
е)
Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x).
Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а
– это математическое ожидание М(х), а параметр b
– это среднее квадратичное отклонение σ(х).
Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так:
а
= М(х) = 7,18 , b
= σ(х) = 6,23.
f
)
Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.
При нахождении теоретических частот за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и σв
, т.е.
m = = 7,18 , G = σв
= 6,23
, где n
– объём выборки, n
=
14
р
i
– величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i
-ый интервал.
р
i
= р
(а
i
< x ≤ b
i
) ≈ ,
,
| ai
|
bi
|
ni
|
T1i
|
T2i
|
1/2 Ф(T1i
) |
1/2 Ф(T2i
) |
pi
|
pi
*n |
Mti
|
| 9,35 | 9,45 | 5 | 0,35 | 0,36 | 0,1847 | 0,19465 | 0,00995 | 0,04975 | 0,05 |
| 9,45 | 9,55 | 7 | 0,36 | 0,38 | 0,19465 | 0,2045 | 0,00985 | 0,06895 | 0,07 |
| 9,55 | 10,05 | 2 | 0,38 | 0,46 | 0,2045 | 0,24235 | 0,03785 | 0,0757 | 0,08 |
g
)
Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).
, γ = 0,95.
где = δ – точность оценки,
n – объём выборки,
t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) = = 0,475 => t = 1,96
δ = 1,96 * = 3,27
7,18 – 3,27 < < 7,18 + 3,27
3,91 < < 10,45
S = = = ≈ 5,86 ,
где S – исправленное среднее квадратическое отклонение
S( 1 - q) < σ < S( 1 + q) если q < 1
0 < σ < S( 1 + q) если q < 1
По данным задачи γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак:
6,23*( 1 – 0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48)
3,2396 < σ < 9,2204
3,2 <
σ
< 9,2
Математическое ожидание найдём при неизвестном σ
нормального распределения.
По таблице в специальном приложении к учебнику определим tγ
=> tγ
= 2,16
6,23 – 2,16*
2,8535 9,6157
2,9
9,6
8. Зависимость между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется:
а) вычислить выборочный коэффициент корреляции;
b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y на X.
X – стрела кривизны рельса, см.
Y – количество дефектов рельса, см на 25 м.
Y X |
6,75-7,25 | 7,25-7,75 | 7,75-8,25 | 8,25-8,75 |
| 0 | 2 | 1 | 2 | |
| 5 | 1 | 2 | ||
| 10 | 1 | |||
| 15 | 2 | 4 | ||
| 20 | 1 | 1 | 3 |
Решение
а) вычислим выборочный коэффициент корреляции;
, Cxy
= M(xy) – M(x)M(y) , M(xy) =
Y X |
6,75-7,25 | 7,25-7,75 | 7,75-8,25 | 8,25-8,75 | nx
|
| 7 | 7,5 | 8 | 8,5 | ||
| 0 | 2 | 1 | 2 | 5 | |
| 5 | 1 | 2 | 3 | ||
| 10 | 1 | 1 | |||
| 15 | 2 | 4 | 6 | ||
| 20 | 1 | 1 | 3 | 5 | |
| ny
|
2 | 5 | 3 | 10 | 20
|
M(x) = mx
=
M(x) = mx
= 20* + 15* + 10* + 5* + 0 = = 10,75
M(y) = my
= 7* + 7,5* + 8* + 8,5* = = =8,025
M(xy) = 20*+ 15* +10* + + 5* =87,875
D(x) = M(x2
) – [M(x)]2
= 202
*+152
*+102
*+52
*+ 0- -87,8752
= 176,25 - 115,56 = 60,6875
D(y) = M(y2
) – [M(y)]2
= 72
* + 7,52
* + 82
* + 8,52
* - 8,0252
= 64,6875 - - 64,40063 = 0,286875
σ(х) = = ≈ 7,8
σ(y) = = ≈ 0,54
= = 0,384961383 ≈ 0,4
Если || * 3, то связь между случайными величинами x
и y
достаточно вероятна.
|0,4|* ≈ 1,39 < 3 – связь между случайными величинами x
и y
мало вероятна.
b) составим уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y на X.
=
= = = 10 , = = = 7,75
- 10 = 0,4 ** (y - 7,75)
= 5,78y – 44,78 + 10
= 5,78y – 34,78 – уравнение прямой линии регрессии X на Y
=
– 7,75 = 0,4 ** (х
- 10)
= 0,03y – 0,28 +7,75
= 0,38y + 7,47 - уравнение прямой линии регрессии Y на X