Министерство образования Российской Федерации
Московский государственный университет печати
Факультет полиграфической технологии
Дисциплина: Математика
Курсовая работа по теме:
«Статистические методы обработки
Экспериментальных данных»
Выполнил: студент
Курс 2
Группа ЗТПМ
форма обучения заочная
Номер зачетной книжки Мз 023 н
Вариант № 13
Допущено к защите
Дата защиты
Результат защиты
Подпись преподавателя
Москва – 2010 год
| 0;3 | 3;6 | 6;9 | 9;12 | 12;15 | 15;18 | 18;21 |
| 4 | 6 | 9 | 11 | 14 | 18 | 13 |
| 21;24 | 24;27 | 27;30 | 30;33 |
| 11 | 7 | 4 | 3 |
1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.
i – порядковый номер;
Ii
– интервал разбиения;
xi
– середина интервала Ii
;
ni
– частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii
);
wi
= - относительная частота (n =- объём выборки);
Hi
= - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii
).
| i
|
Ii
|
xi
|
ni
|
wi
|
Hi
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
|
0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 21;24 24;27 27;30 30;33 |
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 |
4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3 |
0,04 0,06 0,09 0,11 0,14 0,18 0,13 0,11 0,07 0,04 0,03 |
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,04 0,04 0,02 0,01 0,01 |
Объём выборки:
n ==100,
wi
= ni
/100;
контроль: =1
Длина интервала
разбиения (шаг):
h = 3 ,
Hi
=
å
: 100 1,00
Статистическим распределением
называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение
– это наборы троек (Ii
; ni
; wi
) для всех номеров i, а точечное
– наборы троек (xi
; ni
;
wi
). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения.
Далее, строим полигон и гистограмму относительных частот.
Полигон.
Гистограмма.
Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi
) соединяют точки (xi
; wi
). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii
, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi
; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi
= wi
/h– плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.
2.
Нахождение точечных оценок математического ожидания и
дисперсии.
В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:
- для математического ожидания
= (выборочная средняя
),
- для дисперсии
s2
= (исправленная выборочная
),
где n – объём выборки, ni
– частота значения xi
.
Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства
MX» , DX»s2
.
Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.
| i
|
xi
|
ni
|
xi
ni |
(xi
- )2 ni |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
|
1,5 4.5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 |
4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3 |
6 27 67,5 115,5 189 297 253,5 247,5 178,5 114 94,5 |
829,44 779,76 635,04 320,76 80,64 6,48 168,48 479,16 645,12 635,04 744,12 |
= =
хi
ni
/100 = 1590/100= 15,9
s2
= =
= 5324,04/99=53,78
å
: 100 1590 5324,04
3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.
При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.
Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , - ¥< а <+¥,
Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:
Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение)
4.Построение графика теоретической плотности распределения.
Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.
MX = а,
DX = σ2
Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX», DX»s2
, что позволяет найти значения параметров распределения.
По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:
_
x = а, 15,9 = а, а=15,9
s2
= σ2
53,78 = σ2
σ=7,33
Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой
F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-(
x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]
=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))
Теперь необходимо вычислить значения f(xi
)плотности f (x) при x=xi
(в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:
значения фунцкии
при u=ui
находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.
=15,9; s = 7,33
x
|
ui
= xi - x / s |
φ
(u i ) |
|
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 |
-1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13 |
0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413 |
0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006 |
Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi
; f(xi
)) и соединяем их плавной кривой.
5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.
Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:
1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.
2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.
Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.
Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2
(«хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)
Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.
Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.
Группировка исходных данных.
Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через nI
количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ånI
= n.
Отметим, что критерий c2
будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:
1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;
2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. ni
³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.
Пусть концами построенного разбиения являются точки zi
, где z1
<z2
< … <zi
– 1
, т.е. само разбиение имеет вид
(- ¥ºz0
; z1
) , [z1
; z2
) , [z2
; z3
) , … , [zi
– 1
; zi
º+¥).
После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:
| zi –1
; zi |
- ¥; 6 | 6;9 | 9;12 | 12;15 | 15;18 | 18;21 |
| n
i |
10 | 9 | 11 | 14 | 18 | 13 |
| 21;24 | 24;27 | 27;30 | 30;+∞
|
| 11 | 7 | 4 | 3 |
Вычисление теоретических частот.
Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты nI
определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства
= n×pi
,
где n – количество испытаний, а pi
ºR(zi
–1
<x<zi
) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £i£ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.
Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _
n = 1
0
0;
а=x
=
15,9
;
σ
=
s=7,33
| i
|
Концы промежутков
|
Аргументы фунцкции Ф0
|
Значения функции Ф0
|
Pi
= Ф0 (u i )- Ф0 (u i-1 ) |
ν
1 ’ =npi |
|||
| zi -1
|
zi
|
U
(z
|
U
(z
|
Ф0
(u i-1 ) |
Ф0
(u i ) |
|||
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
-∞
6 9 12 15 18 21 24 27 30 |
6 9 12 15 18 21 24 27 30 +∞ |
-∞ -1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 |
-1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 +∞ |
-0,5000 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 |
-0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 0,5000 |
0,0885 0,0851 0,1245 0,1541 0,1619 0,1439 0,1085 0,0680 0,0381 0,0274 |
8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,80 3,81 2,74 |
å:
1,0000
1
0
0
,00
Статистика
c2
и вычисление ее значения по опытным данным.
Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.
В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина
,
называемая статистикой «хи - квадрат»
или статистикой Пирсона
(вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c2
³0, причем c2
= 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c2
¹0; при этом значение c2
тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.
Прежде чем рассказать о применении статистики c2
к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c2
набл.
.
| i
|
n
i |
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
10 9 11 14 18 13 11 7 4 3 |
8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74 |
0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02 |
: 100 100 0,85
c
2
набл.
= 0,85
5.4. Распределение статистики
c2
.
Случайная величина имеет c2
– распределение
с r степенями свободы
(r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид
где cr
– которая положительная постоянная ( cr
определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение c2
с r
степенями свободы, будет обозначаться .
Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток.
Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi
и теоретические частоты = n×pi
)
Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при
распределение статистики стремится к - распределению с
r степенями свободы.
Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .
Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае
где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.
Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а
и s для нормального распределения.
Следовательно
R=i-Nпар
-1=10-2-1=7
5.5.
Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.
Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c2
³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).
Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .
Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением
(или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы,
характеризующаяся неравенством , и критическую область
(или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .
Область принятия Критическая область
гипотезы
0
Как же найти критическое значение ?
Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие {} должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :
называется уровнем значимости.
Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения
с неизвестной x. Поскольку распределение статистики близко при
к - распределению с r степенями свободы, то
и приближенное значение можно найти из уравнения
Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x>0, при котором площадь под графиком функции (плотности- распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).
Зададим уровень значимости как = 0,05
(условие курсовой работы) .
Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы
о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:
1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³ 100).
2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков
так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической
частотой
) оказалось не менее пяти (т.е.
³ 5 при каждом i).
3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).
4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности pi
и теоретические частоты = n×pi
попадания значений случайной величины в i-й промежуток.
5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через c2
набл.
.
6) Определяют число r степеней свободы.
7) Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .
8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез
:
если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;
если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.
5.6.
Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.
Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:
| Название величины
|
Обозначение и числовое значение величины
|
| Уровень значимости (задан в условии) | = 0,05 |
| Количество промежутков разбиения | l =10 |
| Число степеней свободы | r=7 |
| Критическое значение (находится по таблице) | = |
| Наблюдаемое значение критерия | c2
|
| ВЫВОД
|
Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку : 83,5 << 15,51
|
Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что
,
т.е. вероятность события {} очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода.
Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода
называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.
2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность
:
т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события
{} и
противоположны, то