Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.20

Задача 20
. Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

20.1.

y'= e-x^2/2
-x2
e-x^2/2
= e-x^2/2
(1-x2
)

xe-x^2/2
(1-x2
)=xe-x^2/2
(1-x2
)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.2.

y'= (xcosx-sinx)/x2

(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx

cosx=cosx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.3.

y'= -10e-2
x
+ex
/3

-10e-2x
+ex
/3+10e-2x
+2ex
/3=ex

ex
=ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.4.

y'= -cx/√(1-x2
)

-cx(1-x2
)/√(1-x2
)+2x+cx√(1-x2
)=2x

2x=2x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.5.

y'= √(1-x2
)-x2
/√(1-x2
)= (1-2x2
)/√(1-x2
)

x
√(1-
x
2
)(1-2
x
2
)
= x-2x3

√(1-x2
)

x-2x3
= x-2x3

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.6.

y'= c*tgx/cosx

c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.7.

y'= 3/(3x+c)2

3/(3x+c)2
=3/(3x+c)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.8.

y'= ex
/(c+ex
)

ex
/(c+ex
)= ex
/eln(c+e^x)

ex
/(c+ex
)=ex
/(c+ex
)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.9.

dy= (2x-c)dx/(2√(x2
-cx))

(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2
-cx))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.10.

dy= (cx-xlnx+1)dx

(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.11.

y'= etgx/2
/(2cos2
x/2)= etgx/2
/(cosx+1)

sinx*etgx/2
/(cosx+1)= etgx/2
lnetgx/2

tgx/2= tgx/2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.12.

y'= (1-x+1+x)/(1-x)2
=2/(1-x)2

2/(1-x)2
= 1-2
x
+
x
2
+1+2
x
+
x
2

(1-x)2
(1+x)

2/(1-x)2
=2/(1-x)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.13.

y'= 1-b2

(1-bx)2

b+x
– x(
1-b2
)
= b + x2
(
1-b2
)

1+bx (1-bx)2
(1-bx)2

b + x
2
(1-b2
)=b + x
2
(1-b2
)

(1-bx)2
(1-bx)2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.14.

y'= 1-2x _

3
√(2+3x-3x2
)2

(1-2x) 3
√(2+3x-3x2
)
= 1-2x _

3
√(2+3x-3x2
)2 3
√(2+3x-3x2
)

1-2x _
= 1-2x _

3
√(2+3x-3x2
) 3
√(2+3x-3x2
)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.15.

y'= 4ex

= ex
_

4(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1) (1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)

ex
(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)
= ex

(1+ex
)√(ln((1+ex
)/2)2
+1)

ex
=ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.16.

dy= 3dx _

3xcos2
ln3x

(1+tg2
ln3x)dx = 3xdx _

3xcos2
ln3x

dx/cos2
ln3x= dx/cos2
ln3x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.17.

y'= 2/(x3
√(2/x2
-1))

1+2/x2
-1- 2x√(2/x2
-1)/(x3
√(2/x2
-1))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.18.

<

br />

y'= x-1 _

3x√(x-lnx-1)2

lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2
= 0

3x√(x-lnx-1)2

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.19.

y'= 7/(ax+1)2

a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2
= a(1+7x2
/(ax+1)2
)

a(1+7x2
/(ax+1)2
)= a(1+7x2
/(ax+1)2
)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.20.

y'= -a2
_

2x2
√(a/x-1)cos2
√(a/x-1)

a2
+a2
tg2
√(a/x-1)- 2a2
x√(ax-x2
)
= 0

2x2
√(a/x-1)cos2
√(a/x-1)

a2
/cos2
√(a/x-1) – a2
/cos2
√(a/x-1)=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.21.

y'= 1 _

8 4
√(√x+√(x+1))

8x
_ 4
√(√x+√(x+1)) = -1 _

8 4
√(√x+√(x+1)) 4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1)

-1 _
= -1 _

4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1) 4
√(√x+√(x+1))3
√(x+1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.22.

y'= ex^2
(1+2x2
+2x)

ex^2
(1+2x2
+2x) – 2xex^2
(1+x)=2xex^2

2xex^2
=2xex^2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.23.

y'= 2x2
-4x5
-x6
-2x3
-1

x2
(x3
+1)2

x(x3
+1)( 2x2
-4x5
-x6
-2x3
-1)
+ (2x3
-1)(2x2
+1)
= x3
-2

x2
(x3
+1)2
x(x3
+1) x

x3
-2
= x3
-2

x x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.24.

y'= (1+2x)ex+x^2
+2ex

(1+2x)ex+x^2
+2ex
- ex+x^2
+2ex
= 2xex+x^2

2xex
+
x
^2
=2xex
+
x
^2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.25.

y'= -cosx-xsinx+3

-xcosx+x2
sinx+3x = -xcosx+3x+ x2
sinx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.26.

y'= -cosx-1 _

2√(sinx+x)3

-2sinx(cosx+1)
+ cosx
= xcosx-sinx

2√(sinx+x)3
√(sinx+x) √(sinx+x)3

xcosx-sinx
= xcosx-sinx

√(sinx+x)3
√(sinx+x)3

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.27.

y'= 2
x
3
-4
x
2
+2
x
-1

(x-1)2

x
(
x
-1)(2
x
3
-4
x
2
+2
x
-1)
+ x/(x-1)+x2
= x2
(2x-1)

(x-1)2

x2
(2x-1)= x2
(2x-1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.28.

y'= (cosx+xsinx)/cos2
x

(cosx+xsinx)/cos2
x-xtgx/cosx = secx

1/cosx=secx

secx= secx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.29.

y'= n(x+1)n-1
(ex
-1)+(x+1)n
ex

n(x+1)n-1
(ex
-1)+(x+1)n
ex
- n(x+1)n
(ex
-1)/(x+1) = (x+1)n
ex

(x+1)n
ex
=(x+1)n
ex

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.30.

y'= 2xcosx-2sinx-x2
sinx

x2

xsinx(2xcosx-2sinx-x2
sinx)
+ (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx)
= sinxcosx-x

x2
x

sinxcosx-x= sinxcosx-x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.31.

y'= 2x-4x3

= 1-2x2

2√(x4
-x2
) √(x2
-1)

-x√(x4
-x2
)( 1-2x2
)
- x4
+x2
= x4

√(x2
-1)

x4
= x4

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).