ГОУ ВПО
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
кафедра
«Управление
эксплуатационной работой»
Расчетно-графическая работа
«Обработка статистических данных и
установление закона распределения
случайных величин»
Выполнил: Роднов Е.А.
студент 232 группы
Проверил: Виноградова Л.Л.
Хабаровск, 2007
В табл. 1 приведены моменты фактического прибытия поездов на станцию, полученные в результате натурных наблюдений.
Необходимо:
1. Составить статистический ряд интервалов прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию.
2. Установить основные временные параметры входящего на станцию поездопотока (среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).
3. Построить гистограмму распределения вероятностей появления интервалов между поездами.
4. Определить параметр в эрланговском распределении интервалов прибытия поездов в парк приема.
5. По внешнему виду гистограммы подобрать теоретический закон распределения.
6. Проверить по критерию согласия Пирсона и условию Романовского правдоподобность гипотезы о выбранном теоретическом распределении интервалов прибытия поездов в расформирование.
7. Рассчитать число бригад ПТО в парке приема (время на техническое обслуживание t
то
принять равным 20 мин).
Таблица 1
Моменты фактического прибытия поездов на станцию
| № п/п | Время прибытия (ч, мин) | № п/п | Время прибытия (ч, мин) | № п/п | Время прибытия (ч, мин) | № п/п | Время прибытия (ч, мин) | № п/п | Время прибытия (ч, мин) |
| 1 | 0-04 | 19 | 6-01 | 37 | 12-43 | 55 | 20-45 | 73 | 4-02 |
| 2 | 0-10 | 20 | 6-26 | 38 | 13-00 | 56 | 22-45 | 74 | 4-20 |
| 3 | 0-25 | 21 | 7-12 | 39 | 14-10 | 57 | 22-49 | 75 | 4-30 |
| 4 | 0-45 | 22 | 7-22 | 40 | 14-22 | 58 | 22-54 | 76 | 4-55 |
| 5 | 1-15 | 23 | 7-40 | 41 | 14-24 | 59 | 22-59 | 77 | 5-08 |
| 6 | 1-30 | 24 | 8-01 | 42 | 14-50 | 60 | 23-15 | 78 | 5-15 |
| 7 | 2-01 | 25 | 8-15 | 43 | 14-55 | 61 | 23-25 | 79 | 5-22 |
| 8 | 2-26 | 26 | 9-35 | 44 | 16-25 | 62 | 23-47 | 80 | 6-15 |
| 9 | 2-40 | 27 | 9-45 | 45 | 16-35 | 63 | 23-51 | 81 | 7-05 |
| 10 | 2-45 | 28 | 9-53 | 46 | 16-38 | 64 | 0-04 | 82 | 7-25 |
| 11 | 2-50 | 29 | 10-05 | 47 | 16-50 | 65 | 0-35 | 83 | 7-35 |
| 12 | 3-48 | 30 | 10-15 | 48 | 17-40 | 66 | 0-48 | 84 | 7-44 |
| 13 | 3-52 | 31 | 10-26 | 49 | 18-05 | 67 | 1-01 | 85 | 8-10 |
| 14 | 3-58 | 32 | 10-34 | 50 | 18-10 | 68 | 1-48 | 86 | 8-21 |
| 15 | 4-15 | 33 | 11-05 | 51 | 18-36 | 69 | 2-38 | 87 | 8-27 |
| 16 | 4-40 | 34 | 11-37 | 52 | 18-50 | 70 | 3-01 | 88 | 8-38 |
| 17 | 5-09 | 35 | 12-04 | 53 | 19-58 | 71 | 3-12 | 89 | 10-00 |
| 18 | 5-43 | 36 | 12-20 | 54 | 20-11 | 72 | 3-50 |
Решение
Интервалы прибытия определил путем вычитания предыдущего времени прибытия поезда из последующего и представил в табл. 2.
Таблица 2
Интервалы прибытия поездов
| № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин | № п/п | Интервал, мин |
| 1 | 6
|
11 | 58
|
21 | 10
|
31 | 8
|
41 | 26
|
51 | 14
|
61 | 22
|
71 | 38
|
81 | 20
|
| 2 | 15
|
12 | 4
|
22 | 18
|
32 | 31
|
42 | 5
|
52 | 68
|
62 | 4
|
72 | 12
|
82 | 10
|
| 3 | 20
|
13 | 6
|
23 | 21
|
33 | 32
|
43 | 90
|
53 | 13
|
63 | 13
|
73 | 18
|
83 | 9
|
| 4 | 30
|
14 | 17
|
24 | 14
|
34 | 27
|
44 | 10
|
54 | 34
|
64 | 31
|
74 | 10
|
84 | 26
|
| 5 | 15
|
15 | 25
|
25 | 80
|
35 | 16
|
45 | 3
|
55 | 120
|
65 | 13
|
75 | 25
|
85 | 11
|
| 6 | 31
|
16 | 29
|
26 | 10
|
36 | 23
|
46 | 12
|
56 | 4
|
66 | 13
|
76 | 13
|
86 | 6
|
| 7 | 25
|
17 | 34
|
27 | 8
|
37 | 17
|
47 | 50
|
57 | 5
|
67 | 47
|
77 | 7
|
87 | 11
|
| 8 | 14
|
18 | 18
|
28 | 12
|
38 | 70
|
48 | 25
|
58 | 5
|
68 | 50
|
78 | 7
|
88 | 82
|
| 9 | 5
|
19 | 25
|
29 | 10
|
39 | 12
|
49 | 59 | 16
|
69 | 23
|
79 | 53
|
|||
| 10 | 5
|
20 | 46
|
30 | 11
|
40 | 2
|
50 | 26
|
60 | 10
|
70 | 11
|
80 | 50
|
Группировка происходит по классам (разрядам). Количество классов К определил по формуле:
К = (1 + 3,21 ∙ lgn
), (1)
где n
– общее число наблюдений.
К = (1 + 3,21 ∙ lg88) = 7, 24.
Принимаем количество классов К равным 8.
Величину интервала (шаг класса) группирования Iопределил по формуле:
, (2)
где хmax
, хmin
– наибольшее и наименьшее значения случайной величины.
.
Далее произвел группирование интервалов по разрядам. В процессе группирования установил, сколько интервалов mi
попало в разряд ti
– ti+1
. Последующие расчеты основных параметров статистического ряда выполнил в форме табл. 3, в которую свел все промежуточные результаты вычислений.
Таблица 3
Обработка статистического ряда интервалов между моментами
прибытия поездов на станцию
| № п/п | Границы разрядов, ti
- ti+1 |
Число интервалов в разряде, mi
|
ЧастостьPi
|
Среднее значение в разряде, ti
|
ti
∙ P |
ti
2 ∙ P |
| 1 | 2-16,75 | 46 | 0,523 | 9,375 | 4,901 | 45,943 |
| 2 | 16,75-31,5 | 25 | 0,284 | 24,125 | 6,854 | 165,345 |
| 3 | 31,5-46,25 | 5 | 0,057 | 38,875 | 2,209 | 85,867 |
| 4 | 46,25-61 | 6 | 0,068 | 53,625 | 3,656 | 196,066 |
| 5 | 61-75,75 | 2 | 0,023 | 68,375 | 1,554 | 106,253 |
| 6 | 75,75-90,5 | 3 | 0,034 | 83,125 | 2,834 | 235,560 |
| 7 | 90,5-105,25 | 0 | 0 | 97,875 | 0 | 0 |
| 8 | 105,25-120 | 1 | 0,011 | 112,625 | 1,280 | 144,141 |
| Итого | 88 | 1 | 23,287 | 979,176 |
Для каждого разряда наблюдаемых величин подсчитал их количество и определил частость.
Математическое ожидание М (х)
определил по формуле:
, (3)
где – среднее значение разряда i
.
М (х)
= 9,375 ∙ 0,523 + 24,125 ∙ 0,284 + 38,875 ∙ 0,057 + 53,625 ∙ 0,068 + 68,375 ∙ 0,023 + 83,125 ∙ 0,034 + 97,875 ∙ 0 + 112,625 ∙ 0,011 = 23,287.
Дисперсию D
(
x
)
определил по формуле:
D
(
x
) =
M
2
(
x
) – (
M
[
x
])2
, (4)
где – второй начальный момент случайной величины.
M
2
(
x
)
= 9,3752
∙ 0,523 + 24,1252
∙ 0,284 + 38,8752
∙ 0,057 + 53,6252
∙ 0,068 + 68,3752
∙ 0,023 + 83,1252
∙ 0,034 + 97,8752
∙ 0 + 112,6252
∙ 0,011 = 979,176.
D
(
x
) =
979,176 – 23,2872
= 436,892.
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из дисперсии:
. (5)
= 20,902.
Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонение к математическому ожиданию:
. (6)
.
На основании расчетных характеристик (табл. 3) строится гистограмма распределения интервалов прибытия поездов (рис. 1).
Ординату гистограммы определил по формуле:
, (7)
где ∆
ti
=
ti
+1
–
ti
шаг конкретного i
-го разряда.
Рис. 1. Гистограмма распределения интервалов прибытия поездов
Параметр Эрланга определил по следующей формуле:
, (8)
.
Исходя из найденного значения параметра Эрланга и внешнего вида гистограммы, сделал предположение, что для данного распределения наиболее близок закон показательного теоретического распределения.
Теоретическая вероятность Р*i
интервалов определенной величины в их общей совокупности равна:
Р*i
= F(ti
) – F(ti
–
1
), (9)
где F(ti
) и F(ti
–
1
) –
функция показательного распределения.
F(ti
) = 1 –
е–
λ
ti
,
F(ti–
1
) = 1 –
е–
λ
ti–
1
,
где λ – интенсивность поступления поездов на станцию
. (10)
.
Рассчитанные данные занесены в табл. 4.
Таблица 4
Характеристики распределения интервалов
между поступающими в переработку поездами
| Границы разрядов, ti
- ti+1 |
Число интервалов в разряде, mi
|
λt | е–
λt |
F(ti
) |
Р*i
|
nР*i
|
mi
–nP*i |
(mi
–nP*i )2 |
(mi
–nP*i )2 /nР*i |
| 2-16,75 | 46 | 0,086 | 0,918 | 0,082 | 0,429 | 37,731 | 8,269 | 68,376 | 1,8122 |
| 16,75-31,5 | 25 | 0,719 | 0,489 | 0,511 | 0,229 | 20,113 | 4,887 | 23,885 | 1,1875 |
| 31,5-46,25 | 5 | 1,353 | 0,261 | 0,739 | 0,122 | 10,721 | -5,721 | 32,733 | 3,0531 |
| 46,25-61 | 6 | 1,986 | 0,139 | 0,861 | 0,065 | 5,715 | 0,285 | 0,081 | 0,0142 |
| 61-75,75 | 2 | 2,619 | 0,074 | 0,926 | 0,035 | 3,046 | -1,046 | 1,095 | 0,3595 |
| 75,75-90,5 | 3 | 3,253 | 0,040 | 0,960 | 0,018 | 1,624 | 1,376 | 1,894 | 1,1660 |
| 90,5-105,25 | 0 | 3,886 | 0,021 | 0,979 | 0,010 | 0,866 | -0,866 | 0,749 | 0,8657 |
| 105,25-120 | 1 | 4,520 | 0,011 | 0,989 | 0,005 | 0,461 | 0,539 | 0,290 | 0,6286 |
| 5,153 | 0,006 | 0,994 | |||||||
| 88 | 9,0867 |
Как видно из последней графы табл. 4 критерий согласия Пирсона χ2
= 9,0867.
Число степеней свободы rопределил по формуле:
r = R– S, (11)
где R– число разрядов; S – число наложенных связей.
r = 8 – 2 = 6.
Пользуясь специальной таблицей, определяется вероятность Р(χ2
) = 0,1736. Значит, гипотеза о показательном распределении интервалов поступления поездов на станцию не совсем правдоподобна.
По условию Романовского, гипотеза о принятом теоретическом законе распределения считается правдоподобной, если соблюдается следующее неравенство:
. (12)
, следовательно, расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями не столь существенно и гипотеза о показательном законе распределения интервала прибытия поездов на станцию правдоподобна.
Число бригад ПТО в парке приема рассчитал, исходя из условия:
, (13)
где Ip
– расчетный интервал прибытия поездов; t
ТО
– время на техническое обслуживание поезда одной бригадой; Б
– число бригад.
, (14)
где Imin
– минимальный интервал между поездами, прибывающими на станцию, Imin
= 2 мин.
Icp
= M(t)
= 23, 287.
= 12,64 мин.
Время на техническое обслуживание t
ТО
принимается равным 20 мин.
Число бригад рассчитал из формулы (13) и округлил до целого числа, следовательно, принял 2 бригады ПТО.