Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.
Постановка задачи
Дано уравнение кривой второго порядка:
. (1)
Задание
. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :
I
. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
II
. Привести уравнение кривой при к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
III
. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV
. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.
V
. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.
Получение канонической системы координат. Построение графиков
I
.
Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра
В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:
,
если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля.
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:
;
;
.
Для данной кривой они равны:
1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа
. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу
.
2). Если, то данная кривая — центральная. Следовательно, при данная кривая — центральная
.
· Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа
. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс
.
· Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа
.
а) Если и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые
.
б) Если и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу
.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
| Значение параметра
β |
|||||
| Тип кривой
|
Эллипс | Парабола | Гипербола | Две пересекающиеся прямые | Гипербола |
II
. Переход от общего уравнения кривой к каноническому
Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:
(2.1)
Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями
Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:
(2.2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
(2.3)
В уравнении (2.3) коэффициенты при приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно
(2.4)
Решив систему (2.4), получим:
Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид
,
. (2.5)
Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями
(2.6)
Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим
Раскроем скобки и приведем подобные члены
Приводя подобные члены, получим уравнение
(2.7)
Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :
. (2.8)
Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение
. (2.9)
Решая уравнение (2.9), получим
, .
Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:
Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть
, (2.10)
Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:
и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:
И, соответственно, уравнение
(2.11)
— это каноническое уравнение исходной гиперболы.
III
. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой
Пусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .
Эксцентриситет гиперболы (2.11)
.
Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем:
Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
IV
. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .
Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку .
В пункте II
было установлено, что угловой коэффициент оси .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .
Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или .
V
. Построение графиков гиперболы
Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Вывод
Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.
Список используемой литературы
1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука,1993.
Название реферата: Геометрические свойства кривых второго порядка
| Слов: | 1174 |
| Символов: | 9437 |
| Размер: | 18.43 Кб. |
Вам также могут понравиться эти работы:
- Линии второго порядка
- Законы распределения случайных величин и их применение
- Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин
- Случайные величины
- Применение теоремы о среднем для исследования функции привлечения клиентов банка
- Функция yax2bxc
- Расчёт экономической эффективности внедрения новой техники