1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Вероятность события А найдем используя условную вероятность.
= 0,278
– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.
,
где – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.
Т.к. события - независимые совместные события.
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н1
, Н2
, Н3
.
– деталь изготовлена на первом станке;
– деталь изготовлена на втором станке;
– деталь изготовлена на третьем станке;
Гипотезы Нi
образуют полную группу событий.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
– полная вероятность.
=; =;
=; =;
=0,45; =;
Тогда
. = 0,015.
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем – наиболее вероятное число выпадений 6.
Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства:
;
– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию.
;
Так как – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение.
Таблица 1.
|
|
1 |
4 |
5 |
7 |
8 |
|
|
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,15 |
Найдем числовые характеристики данного распределения.
Математическое ожидание
= 4,25
Дисперсию определим по формуле: .
= 24,55.
Тогда
Найдем функцию распределения случайной величины.
.
Построим график этой функции
6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;]
Решение.
Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .
Вычислим определенный интеграл:
.
Следовательно, , .
Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то
= =
= = .
Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке
[0, ], то .
=.
Найдем .
Воспользуемся формулой =.
=
Найдем функцию распределения СВ Х.
При
.
При
.
При
.
7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .
Решение.
Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала .
Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:
;
;
Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .
На интервале одна обратная функция , следовательно
На интервале две обратных функции и , следовательно .
Найдем производные обратных функций
; .
Учитывая, что , получим
; .
В результате получим:
.
Таким образом, плотность вероятности величины равна:
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .
Решение.
Построим область
Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции
Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим
= .
Следовательно, . Значит,
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
Корреляционный момент вычислим по формуле
.
.
.
.
Определим корреляционный момент
Ответ:
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
1. Получить вариационный ряд;
2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;
3. Построить гистограмму равновероятностным способом;
4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ()
| 0,22 |
0,42 |
0,07 |
1,69 |
0,42 |
0,94 |
1,81 |
2,24 |
0,74 |
0,75 |
| 0,80 |
2,59 |
0,55 |
0,43 |
0,51 |
0,38 |
1,41 |
0,73 |
0,03 |
0,96 |
| 0,63 |
0,17 |
0,10 |
0,09 |
1,09 |
1,52 |
2,97 |
0,91 |
1,53 |
0,55 |
| 1,23 |
1,27 |
0,75 |
1,55 |
0,88 |
0,57 |
0,31 |
1,04 |
1,71 |
1,39 |
| 1,16 |
0,86 |
1,13 |
0,82 |
2,02 |
1,17 |
0,25 |
0,64 |
0,07 |
0,11 |
| 1,99 |
0,71 |
2,17 |
0,23 |
2,68 |
1,82 |
1,19 |
0,05 |
1,23 |
4,70 |
| 0,37 |
0,40 |
1,31 |
0,20 |
0,50 |
2,48 |
0,32 |
1,41 |
0,23 |
1,27 |
| 0,33 |
1,48 |
0,52 |
0,68 |
0,30 |
0,40 |
0,24 |
1,52 |
0,17 |
0,17 |
| 0,83 |
1,20 |
0,65 |
0,05 |
1,45 |
0,23 |
0,37 |
0,09 |
3,66 |
0,28 |
| 0,77 |
0,11 |
1,95 |
0,10 |
0,95 |
0,65 |
4,06 |
3,16 |
0,51 |
2,02 |
Решение.
Найдем размах вариации . 0,03; 4,70;
4,70–0,03 = 4,67.
Вариационный ряд распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
| 0,03 |
1 |
0,86 |
1 |
| 0,05 |
2 |
0,88 |
1 |
| 0,07 |
2 |
0,91 |
1 |
| 0,09 |
2 |
0,94 |
1 |
| 0,1 |
2 |
0,95 |
1 |
| 0,11 |
2 |
0,96 |
1 |
| 0,17 |
3 |
1,04 |
1 |
| 0,2 |
1 |
1,09 |
1 |
| 0,22 |
1 |
1,13 |
1 |
| 0,23 |
3 |
1,16 |
1 |
| 0,24 |
1 |
1,17 |
1 |
| 0,25 |
1 |
1,19 |
1 |
| 0,28 |
1 |
1,2 |
1 |
| 0,3 |
1 |
1,23 |
2 |
| 0,31 |
1 |
1,27 |
2 |
| 0,32 |
1 |
1,31 |
1 |
| 0,33 |
1 |
1,39 |
1 |
| 0,37 |
2 |
1,41 |
2 |
| 0,38 |
1 |
1,45 |
1 |
| 0,4 |
2 |
1,48 |
1 |
| 0,42 |
2 |
1,52 |
2 |
| 0,43 |
1 |
1,53 |
1 |
| 0,5 |
1 |
1,55 |
1 |
| 0,51 |
2 |
1,69 |
1 |
| 0,52 |
1 |
1,71 |
1 |
| 0,55 |
2 |
1,81 |
1 |
| 0,57 |
1 |
1,82 |
1 |
| 0,63 |
1 |
1,95 |
1 |
| 0,64 |
1 |
1,99 |
1 |
| 0,65 |
2 |
2,02 |
2 |
| 0,68 |
1 |
2,17 |
1 |
| 0,71 |
1 |
1 |
|
| 0,73 |
1 |
2,48 |
1 |
| 0,74 |
1 |
2,59 |
1 |
| 0,75 |
2 |
2,68 |
1 |
| 0,77 |
1 |
2,97 |
1 |
| 0,8 |
1 |
3,16 |
1 |
| 0,82 |
1 |
3,66 |
1 |
| 0,83 |
1 |
4,06 |
1 |
| 4,7 |
1 |
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле
. Длина частичного интервала вычисляется по формуле
.
Полученные значения запишем в таблицу
| № |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
0,03 |
0,497 |
0,467 |
34 |
0,34 |
0,73 |
| 2 |
0,497 |
0,964 |
0,467 |
27 |
0,27 |
0,58 |
| 3 |
0,964 |
1,431 |
0,467 |
15 |
0,15 |
0,32 |
| 4 |
1,431 |
1,898 |
0,467 |
10 |
0,1 |
0,21 |
| 5 |
1,898 |
2,365 |
0,467 |
6 |
0,06 |
0,13 |
| 6 |
2,365 |
2,832 |
0,467 |
3 |
0,03 |
0,06 |
| 7 |
2,832 |
3,299 |
0,467 |
2 |
0,02 |
0,04 |
| 8 |
3,299 |
3,766 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
| 9 |
3,766 |
4,233 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
| 10 |
4,233 |
4,7 |
0,467 |
1 |
0,01 |
0,02 |
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
| № |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
0,03 |
0,17 |
0,14 |
10 |
0,1 |
0,7143 |
| 2 |
0,17 |
0,25 |
0,08 |
10 |
0,1 |
1,2500 |
| 3 |
0,25 |
0,42 |
0,17 |
10 |
0,1 |
0,5882 |
| 4 |
0,42 |
0,57 |
0,15 |
10 |
0,1 |
0,6667 |
| 5 |
0,57 |
0,77 |
0,2 |
10 |
0,1 |
0,5000 |
| 6 |
0,77 |
0,96 |
0,19 |
10 |
0,1 |
0,5263 |
| 7 |
0,96 |
1,27 |
0,31 |
10 |
0,1 |
0,3226 |
| 8 |
1,27 |
1,53 |
0,26 |
10 |
0,1 |
0,3846 |
| 9 |
1,53 |
2,17 |
0,64 |
10 |
0,1 |
0,1563 |
| 10 |
2,17 |
4,7 |
2,53 |
10 |
0,1 |
0,0395 |
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
1,00.
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
, 0,82,
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
1,00, 0,82, , , .
;
Доверительный интервал для математического ожидания .
Доверительный интервал для дисперсии
, =1,96 ().
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H0
:
H1 :
Определим оценку неизвестного параметра
Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов
Теоретические частоты найдем по формуле
| № |
Интервалы [xi
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
0,03 |
0,497 |
0,36 |
36,00 |
-2,00 |
4,00 |
0,1111 |
| 2 |
0,497 |
0,964 |
0,23 |
23,00 |
4,00 |
16,00 |
0,6957 |
| 3 |
0,964 |
1,431 |
0,14 |
14,00 |
1,00 |
1,00 |
0,0714 |
| 4 |
1,431 |
1,898 |
0,09 |
9,00 |
1,00 |
1,00 |
0,1111 |
| 5 |
1,898 |
2,365 |
0,06 |
6,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
| 6 |
2,365 |
2,832 |
0,04 |
4,00 |
-1,00 |
1,00 |
0,2500 |
| 7 |
2,832 |
3,299 |
0,02 |
2,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
| 8 |
3,299 |
3,766 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
| 9 |
3,766 |
4,233 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
| 10 |
4,233 |
4,7 |
0,01 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,0000 |
| НАБЛ
|
1,24 |
||||||
Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0
(x) показательного закона равна
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.
| № |
Интервалы [xi
|
частота в интервале |
|
|
|
|
| 1 |
-2,951 |
7 |
34 |
0,34 |
0,36 |
0,02 |
| 2 |
-2,513 |
10 |
27 |
0,61 |
0,59 |
0,02 |
| 3 |
-2,075 |
8 |
15 |
0,76 |
0,73 |
0,03 |
| 4 |
-1,637 |
12 |
10 |
0,86 |
0,82 |
0,04 |
| 5 |
-1,199 |
14 |
6 |
0,92 |
0,88 |
0,04 |
| 6 |
-0,761 |
11 |
3 |
0,95 |
0,91 |
0,04 |
| 7 |
-0,323 |
9 |
2 |
0,97 |
0,93 |
0,04 |
| 8 |
0,115 |
4 |
1 |
0,98 |
0,95 |
0,03 |
| 9 |
0,553 |
16 |
1 |
0,99 |
0,96 |
0,03 |
| 10 |
0,991 |
9 |
1 |
1,00 |
0,97 |
0,03 |
; .
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .
Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
1. Вычислить оценку коэффициента корреляции;
2. Вычислить параметры линии регрессии и ;
3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин и .
0,88; 0,10.
1,59; .
1,76; .
Корреляционный момент равен:
–0,23
Найдем уравнения регрессии
где ;
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент корреляции равен:
.
Найдем интервальную оценку.
.
,
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .
Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. .
Так как – нулевую гипотезу принимаем.