Решение задач по высшей математике

Задача 10 Даны матрицы

1	1	2	2	-1	1	1	0	0
А=	-2	0	2	В=	3	4	-2	Е=	0	1	0
0	-1	0	1	0	-1	0	0	1

Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е

Решение:

2 -1 1 1 1 2

BA= 3 4 -2 · -2 0 2

1 0 -1 0 -1 0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

4 1 2

= -5 5 14

1 2 2

10 -5 5 2 0 0

5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,

5 0 -5 0 0 2

1 1 2

т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2

0 -1 0

	10-1+4-2	-5-1+1-0	5-2+2-0
С=	15+2-5-0	20-0+5-2	-10-2+14-0
5-0+1-0	0+1+2-0	-5-0+2-2

11	-5	5
12	23	2
6	3	-5

Задача 20

Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y –2z = -1

2x + y + z = 4

Решение:

Метод Гаусса.

1	2	1	5	1	2	1	5	1	2	1	5
1	-1	-2	-1	~	0	-3	-3	-6	~	0	-3	-3	-6
2	1	1	4	0	-3	-1	-6	0	0	2	0

2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.

Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:

D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.

1	2	1
Δ=	1	-1	-2	= -1+1-8+2-2+2= -6
2	1	1

5	2	1
Δx =	-1	-1	-2	= -5-1-16+4+2+10 = -6
4	1	1

X=Δx
/Δ= -6/(-6) = 1

1	5	1
Δy =	1	-1	-2	= -1+4-20+2+8-5 = -12
2	4	1

Y=Δy
/Δ= -12/(-6) =2

Z=Δz
/Δ= 0/(-6) = 0

1	2	5
Δя =	1	-1	-1	= -4+5-4+10+1-8 = 0
2	1	4

Решение системы {1;2;0}

Задача 30

На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

- длину стороны АВ

- уравнение стороны АВ

- уравнение медианы АD

- уравнение высоты СЕ

- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

- внутренний угол при вершине А

- площадь треугольника АВС

- координаты точки Е

- сделать чертеж

Решение:

1. Длина стороны АВ:

½АВ½= » 5,385

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

; ;

у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­AB
= 2/5

3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координаты середины ВС:

х4
= (х2
+ х3
)/2 = 3,5, у4
= (у2
+ у3
)/2 = 3

D (-3,5;3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:

; -5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD

3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3
ёу3
) и имеющей

угловой коэффициент kСЕ
, имеет вид:

у – у3
= kСЕ
(х – х3
); у – 5 = -2,5(х+4)

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.

5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3
ёу3
) и имеющей угловой коэффициент kАВ
, имеет вид:

у – у3
= kАВ
(х – х3
); у – 5 = х +,

у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.

6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:

, где

- длины сторон АВ и АС соответственно.

,

ÐА = arc cos 0,7643 = 40о
9'

7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:

S = Ѕç(x2
– x1
)(y3
– y1
) – (x3
– x1
)(y­2
– y1
)ç;

S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.

8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5

у =

0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

Задача 40

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.

у2
+ 2x - 2y -1 = 0

Решение:

Выделяем полные квадраты:

у2
- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)2
= -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)2
– это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая

у = 1, ветви параболы направлены влево.

Задача 50

Вычислить пределы.

1)

2)

3)

4)

так как -первый замечательный предел

5) , (a>0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где -– второй замечательный предел.

Задача 60

Найти производные функций:

1) y =

y¢ =

2) у =

3) y =

y¢ =

4) y = ctg(ex
cosx);

y¢=

Задача 70

Провести полное исследование функции и построить ее график.

у = ;

Решение:

1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).

2. Поведение функции на границах области определения:

3. у¢= х3
– х2
= х2
(x-1); у¢= 0, если х1
= 0, х2
= 1;

При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.

При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет.

При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. уmin
= 1
/4
- 1
/3
= - 1
/12
.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у²= 3х2
– 2х = x(3x-2).

у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1
= 0, х2
= 2
/3
;

При х < 0, у²> 0, график вогнутый.

При 0 < х < 2
/3
, у²< 0, график выпуклый.

При х > 2
/3
, у²> 0, график вогнутый.

Точки х1
= 0 и х2
= 2
/3
- точки перегиба графика функции.

у(0) = 0, у(2
/3
) » -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ. у = 0, = 0 х1
= 0, x2
= 4
/3

С осью ОУ. х = 0, у= 0.

Задача 80

Найти частные производные первого и второго порядка функций.

z = x2
∙sin y + y2
∙cos x;

Решение:

=.

Задача 90

Дана функция. Показать, что

Решение:

=

=

=-= 0, что и требовалось доказать.

Задача 100

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3
+ 8y3
-6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.

Решение:

1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:

3x2
= 6y, y =

24y2
= 6x,

x1
= 0, x2
= 1, y1
= 0, y2
= Ѕ

Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у3
+1;

24у2
, z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х3
– 6х+9;

3х2
- 6 = 0, х2
= 2 х = ±»±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 , – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,

z = 8 + 8у3
- 12у+1 = 8у3
- 12у+9;

2у2
= 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х3
+ 6х-7;

3х2
+ 6 ≠ 0, при любых значениях х.

2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.

ZA
= Z(0,-1) = -8+1=-7;

ZB
= Z(0,1) = 8+1=9;

ZC
= Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

ZD
= Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

ZK
= Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

ZO
= Z(0,0) = 1;

ZM
= Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

ZN
= Z(1,) = 0;

ZQ
= Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Zmin
= -7, Zmax
= 14,7.

Задача 110

Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):

Х	1	2	3	4	5
У	4,8	5,8	4,3	2,3	2,8

Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

Подсчитаем суммы:

1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5

Подставляем значения сумм в систему уравнений:

52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0 (*3)

a = -0.75

20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.

Задача 120

Вычислить неопределенные интегралы:

1)

2)

3)

4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

dx =

5) Подстановка:

Задача 130

Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х2­­
­­­­­­­, y = 2- x2

Решение:

S =

S

Sкв.ед.

Задача 140

Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:

(у-3)2
+3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох

Решение:

V =

V =

=6p∙27 =162p куб.ед.

Литература:

1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.