Содержание
Задача 1. 2
Задача 2. 4
Задача 3. 6
Задача 1
Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3
-7х и D(x)=2х2
+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?
Решение
Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:
,
,
.
Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .
- не удовлетворяет условию задачи,
.
График функции прибыли представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 - График функции прибыли
Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
млн. у.е.
Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.
Задача 2
Заданы: функция прибыли , где х1
и х2
– объемы некоторых ресурсов; цены р1
=1 и р2
=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?
Решение
Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :
при .
,
.
Найдем максимум функции графически.
Рисунок 2 – График функции
Как видно, функция достигает максимального значения при х1
=90.
,
.
Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1
=90 и х2
=60.
Задача 3
Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
| х | у | |
| 1 | 5 | 70 |
| 2 | 11 | 65 |
| 3 | 15 | 55 |
| 4 | 17 | 60 |
| 5 | 2 | 50 |
| 6 | 22 | 35 |
| 7 | 25 | 40 |
| 8 | 27 | 30 |
| 9 | 30 | 25 |
| 10 | 35 | 32 |
1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.
2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.
5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0
и b1
.
8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0
и b1
.
9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X.
10) Найдите коэффициент детерминации R2
и поясните смысл полученного результата.
Решение.
1) Корреляционное поле случайных величин X и Y
2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации
Таблица 2 – Вспомогательные расчеты
| х | у | х2
|
y2
|
xy | |
| 1 | 5 | 70 | 25 | 4900 | 350 |
| 2 | 11 | 65 | 121 | 4225 | 715 |
| 3 | 15 | 55 | 225 | 3025 | 825 |
| 4 | 17 | 60 | 289 | 3600 | 1020 |
| 5 | 2 | 50 | 4 | 2500 | 100 |
| 6 | 22 | 35 | 484 | 1225 | 770 |
| 7 | 25 | 40 | 625 | 1600 | 1000 |
| 8 | 27 | 30 | 729 | 900 | 810 |
| 9 | 30 | 25 | 900 | 625 | 750 |
| 10 | 35 | 32 | 1225 | 1024 | 1120 |
| сумма | 189 | 462 | 4627 | 23624 | 7460 |
| средн | 18,9 | 46,2 | 462,7 | 2362,4 | 746 |
Математическое ожидание:
,
.
Дисперсия:
,
.
Среднеквадратическое отклонение:
,
.
Размах вариации:
,
.
3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции
Ковариация:
.
Коэффициент корреляции:
.
4) Уравнение линейной регрессии Y на X
,
,
.
5) Уравнение линейной регрессии X на Y
,
,
.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
Точка пересечения (18,4;46,9).
7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0
и b1
Таблица 3 – Вспомогательные расчеты
| х | у | x' | y' | x-xcp
|
y-ycp
|
(x-xcp
)2 |
(y-ycp
)2 |
|
| 1 | 5 | 70 | 5,572 | 62,975 | -13,028 | 16,775 | 169,7288 | 281,4006 |
| 2 | 11 | 65 | 8,3645 | 55,745 | -10,2355 | 9,545 | 104,7655 | 91,10702 |
| 3 | 15 | 55 | 13,9495 | 50,925 | -4,6505 | 4,725 | 21,62715 | 22,32562 |
| 4 | 17 | 60 | 11,157 | 48,515 | -7,443 | 2,315 | 55,39825 | 5,359225 |
| 5 | 2 | 50 | 16,742 | 66,59 | -1,858 | 20,39 | 3,452164 | 415,7521 |
| 6 | 22 | 35 | 25,1195 | 42,49 | 6,5195 | -3,71 | 42,50388 | 13,7641 |
| 7 | 25 | 40 | 22,327 | 38,875 | 3,727 | -7,325 | 13,89053 | 53,65563 |
| 8 | 27 | 30 | 27,912 | 36,465 | 9,312 | -9,735 | 86,71334 | 94,77023 |
| 9 | 30 | 25 | 30,7045 | 32,85 | 12,1045 | -13,35 | 146,5189 | 178,2225 |
| 10 | 35 | 32 | 26,795 | 26,825 | 8,195 | -19,375 | 67,15803 | 375,3906 |
| сумма | 189 | 462 | 188,643 | 462,255 | 2,643 | 0,255 | 711,7565 | 1531,748 |
| средн | 18,9 | 46,2 | 18,8643 | 46,2255 | 0,2643 | 0,0255 | 71,17565 | 153,1748 |
Для линии регрессии Y на X:
,
,
.
Для линии регрессии X на Y:
,
,
.
8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0
и b1
Для α
=0,05 и k
=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t
=2,31
Для линии регрессии Y на X:
, коэффициент значим,
, коэффициент значим.
Для линии регрессии X на Y:
, коэффициент значим,
, коэффициент значим.
9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0
и b1
регрессии Y на X
Доверительный интервал для b0
:
<a0
<,
<a0
<,
54,97<a0
<83,03.
Доверительный интервал для b1
:
<a1
<,
<a1
<,
-1,23<a1
<-1,17.
10) Коэффициент детерминации R2
:
.
Коэффициент детерминации R2
=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.