Задание 1.
По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:
х
-
выпуск продукции, тыс. ед.;
у -
затраты на производство, млн. руб.
| x
|
y
|
| 5,3 |
18,4 |
| 15,1 |
22,0 |
| 24,2 |
32,3 |
| 7,1 |
16,4 |
| 11,0 |
22,2 |
| 8,5 |
21,7 |
| 14,5 |
23,6 |
| 10,2 |
18,5 |
| 18,6 |
26,1 |
| 19,7 |
30,2 |
| 21,3 |
28,6 |
| 22,1 |
34,0 |
| 4,1 |
14,2 |
| 12,0 |
22,1 |
| 18,3 |
28,2 |
Требуется:
4. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;
5. Построить модели:
2.1 Линейной парной регрессии;
2.2 Полулогарифмической парной регрессии;
2.3 Степенной парной регрессии; Для этого:
1. Рассчитать параметры уравнений;
2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;
3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибки аппроксимации;
4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом;
5. С помощью F
-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования;
3. По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;
4. Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;
5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости =0,05 определить доверительный интервал прогноза.
Решение.
1. Строим поле корреляции.
Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х
и у
может быть линейной, т.е. у=а+
b
х
, или нелинейной вида: у=а+
bln
х, у = ах
b
.
Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у
от х
вида у=а+
b
х,
т. к. затраты на производство y
можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a
, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции b
х,
такие как расход материала, электроэнергии и т.д.
2.1 Модель линейной парной регрессии
2.1.1 Рассчитаем параметры a
и b
линейной регрессии у=а+
b
х
.
Строим расчетную таблицу 1.
Таблица 1
| №
|
x
|
y
|
yx
|
x2
|
y2
|
|
|
Аi
|
| 1 |
5,3 |
18,4 |
97,52 |
28,09 |
338,56 |
16,21 |
2,19 |
11,92 |
| 2 |
15,1 |
22,0 |
332,20 |
228,01 |
484,00 |
24,74 |
-2,74 |
12,46 |
| 3 |
24,2 |
32,3 |
781,66 |
585,64 |
1043,29 |
32,67 |
-0,37 |
1,14 |
| 4 |
7,1 |
16,4 |
116,44 |
50,41 |
268,96 |
17,77 |
-1,37 |
8,38 |
| 5 |
11,0 |
22,2 |
244,20 |
121,00 |
492,84 |
21,17 |
1,03 |
4,63 |
| 6 |
8,5 |
21,7 |
184,45 |
72,25 |
470,89 |
18,99 |
2,71 |
12,47 |
| 7 |
14,5 |
23,6 |
342,20 |
210,25 |
556,96 |
24,22 |
-0,62 |
2,62 |
| 8 |
10,2 |
18,5 |
188,70 |
104,04 |
342,25 |
20,47 |
-1,97 |
10,67 |
| 9 |
18,6 |
26,1 |
485,46 |
345,96 |
681,21 |
27,79 |
-1,69 |
6,48 |
| 10 |
19,7 |
30,2 |
594,94 |
388,09 |
912,04 |
28,75 |
1,45 |
4,81 |
| 11 |
21,3 |
28,6 |
609,18 |
453,69 |
817,96 |
30,14 |
-1,54 |
5,39 |
| 12 |
22,1 |
34,0 |
751,40 |
488,41 |
1156,00 |
30,84 |
3,16 |
9,30 |
| 13 |
4,1 |
14,2 |
58,22 |
16,81 |
201,64 |
15,16 |
-0,96 |
6,77 |
| 14 |
12,0 |
22,1 |
265,20 |
144,00 |
488,41 |
22,04 |
0,06 |
0,26 |
| 15 |
18,3 |
28,2 |
516,06 |
334,89 |
795,24 |
27,53 |
0,67 |
2,38 |
| Σ |
212,0 |
358,5 |
5567,83 |
3571,54 |
9050,25 |
358,50 |
0,00 |
99,69 |
| среднее |
14,133 |
23,900 |
371,189 |
238,103 |
603,350 |
23,90 |
0,00 |
6,65 |
Параметры a
и b
уравнения
Yx
=
a
+
bx
определяются методом наименьших квадратов:
Разделив на n
и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b
:
Уравнение регрессии:
=11,591+0,871
x
С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.
2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.
Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.
Средние квадратические отклонения:
Коэффициент корреляции:
Между признаками X
и Y
наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.
2.1.3 Оценим качество построенной модели.
Определим коэффициент детерминации:
т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у
, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.
Следовательно, качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации А
i
.
Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.
Ошибка аппроксимации А
i
,
i
=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
5.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.
2.1.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H
0
, что выявленная зависимость у
от х
носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-
критерия Фишера:
Найдем фактическое значение F
- критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H
0
отвергается, принимается альтернативная гипотеза H
1
: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x
и y
неслучайна.
Построим полученное уравнение.
2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии
.
2.2.1. Рассчитаем параметры а
и b
в регрессии:
у
x
=а +
bln
х
.
Линеаризуем данное уравнение, обозначив:
z=lnx
.
Тогда:
y
=
a
+
bz
.
Параметры a
и b
уравнения
=
a
+
bz
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем таблицу 2.
Таблица 2
| №
|
x
|
y
|
z
|
yz
|
z2
|
y
|
|
|
Аi
|
| 1 |
5,3 |
18,4 |
1,668 |
30,686 |
2,781 |
338,56 |
15,38 |
3,02 |
16,42 |
| 2 |
15,1 |
22,0 |
2,715 |
59,723 |
7,370 |
484,00 |
25,75 |
-3,75 |
17,03 |
| 3 |
24,2 |
32,3 |
3,186 |
102,919 |
10,153 |
1043,29 |
30,42 |
1,88 |
5,83 |
| 4 |
7,1 |
16,4 |
1,960 |
32,146 |
3,842 |
268,96 |
18,27 |
-1,87 |
11,42 |
| 5 |
11,0 |
22,2 |
2,398 |
53,233 |
5,750 |
492,84 |
22,61 |
-0,41 |
1,84 |
| 6 |
8,5 |
21,7 |
2,140 |
46,439 |
4,580 |
470,89 |
20,06 |
1,64 |
7,58 |
| 7 |
14,5 |
23,6 |
2,674 |
63,110 |
7,151 |
556,96 |
25,34 |
-1,74 |
7,39 |
| 8 |
10,2 |
18,5 |
2,322 |
42,964 |
5,393 |
342,25 |
21,86 |
-3,36 |
18,17 |
| 9 |
18,6 |
26,1 |
2,923 |
76,295 |
8,545 |
681,21 |
27,81 |
-1,71 |
6,55 |
| 10 |
19,7 |
30,2 |
2,981 |
90,015 |
8,884 |
912,04 |
28,38 |
1,82 |
6,03 |
| 11 |
21,3 |
28,6 |
3,059 |
87,479 |
9,356 |
817,96 |
29,15 |
-0,55 |
1,93 |
| 12 |
22,1 |
34,0 |
3,096 |
105,250 |
9,583 |
1156,00 |
29,52 |
4,48 |
13,18 |
| 13 |
4,1 |
14,2 |
1,411 |
20,036 |
1,991 |
201,64 |
12,84 |
1,36 |
9,60 |
| 14 |
12,0 |
22,1 |
2,485 |
54,916 |
6,175 |
488,41 |
23,47 |
-1,37 |
6,20 |
| 15 |
18,3 |
28,2 |
2,907 |
81,975 |
8,450 |
795,24 |
27,65 |
0,55 |
1,95 |
| Σ |
212,0 |
358,5 |
37,924 |
947,186 |
100,003 |
9050,25 |
358,50 |
0,00 |
131,14 |
| Средн. |
14,133 |
23,900 |
2,528 |
63,146 |
6,667 |
603,350 |
23,90 |
0,00 |
8,74 |
Разделив на n
и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b
:
Уравнение регрессии:
= -1,136 + 9,902
z
2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у
и х
.
Т. к. уравнение у = а + b
l
n x
линейно относительно параметров а
и b
и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной _у
, то теснота связи между переменными у
и х
, оцениваемая с помощью индекса парной корреляции Rxy
, также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции ryz
среднее квадратическое отклонение z
:
Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у
и х
наблюдается очень тесная корреляционная связь вида =
a
+
bz
.
2.2.3 Оценим качество построенной модели.
Определим коэффициент детерминации:
т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у
, на долю необъясненной вариации приходится 16,2%.
Следовательно, качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации А
i
.
Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.
Ошибка аппроксимации А
i
, i
=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.
2.2.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H
0
, что выявленная зависимость у
от х
носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.
Найдем табличное (критическое) значение F
-критерия Фишера:
Найдем фактическое значение F
-критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H
0
отвергается, принимается альтернативная гипотеза H
1
: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x
и y
неслучайна.
Построим уравнение регрессии на поле корреляции
2.3. Модель степенной парной регрессии.
2.3.1. Рассчитаем параметры а
и b
степенной регрессии:
Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:
и замена переменных:
Y=lny, X=lnx, A=lna
Параметры уравнения:
Y
=
A
+
bX
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем таблицу 3.
Определяем b
:
Уравнение регрессии:
Построим уравнение регрессии на поле корреляции:
2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у
и х
с помощью индекса парной корреляции Ryx
.
Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x
,
и , тогда:
Значение индекса корреляции Rxy
близко к 1, следовательно, между переменными у
и х
наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:
2.3.3.Оценим качество построенной модели.
Определим индекс детерминации:
R
2
=0,9362
=0,878,
т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у,
а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.
Качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации.
Ошибка аппроксимации А
i
, i
=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.
2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H
0
, что выявленная зависимость у
от х
носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.
табличное (критическое) значение F
-критерия Фишера:
фактическое значение F
-критерия Фишера:
Таблица 3
| №
|
x
|
y
|
X
|
Y
|
YX
|
X2
|
y
|
|
|
|
Аi
|
| 1 |
5,3 |
18,4 |
1,668 |
2,912 |
4,857 |
2,781 |
338,56 |
15,93 |
2.47 |
6,12 |
13,44 |
| 2 |
15,1 |
22,0 |
2,715 |
3,091 |
8,391 |
7,370 |
484,00 |
25,19 |
-3,19 |
10,14 |
14,48 |
| 3 |
24,2 |
32,3 |
3,186 |
3,475 |
11,073 |
10,153 |
1043,29 |
30,96 |
1,34 |
1,80 |
4,15 |
| 4 |
7,1 |
16,4 |
1,960 |
2,797 |
5,483 |
3,842 |
268,96 |
18,10 |
-1,70 |
2,89 |
10,37 |
| 5 |
11,0 |
22,2 |
2,398 |
3,100 |
7,434 |
5,750 |
492,84 |
21,92 |
0,28 |
0,08 |
1,24 |
| 6 |
8,5 |
21,7 |
2,140 |
3,077 |
6,586 |
4,580 |
470,89 |
19,58 |
2,12 |
4,48 |
9,75 |
| 7 |
14,5 |
23,6 |
2,674 |
3,161 |
8,454 |
7,151 |
556,96 |
24,74 |
-1,14 |
1,30 |
4,84 |
| 8 |
10,2 |
18,5 |
2,322 |
2,918 |
6,776 |
5,393 |
342,25 |
21,21 |
-2,71 |
7,35 |
14,66 |
| 9 |
18,6 |
26,1 |
2,923 |
3,262 |
9,535 |
8,545 |
681,21 |
27,59 |
-1,49 |
2,22 |
5,71 |
| 10 |
19,7 |
30,2 |
2,981 |
3,408 |
10,157 |
8,884 |
912,04 |
28,29 |
1,91 |
3,63 |
6,31 |
| 11 |
21,3 |
28,6 |
3,059 |
3,353 |
10,257 |
9,356 |
817,96 |
29,28 |
-0,68 |
0,46 |
2,37 |
| 12 |
22,1 |
34,0 |
3,096 |
3,526 |
10,916 |
9,583 |
1156,00 |
29,75 |
4,25 |
18,03 |
12,49 |
| 13 |
4,1 |
14,2 |
1,411 |
2,653 |
3,744 |
1,991 |
201,64 |
14,23 |
-0,03 |
0,00 |
0,24 |
| 14 |
12,0 |
22,1 |
2,485 |
3,096 |
7,692 |
6,175 |
488,41 |
22,78 |
-0,68 |
0,46 |
3,06 |
| 15 |
18,3 |
28,2 |
2,907 |
3,339 |
9,707 |
8,450 |
795,24 |
27,40 |
0,80 |
0,65 |
2,85 |
| сумма |
212,0 |
358,5 |
37,924 |
47,170 |
121,062 |
100,003 |
9050,25 |
358,5 |
0,00 |
59,61 |
105,95 |
| среднее |
14,133 |
23,900 |
2,528 |
3,145 |
8,071 |
6,667 |
603,350 |
23,90 |
0,00 |
3,97 |
7,06 |
следовательно, гипотеза H
0
отвергается, принимается альтернативная гипотеза H
1
: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x
и y
неслучайна.
3. Выбор лучшего уравнения.
Составим таблицу полученных результатов исследования.
Таблица 4
| Уравнение |
Коэффициент (индекс) корреляции |
Коэффициент (индекс) детерминации |
Средняя ошибка аппроксимации |
Коэффициент эластичности |
| линейное |
0,951
td>
|
0,905 |
6,65 |
0,515 |
| полулогагифмическое |
0,915 |
0,838 |
8,74 |
0,414 |
| степенное |
0,936 |
0,878 |
7,06 |
0,438 |
Анализируем таблицу и делаем выводы.
- Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.
- При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x
и у.
- Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.
4.
Для выбранной модели проверим предпосылку МНК о гомоскедастичности остатков, т. е. о том, что остатки регрессии имеют постоянную дисперсию.
Используем метод Гольдфельдта-Квандта.
1. Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х
.
2. Исключим из рассмотрения 3 центральных наблюдения.
3. Рассмотрим первую группу наблюдений (малые значения фактора х
) и определим этой группы.
4. Рассмотрим вторую группу наблюдений (большие значения фактора х) и определим этой группы.
5. Проверим, значимо или незначимо отличаются дисперсии остатков этих групп.
Таблица 5
| №
|
x
|
y
|
yx
|
x2
|
y
|
|
|
|
| 1 |
4,1 |
14,2 |
58,22 |
16,81 |
201,64 |
15,47 |
-1,27 |
1,60 |
| 2 |
5,3 |
18,4 |
97,52 |
28,09 |
338,56 |
16,50 |
1,90 |
3,61 |
| 3 |
7,1 |
16,4 |
116,44 |
50,41 |
268,96 |
18,05 |
-1,65 |
2,72 |
| 4 |
8,5 |
21,7 |
184,45 |
72,25 |
470,89 |
19,26 |
2,44 |
5,97 |
| 5 |
10,2 |
18,5 |
188,70 |
104,04 |
342,25 |
20,72 |
-2,22 |
4,93 |
| 6 |
11,0 |
22,2 |
244,20 |
121,00 |
492,84 |
21,41 |
0,79 |
0,63 |
| сумма |
46,2 |
111,4 |
889,53 |
392,60 |
2115,14 |
111,40 |
0,00 |
19,46 |
| среднее |
7,70 |
18,57 |
148,26 |
65,43 |
352,52 |
18,57 |
0,00 |
3,89 |
Определим параметры уравнения регрессии 1 группы:
Уравнение регрессии 1 группы:
=11,93+0,86
x
Таблица 6
| №
|
x
|
y
|
yx
|
x2
|
y
|
|
|
|
| 10 |
18,3 |
28,2 |
516,06 |
334,89 |
795,24 |
27,56 |
0,64 |
0,41 |
| 11 |
18,6 |
26,1 |
485,46 |
345,96 |
681,21 |
27,85 |
-1,75 |
3,06 |
| 12 |
19,7 |
30,2 |
594,94 |
388,09 |
912,04 |
28,92 |
1,28 |
1,63 |
| 13 |
21,3 |
28,6 |
609,18 |
453,69 |
817,96 |
30,49 |
-1,89 |
3,56 |
| 14 |
22,1 |
34,0 |
751,40 |
488,41 |
1156,00 |
31,27 |
2,73 |
7,47 |
| 15 |
24,2 |
32,3 |
781,66 |
585,64 |
1043,29 |
33,32 |
-1,02 |
1,03 |
| сумма |
124,2 |
179,4 |
3738,70 |
2596,68 |
5405,74 |
179,40 |
0,00 |
17,17 |
| среднее |
20,70 |
29,90 |
623,12 |
432,78 |
900,96 |
29,90 |
0,00 |
3,43 |
Параметры уравнения регрессии 2 группы:
Уравнение регрессии 2 группы:
=9,7+0,98
x
S
1
=
19.46>
S
2
=
17.17
F
факт.
<
F
табл.
следовательно, остатки гомоскедастичны, предпосылки МНК не нарушены.
5. Рассчитаем прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора х увеличивается на 5% от его среднего уровня.
Точечный прогноз:
11,59+0,87–1,05–14,13=24,515 млн. руб.
Для данной величины выпуска продукции прогнозное значение затрат на производство составляет 24,515 млн. руб.
Для уровня значимости α= 0,05 определим доверительный интервал прогноза.
Предварительно определим стандартные ошибки коэффициента корреляции и параметра b
.
Стандартная ошибка коэффициента корреляции:
Ошибка прогноза:
Доверительный интервал прогноза значений y
при с вероятностью 0,95 составит:
Прогноз надежный, но не очень точный, т. к.
Задание 2
Имеются данные о заработной плате у
(тысяч рублей), возрасте х1
(лет), стаже работы по специальности х2
(лет) и выработке х3
(штук в смену) по 15 рабочим цеха:
| №
|
y
|
х
|
х2
|
х
|
| 1 |
3,2 |
30 |
6 |
12 |
| 2 |
4,5 |
41 |
18 |
20 |
| 3 |
3,3 |
37 |
11 |
12 |
| 4 |
3,0 |
33 |
9 |
18 |
| 5 |
2,8 |
24 |
4 |
15 |
| 6 |
3,9 |
44 |
19 |
17 |
| 7 |
3,7 |
37 |
18 |
17 |
| 8 |
4,2 |
39 |
22 |
26 |
| 9 |
4,7 |
49 |
30 |
26 |
| 10 |
4,4 |
48 |
24 |
22 |
| 11 |
2,9 |
29 |
8 |
18 |
| 12 |
3,7 |
31 |
6 |
20 |
| 13 |
2,4 |
26 |
5 |
10 |
| 14 |
4,5 |
47 |
19 |
20 |
| 15 |
2,6 |
29 |
4 |
15 |
Требуется:
1. С помощью определителя матрицы парных коэффициентов межфакторной корреляции оценить мультиколлинеарность факторов, исключить из модели фактор, ответственный за мультиколлинеарность.
2. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме:
2.1. Оценить параметры уравнения.
2.2. Используя стандартизованные коэффициенты регрессии сравнить факторы по силе их воздействия на результат.
2.3. Оценить тесноту связи между результатом и факторами с помощью коэффициента множественной корреляции.
2.4. Оценить с помощью коэффициента множественной детерминации качество модели.
2.5. Используя F-критерий Фишера оценить статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении регрессии.
3. Построить уравнение множественной регрессии в естественной форме, пояснить экономический смысл параметров уравнения.
4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составит: х1
= 35 лет, х2
=
10 лет, х3
= 20 штук в смену.
Решение.
Для оценки мультиколлинеарности факторов используем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.
Определим парные коэффициенты корреляции.
Для этого рассчитаем таблицу 7.
Используя рассчитанную таблицу, определяем дисперсию y
,
x
1
,
x
2
,
x
3
.
Найдем среднее квадратическое отклонение признаков y
,
x
1
,
x
2
, x
3
, как корень квадратный из соответствующей дисперсии.
Определим парные коэффициенты корреляции:
таблица 7
| №
|
y
|
y2
|
x1
|
x1
|
x2
|
x2
|
x3
|
x3
|
yx1
|
yx2
|
yx3
|
x1
|
x1
|
x2
|
|
|
А
|
| 1 |
3,2 |
10,24 |
30 |
900 |
6 |
36 |
12 |
144 |
96,0 |
19,2 |
38,4 |
180 |
360 |
72 |
2,87 |
0,33 |
10,18 |
| 2 |
4,5 |
20,25 |
41 |
1681 |
18 |
324 |
20 |
400 |
184,5 |
81,0 |
90,0 |
738 |
820 |
360 |
4,00 |
0,50 |
11,03 |
| 3 |
3,3 |
10,89 |
37 |
1369 |
11 |
121 |
12 |
144 |
122,1 |
36,3 |
39,6 |
407 |
444 |
132 |
3,32 |
-0,02 |
0,73 |
| 4 |
3,0 |
9,00 |
33 |
1089 |
9 |
81 |
18 |
324 |
99,0 |
27,0 |
54,0 |
297 |
594 |
162 |
3,38 |
-0,38 |
12,79 |
| 5 |
2,8 |
7,84 |
24 |
576 |
4 |
16 |
15 |
225 |
67,2 |
11,2 |
42,0 |
96 |
360 |
60 |
2,65 |
0,15 |
5,47 |
| 6 |
3,9 |
15,21 |
44 |
1936 |
19 |
361 |
17 |
289 |
171,6 |
74,1 |
66,3 |
836 |
748 |
323 |
4,04 |
-0,14 |
3,54 |
| 7 |
3,7 |
13,69 |
37 |
1369 |
18 |
324 |
17 |
289 |
136,9 |
66,6 |
62,9 |
666 |
629 |
306 |
3,59 |
0,11 |
3,03 |
| 8 |
4,2 |
17,64 |
39 |
1521 |
22 |
484 |
26 |
676 |
163,8 |
92,4 |
109,2 |
858 |
1014 |
572 |
4,19 |
0,01 |
0,20 |
| 9 |
4,7 |
22,09 |
49 |
2401 |
30 |
900 |
26 |
676 |
230,3 |
141,0 |
122,2 |
1470 |
1274 |
780 |
4,83 |
-0,13 |
2,86 |
| 10 |
4,4 |
19,36 |
48 |
2304 |
24 |
576 |
22 |
484 |
211,2 |
105,6 |
96,8 |
1152 |
1056 |
528 |
4,56 |
-0,16 |
3,61 |
| 11 |
2,9 |
8,41 |
29 |
841 |
8 |
64 |
18 |
324 |
84,1 |
23,2 |
52,2 |
232 |
522 |
144 |
3,13 |
-0,23 |
7,82 |
| 12 |
3,7 |
13,69 |
31 |
961 |
6 |
36 |
20 |
400 |
114,7 |
22,2 |
74,0 |
186 |
620 |
120 |
3,36 |
0,34 |
9,17 |
| 13 |
2,4 |
5,76 |
26 |
676 |
5 |
25 |
10 |
100 |
62,4 |
12,0 |
24,0 |
130 |
260 |
50 |
2,51 |
-0,11 |
4,65 |
| 14 |
4,5 |
20,25 |
47 |
2209 |
19 |
361 |
20 |
400 |
211,5 |
85,5 |
90,0 |
893 |
940 |
380 |
4,39 |
0,11 |
2,46 |
| 15 |
2,6 |
6,76 |
29 |
841 |
4 |
16 |
15 |
225 |
75,4 |
10,4 |
39,0 |
116 |
435 |
60 |
2,97 |
-0,37 |
14,17 |
| σ |
53,8 |
201,08 |
544 |
20674 |
203 |
3725 |
268 |
5100 |
2030,7 |
807,7 |
1000,6 |
8257 |
10076 |
4049 |
53,80 |
0,00 |
91,69 |
| ср. |
3,59 |
13,41 |
36,27 |
1378,27 |
13,53 |
248,33 |
17,87 |
340,00 |
135,38 |
53,85 |
66,71 |
550,47 |
671,73 |
269,93 |
3,59 |
0,00 |
6,11 |
Матрица парных коэффициентов корреляции:
| y
|
x1
|
x2
|
x3
|
|
| y
|
1,000 |
|||
| x1
|
0,908 |
1,000 |
||
| x2
|
0,894 |
0,931
|
1,000 |
|
| x3
|
0,783 |
0,657 |
0,765 |
1,000 |
Анализируем матрицу парных коэффициентов корреляции.
- rx1x2
=0.931, т. е. между факторами x1
и x2
существует сильная корреляционная связь, один из этих факторов необходимо исключить.
- rx1x3
=0.657 меньше, чем rx2x3
=0.765, т.е. корреляция фактора х2
с фактором х3
сильнее, чем корреляция факторов х1
и х3
.
- Из модели следует исключить фактор х2
, т.к. он имеет наибольшую тесноту связи с х3
и, к тому же, менее тесно (по сравнению с x
1
) связан с результатом у
(0.894<0.908).
2.1. Уравнение регрессии в естественной форме будет иметь вид:
y
x
= a + bl
x]
+b3
x3
,
фактор х2
исключен из модели.
Стандартизованное уравнение:
ty
=
β
1
tx
1
+
β
3
tx
3
где:
ty
,
tx
1
,
tx
3
– стандартизованные переменные.
Параметры уравнения β
1
и β
3
определим методом наименьших квадратов из системы уравнений:
Или:
Систему решаем методом Крамера:
| ∆=
|
1 |
0,657 |
= 1-0,6572
|
| 0,657 |
1 |
| ∆β1
|
0,908 |
0,657 |
= 0,908-0,657–0,783=0,394 |
| 0,783 |
1 |
| ∆β3
|
1 |
0,571 |
=0,833-0,571–0,413= 0,186 |
| 0,413 |
0,833 |
Тогда:
Получили уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
ty
= 0,693
tx
1
+0,327
tx
3
Коэффициенты β1
и β3
сравнимы между собой в отличии от коэффициентов чистой регрессии b
1
и b
3
.
β1
=
0,693 больше β3
=
0,327,
следовательно, фактор x
1
сильнее влияет на результат y
чем фактор x
3
.
Определим индекс множественной корреляции:
Cвязь между y
и факторами x
1
, x
3
характеризуется как тесная, т. к. значение индекса множественной корреляции близко к 1.
Коэффициент множественной детерминации:
R
2
yx
1
x
3
=(0.941)2
=0.886
Т. е. данная модель объясняет 88,6% вариации y
, на долю неучтенных в модели факторов приходится 100-88,6=11,4%
Оценим значимость полученного уравнения регрессии с помощью F
-критерия Фишера:
F
табл
(α=
0,05;
k
1
=
2;
k
2
=
15-2-1=12)=
3,88
Табличное значение критерия Фишера (определяем по таблице значений критерия Фишера при заданном уровне значимости α
и числе степеней свободы k
1
и k
2
) меньше фактического значения критерия. следовательно, гипотезу H
0
о том, что полученное уравнение статистически незначимо и ненадежно, отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу H
1
: полученное уравнение статистически значимо, надежно и пригодно для анализа и прогноза.
Оценим статистическую значимость включения в модель факторов x
1
и x
2.
F
табл
(α=
0,05;
k
1
=
1;
k
2
=
15-2-1=12)=
4,75
Fx
1
>
F
табл.
Fx
3
>
F
табл.
Значит, включение в модель факторов x
1
и x
3
статистически значимо.
Перейдем к уравнению регрессии в естественном масштабе:
Уравнение множественной регрессии в естественном масштабе:
Экономическая интерпретация параметров уравнения:
b1
=0.064, это значит, что с увеличением x1
– возраста рабочего на 1 год заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 64 рубля, если при этом фактор x2
- выработка рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.
b3
=0,053, это значит, что с увеличением x3
– выработки рабочего на 1 шт. в смену, заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 53 рубля, если при этом фактор x1
- возраст рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.
a
=0,313 не имеет экономической интерпретации, формально это значение результата y
при нулевом значении факторов, но факторы могут и не иметь нулевого значения.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации, таблица 7.
Ошибка аппроксимации А
i
, i
=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
Используем полученную модель для прогноза.
Если х1
=35, х2
=10, х3
=20, то
ур
= 0,313 + 0,064•35 + 0,053•20 = 3,618 тыс. руб.
т. е. для рабочего данного цеха, возраст которого 35 лет, а выработка 20 шт. в смену, прогнозное значение заработной платы - 3618 руб.