Задание на курсовую работу
1. Построить вариационный ряд
2. Рассчитать числовые характеристики статистического ряда:
а) Размах варьирования.
б) Среднее арифметическое значение.
в) Оценки дисперсии.
г) Оценки среднеквадратического отклонения.
д) Мода.
е) Медиана.
ж) Коэффициент вариации.
3. Построить полигон и гистограмму относительных частот.
4. Построить эмпирическую функцию распределения.
5. Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова.
6. Вычислить асимметрию и эксцесс.
7. Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%.
8. Выводы.
Данные по выборке вариант 34
| -678 | -752 | -624 | -727 | -612 | -632 | -704 | -697 | -627 | -727 |
| -561 | -748 | -686 | -676 | -676 | -696 | -717 | -694 | -700 | -707 |
| -680 | -681 | -687 | -656 | -692 | -644 | -805 | -758 | -695 | -722 |
| -706 | -704 | -681 | -608 | -647 | -699 | -658 | -686 | -689 | -643 |
| -701 | -716 | -731 | -623 | -693 | -703 | -731 | -700 | -765 | -697 |
| -662 | -705 | -667 | -677 | -701 | -678 | -667 | -673 | -697 | -701 |
| -597 | -716 | -689 | -694 | -695 | -729 | -700 | -717 | -647 | -673 |
| -690 | -578 | -703 | -688 | -666 | -670 | -671 | -693 | -688 | -646 |
| -667 | -689 | -711 | -731 | -604 | -691 | -675 | -686 | -670 | -703 |
| -696 | -702 | -660 | -662 | -681 | -666 | -677 | -645 | -746 | -685 |
1. Построение вариационного ранжированного ряда
Сортируем экспериментальные данные по возрастанию. Получаем вариационный ряд.
Таблица 1
| -805 | -727 | -705 | -700 | -695 | -689 | -681 | -673 | -662 | -632 |
| -765 | -727 | -704 | -700 | -694 | -688 | -680 | -671 | -660 | -627 |
| -758 | -722 | -704 | -700 | -694 | -688 | -678 | -670 | -658 | -624 |
| -752 | -717 | -703 | -699 | -693 | -687 | -678 | -670 | -656 | -623 |
| -748 | -717 | -703 | -697 | -693 | -686 | -677 | -667 | -647 | -612 |
| -746 | -716 | -703 | -697 | -692 | -686 | -677 | -667 | -647 | -608 |
| -731 | -716 | -702 | -697 | -691 | -686 | -676 | -667 | -646 | -604 |
| -731 | -711 | -701 | -696 | -690 | -685 | -676 | -666 | -645 | -597 |
| -731 | -707 | -701 | -696 | -689 | -681 | -675 | -666 | -644 | -578 |
| -729 | -706 | -701 | -695 | -689 | -681 | -673 | -662 | -643 | -561 |
Вывод: Вариационный ряд послужит нам для облегчения дальнейших расчетов, и для определения относительных частот и разделения на интервалы и расчета ряда числовых характеристик.
2. Расчет числовых характеристик статистического ряда
2.1 Размах варьирования
Размах варьирования вычисляется по формуле:
(2.1)
где R
– размах варьирования;
x
max
– максимальный элемент вариационного ряда;
xmin
– минимальный элемент вариационного ряда;
x
max
=
– 561
xmin
= -805
R
= -561+805=244
2.2 Среднеарифметическое значение статистического ряда
(2.2)
где ni
– частота варианты xi
;
xi
– варианта выборки;
n = ∑ ni
– объем выборки;
Распределение выборки представлено в таблице 2.
Таблица 2
| Xi | n | Xi | n | Xi | n | Xi | n | Xi | n | Xi | n | Xi | n |
| -805 | 1 | -717 | 2 | -700 | 3 | -689 | 3 | -675 | 1 | -647 | 2 | -608 | 1 |
| -765 | 1 | -716 | 2 | -699 | 1 | -688 | 2 | -673 | 2 | -646 | 1 | -604 | 1 |
| -758 | 1 | -711 | 1 | -697 | 3 | -687 | 1 | -671 | 1 | -645 | 1 | -597 | 1 |
| -752 | 1 | -707 | 1 | -696 | 2 | -686 | 3 | -670 | 2 | -644 | 1 | -578 | 1 |
| -748 | 1 | -706 | 1 | -695 | 2 | -685 | 1 | -667 | 3 | -643 | 1 | -561 | 1 |
| -746 | 1 | -705 | 1 | -694 | 2 | -681 | 3 | -666 | 2 | -632 | 1 | ||
| -731 | 3 | -704 | 2 | -693 | 2 | -680 | 1 | -662 | 2 | -627 | 1 | ||
| -729 | 1 | -703 | 3 | -692 | 1 | -678 | 2 | -660 | 1 | -624 | 1 | ||
| -727 | 2 | -702 | 1 | -691 | 1 | -677 | 2 | -658 | 1 | -623 | 1 | ||
| -722 | 1 | -701 | 3 | -690 | 1 | -676 | 2 | -656 | 1 | -612 | 1 |
2.3 Оценка дисперсии
(2.3)
где s2
– несмещенная оценка генеральной дисперсии;
2.4 Оценка среднего квадратического отклонения
(2.4)
2.5 Определение моды
Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.
Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n
=3имеют варианты x
= -731, x
= -703,x
= -701,x
= -700,x
= -697, x
= -689,x
= -686, x
= -681, x
= -667.
2.6 Определение медианы
Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:
МВ
=(
xk
+
xk
+1
)/2
(2.5.)
где xk
– пятидесятый член вариационного ряда;
x
k+1
– пятьдесят первый член вариационного ряда;
n
–
Количество вариант и n
=2*
k
МВ
=(
xk
+
xk
+1
)/2=(-689–689)/2= -689
2.7 Расчет коэффициента вариации
Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:
(2.6)
Вывод:
Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.
Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.
В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.
3. Построение полигона и гистограммы относительных частот
Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.
Таблица 3
Номер интервала I
|
Частичный интервал xi
–xx +1 |
Сумма относительных частот wi
|
Плотность частот |
|
| xi
|
xx
+1 |
|||
| 1 | -805 | -780,6 | 0,01 | 0,00041 |
| 2 | -780,6 | -756,2 | 0,02 | 0,00082 |
| 3 | -756,2 | -731,8 | 0,03 | 0,00123 |
| 4 | -731,8 | -707,4 | 0,12 | 0,00492 |
| 5 | -707,4 | -683 | 0,4 | 0,01639 |
| 6 | -683 | -658,6 | 0,24 | 0,00984 |
| 7 | -658,6 | -634,2 | 0,08 | 0,00328 |
| 8 | -634,2 | -609,8 | 0,05 | 0,00205 |
| 9 | -609,8 | -585,4 | 0,03 | 0,00123 |
| 10 | -585,4 | -561 | 0,02 | 0,00082 |
По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).
Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.
Рис 1.
Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.
4. Построение эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:
(4.1)
где nx
– число вариант меньших х
;
n
–
объем выборки.
По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.
Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:
| F(x) | Интервал | ||
| 0 | X< | -792,8 | |
| 0,01 | -792,8 | <x< | -768,4 |
| 0,02 | -768,4 | <x< | -744 |
| 0,03 | -744 | <x< | -719,6 |
| 0,05 | -719,6 | <x< | -695,2 |
| 0,08 | -695,2 | <x< | -670,8 |
| 0,12 | -670,8 | <x< | -646,4 |
| 0,19 | -646,4 | <x< | -622 |
| 0,27 | -622 | <x< | -597,6 |
| 0,41 | -597,6 | <x< | -573,2 |
| 0,67 | -573,2 | <x< | -548,8 |
| 1 | x> | -548,8 | |
Вывод:
Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности
5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова
Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.
В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.
– Среднее арифметическое значение
– Количество вариантов
– Шаг интервалов
– Оценка среднеквадратического отклонения.
Вычислим данные по таблице:
| I | ni | Xi | X (i+1) | Zi | Z (I+1) |
|
||||||
| 1 | 1 | -805 | -780,6 | -2,7340 | -0,5 | -0,469 | 3,1 | 1,4226 | 0,3226 | |||
| 2 | 1 | -780,6 | -756,2 | -2,7340 | -2,1140 | -0,469 | -0,408 | 6,1 | 4,2639 | 0,1639 | ||
| 3 | 4 | -756,2 | -731,8 | -2,1140 | -1,4941 | -0,408 | -0,285 | 12,3 | 5,6008 | 1,3008 | ||
| 4 | 7 | -731,8 | -707,4 | -1,4941 | -0,8741 | -0,285 | -0,099 | 18,6 | 7,2344 | 2,6344 | ||
| 5 | 26 | -707,4 | -683 | -0,8741 | -0,2542 | -0,099 | 0,1141 | 21,31 | 1,0322 | 31,7222 | ||
| 6 | 33 | -683 | -658,6 | -0,2542 | 0,3658 | 0,1141 | 0,2939 | 17,98 | 12,5473 | 60,5673 | ||
| 7 | 14 | -658,6 | -634,2 | 0,3658 | 0,9857 | 0,2939 | 0,4131 | 11,92 | 0,3630 | 16,4430 | ||
| 8 | 8 | -634,2 | -609,8 | 0,9857 | 1,6057 | 0,4131 | 0,4713 | 5,82 | 0,8166 | 10,9966 | ||
| 9 | 3 | -609,8 | -585,4 | 1,6057 | 2,2256 | 0,4713 | 0,4927 | 2,14 | 0,3456 | 4,2056 | ||
| 10 | 3 | -585,4 | -561 | 2,2256 | 0,4927 | 0,5 | 0,73 | 7,0588 | 12,3288 | |||
| СУММА | 100 | 100 | 40,6851 | 140,6851 | ||||||||
X2
набл
=40,685
Контроль: 140,685–100=40,685
Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .
Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством.
Уровень значимости = 0,05;
По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1.
Вывод: Так как X2
набл
> X2
кр,
то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.
6. Расчет асимметрии и эксцесса
Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.
, где
Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.
, где
Значение ХВ,
s вычисляем по формулам:
,
где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).
,
где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);
(условный момент второго порядка);
(условный момент первого порядка);
(условная варианта).
Расчеты занесем в таблицу 7:
| Xi
|
Ni
|
Ui
|
XB
|
M1
|
M2
|
s | m3 | m4 | AS
|
EK
|
| -805 | 1 | -2,73 | -684,67 | 0,30 | 1,06 | 23,97 | 3433,28 | 4193007,72 | 0,25 | 12,71 |
| -780,6 | 1 | -2,11 | ||||||||
| -756,2 | 4 | -1,49 | ||||||||
| -731,8 | 7 | -0,87 | ||||||||
| -707,4 | 26 | -0,25 | ||||||||
| -683 | 33 | 0,37 | ||||||||
| -658,6 | 14 | 0,99 | ||||||||
| -634,2 | 8 | 1,61 | ||||||||
| -609,8 | 3 | 2,23 | ||||||||
| -585,4 | 3 | 2,85 |
Вывод:
Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.
Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.
7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения
Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как:
(7.1)
где n
– объем выборки;
t
g
– случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.
s – исправленное среднее квадратическое отклонение;
– выборочное среднее;
Найдем интервал:
по приложению 1 находим t
g
= 1.984
при g
=
0.95
и n
= 100
;
=-684,67;
s
=
38,19
;
Получаем
-692,25<a<-677.09
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
(с надежностью g) находят как:
при q
<1 (7.2)
при q
>1 (7.3)
где q находят по приложению 2, по заданным n
и g
;
Исходя из приложения 2, n = 100 и g
= 0.95 находим q
=0.143;
Поэтому интервал находим по формуле (7.2):
|
32.73 << 43.65
Вывод:
Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25<a<-677.09, а неизвестное среднее квадратическое отклонение ‘
’ находиться в доверительном интервале 32.73 << 43.65.
Вывод
Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.
Я нашла:
размах варьирования R
=
244;
среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67;
несмещенную оценку генеральной дисперсии s
2
=
1458,99;
среднее квадратическое отклонение s
=
38,19;
медиану МВ
=
-689 и коэффициент вариации V=
5,58%.
С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале
-692,25<а
< -677,09
и среднее квадратическое отклонение в интервале
32,73 << 43,65
Выборка имеет варианты x
= -731, x
= -703,x
= -701,x
= -700,x
= -697, x
= -689,x
= -686, x
= -681, x
= -667, которые встречаются 3 раза.
На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.
Асимметрия as
=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.
Эксцесс ek
=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высшая школа, 2001.