Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

методом простых итераций»

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш.

Улан-Удэ

2011 г. Введение

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями
называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы
;

2. итерационные методы
.

Точные методы
позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы
с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

(1)

где:

1. Функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2. Значения f
(x
) на концах отрезка имеют разные знаки (f
(a
) * f
(b
) < 0).

3. Первая и вторая производные f'
(x
) и f''
(x
) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a,
b
] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f
(x
) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом
значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f
(x
) в нуль, т.е. такое, что:

называется корнем
уравнения
(1) или нулем
функции f
(x
).

Задача нахождения корня уравнения f
(x
) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней
- отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней
- доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f
(x
) в граничных x
= a
и x
= b
точках области ее существования.

Пример

1.

Отделить корни уравнения:

f (x ) º x 3 - 6х + 2 = 0.

(2)

Составим приблизительную схему:

x	-¥	-3	-1	0	1	3	+¥
f(x)	-	-	+	+	-	+	+

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения
) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ
определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f
(x
) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f
(x
) и отметить точки пересечения f
(x
) с осью Ох,
или отметить на оси Ох
отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным
ему уравнением:

,

(3)

где функции f
1
(x
) и f
2
(x
) - более простые, чем функция f
(x
). Тогда, построив графики функций у
= f
1
(x
) и у
= f
2
(x
),
искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Рисунок 2.

Пример

2.

Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

x lg x = 1.

(4)

Уравнение (4)

удобно переписать в виде равенства:

lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y
= lg x
и гиперболы y
=
. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х
0
. Каждый такой шаг называется итерацией
. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х
1
,
х
2
,
...,
хn
.
Если эти значения с увеличением числа итераций n
приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится
.

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f
(х
) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x ).

(8)

Пусть известно начальное приближение корня х = х
0
.
Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

х 1 = j(х 0 ).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

(9)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу
графики функций у = х
и у =
j
(х
).
Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М
кривой у =
j
(х
) с прямой у = х
(Рисунок 6, а
).

Рисунок 6.

Отправляясь от некоторой точки А
0
[x
0
, j
(x
0
)],
строим ломаную А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох
и оси Оу
, вершины А
0
, А
1
, А
2
, ...
лежат на кривой у=
j
(х
),
а вершины В
1
, В2
, В
3
, …, - на прямой у = х.
Общие абсциссы точек А
1
и В
1
, А
2
и В
2
, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х
1
, х
2
, ...
корня .

Возможен также другой вид ломаной А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
...
- “спираль” (Рисунок 6, б
). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х
) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х
) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б
кривая у
= j (х
) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Рисунок 7.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема:
Пусть функция
j (х
) определена и дифференцируема на отрезке
[a, b
], причем все ее значения
j (х
) [a
, b
].

Тогда, если существует правильная дробь
q
такая, что

q
< 1

при a
< x
< b,
то:
1) процесс итерации

сходится независимо от начального значени
я х
0
I
[a
, b
];

2) предельное значение
является единственным корнем уравнения
х =
j
(х
) на отрезке
[a, b
].

Пример

5.

Уравнение

f (x ) = x 3 - x - 1 = 0

(10)

имеет корень x [1, 2], так как f
(1) = - 1 < 0 и f
(2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

х = х 3 - 1.

(11)

Здесь

j (х
) = х
3
- 1 и j' (х
) = 3х
2
;

поэтому

j' (х
) 3 при 1 х
2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

(12)

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х
2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10-2
. Вычисляем последовательные приближения хn
с одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в Таблицу 1:

Таблица 1

Значения последовательных приближений xi.

i	0	1	2	3	4
xi	1	1,260	1,312	1,322	1,3243

С точностью до 10-2
можно положить x = 1,324.