Расчетная работа
Выполнил Шеломанов Р.Б.
Кафедра математической статистики и эконометрики
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
Москва 1999
ЗАДАНИЕ № 23
Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
| 750 | 750 | 756 | 769 | 757 | 767 | 760 | 743 | 745 | 759 |
| 750 | 750 | 739 | 751 | 746 | 758 | 750 | 758 | 753 | 747 |
| 751 | 762 | 748 | 750 | 752 | 763 | 739 | 744 | 764 | 755 |
| 751 | 750 | 733 | 752 | 750 | 763 | 749 | 754 | 745 | 747 |
| 762 | 751 | 738 | 766 | 757 | 769 | 739 | 746 | 750 | 753 |
| 738 | 735 | 760 | 738 | 747 | 752 | 747 | 750 | 746 | 748 |
| 742 | 742 | 758 | 751 | 752 | 762 | 740 | 753 | 758 | 754 |
| 737 | 743 | 748 | 747 | 754 | 754 | 750 | 753 | 754 | 760 |
| 740 | 756 | 741 | 752 | 747 | 749 | 745 | 757 | 755 | 764 |
| 756 | 764 | 751 | 759 | 754 | 745 | 752 | 755 | 765 | 762 |
По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:
1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;
Построение интервального вариационного ряда распределения
Max: 769
Min: 733
R=769-733=36
H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712
A1= x min - h/2=730,644
B1=A1+h; B2=A2+h
2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:
среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);
Вычисление выборочных характеристик распределения
Di=(xi- xср)
xср =
å xi mi/
å mi
x
ср
=
751,7539
Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
Выборочный центральный момент К
-го порядка равен
M k = ( xi - x)^k mi/ mi
В нашем примере:
| Центр момент 1 | 0,00 |
| Центр момент 2 | 63,94 |
| Центр момент 3 | -2,85 |
| Центр момент 4 | 12123,03 |
Выборочная дисперсия S
^2
равна центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S
^2=
63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S= 7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
Ac = m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek = m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek = -0,03442
Медиана Ме
- значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле
Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо
для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле
Mo
= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)
где мо
означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.
В нашем примере:
Mo = 751,49476
Так как Хср,
Mo
Me
почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs
=
S
/
x
* 100 %=
3.06%
В нашем примере:
Vs= 1,06%
3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
Графическое изображение вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.
Интервалы xiWiWhiWi/h
Ai-bi
1 2 3 4 5
4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73
5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36
| - 1,00 - |
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.
Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.
4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.
4 Анализ графиков и выводы
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .
С кумулятой сопос
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.
Примечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[
Ф
(t2i)-
Ф
(t1i)],
Где Ф(t)=2 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для
T2i=bi-x ср. S
T1i=ai-x ср.S
Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения
| Интервалы | Mi | T1 | T2 | 1/2Ф(T1) | 1/2Ф(T2) | Pi | |
| a(i) | b(i) | ||||||
| 730,644 | 735,356 | 2 | -2,640 | -2,051 | 0,4958 | 0,4798 | -0,0080 |
| 735,356 | 740,068 | 8 | -2,051 | -1,461 | 0,4798 | 0,4279 | -0,0260 |
| 740,068 | 744,780 | 6 | -1,461 | -0,872 | 0,4279 | 0,3078 | -0,0601 |
| 744,780 | 749,492 | 18 | -0,872 | -0,283 | 0,3078 | 1,1103 | 0,4013 |
| 749,492 | 754,204 | 35 | -0,283 | 0,306 | 0,0300 | 0,6619 | 0,3160 |
| 754,204 | 758,916 | 12 | 0,306 | 0,896 | 0,1179 | 0,3133 | 0,0977 |
| 758,916 | 763,628 | 11 | 0,896 | 1,485 | 0,3133 | 0,4306 | 0,0587 |
| 763,628 | 768,340 | 6 | 1,485 | 2,074 | 0,4306 | 0,4808 | 0,0251 |
| 768,340 | 773,052 | 2 | 2,074 | 2,664 | 0,4808 | 0,4960 | 0,0076 |
| Pi*n | Mi(теор) | Mi(теор)/h | Mi(теор)накоп | ||||
| -0,8000 | 1 | 0,002 | 0,0080 | ||||
| -2,5950 | 3 | 0,006 | 0,0340 | ||||
| -6,0050 | 6 | 0,013 | 0,0940 | ||||
| 40,1250 | 40 | 0,085 | 0,4953 | ||||
| 31,5950 | 32 | 0,068 | 0,8153 | ||||
| 9,7700 | 10 | 0,021 | 0,9130 | ||||
| 5,8650 | 6 | 0,012 | 0,9716 | ||||
| 2,5100 | 3 | 0,005 | 0,9967 | ||||
| 0,7600 | 1 | 0,002 | 1,0000 | ||||
| 100 | |||||||
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.
6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).
Проверка гипотез о нормальном законе распределения
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.= (mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к – число интервалов (после объединения). M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6.
Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
| Интервалы | Mi(Практ) | Mi(теор) | (Mi-Mi(теор))^2 | …../Mi(теор) | |
| a(i) | b(i) | ||||
| 730,644 | 735,356 | 2 | 2 | 9 | 1,29 |
| 735,356 | 740,068 | 8 | 5 | ||
| 740,068 | 744,780 | 6 | 13 | 49 | 3,88 |
| 744,780 | 749,492 | 18 | 21 | 9 | 0,43 |
| 749,492 | 754,204 | 35 | 25 | 100 | 4,01 |
| 754,204 | 758,916 | 12 | 21 | 81 | 3,89 |
| 758,916 | 763,628 | 11 | 12 | 1 | 0,08 |
| 763,628 | 768,340 | 6 | 5 | 1 | 0,14 |
| 768,340 | 773,052 | 2 | 2 | ||
| X^2набл | 13,71 | ||||
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu
-
квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V
=к-3
и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.
Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается
(не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается
с вероятностью ошибки a.
Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.