МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
Факультет заочного и послевузовского обучения
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики"
Воронеж 200
4 г.
Вариант – 9.
Задача № 1.
№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени
t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1
, второй – с вероятностью р2
, третий – с вероятностью р3
. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).
p
1
=0,4 p2
=0,6 p3
=0,9
Решение:
Пусть событие А
означает, что первый узел оказался неисправным, В
оказался неисправным второй узел и С
– оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени t
, - был исправен второй узел, - был исправен третий узел.
а) Пусть событие D
означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем:
б) Пусть событие Е
– все узлы вышли из строя, тогда:
в) Пусть событие F
– только один узел стал неисправным, тогда:
События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:
г) Пусть событие D1
– хотя бы один узел стал неисправным, тогда:
.
Задача № 2
№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?
Решение:
Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие - искажение при передаче символа А, событие и - искажения при передаче символов В и С соответственно.
По условию вероятности этих событий равны:
, , , ,
Если события , и - искажения при передаче символов, то события , и - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:
Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.
Можно выдвинуть следующие гипотезы:
Н1
– переданы символы АА,
Н2
– символы АВ,
Н3
– символы ВА,
Н4
– символы АС,
Н5
– символы СА,
Н6
– символы ВВ,
Н7
– символы ВС,
Н8
– символы СВ,
Н9
– символы СС.
Вероятности этих г
Условные вероятности события D
если имела место одна из гипотез будут:
По формуле Бейеса вычислим условную вероятность с учетом появления события Р
:
Задача № 3
№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно
k раз; б) не менее
k раз; в) не более
k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице).
| n=5 | k=4 | p=0,8 |
Решение:
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
, где
число сочетаний из п
элементов по k
, q=1-
p
. В рассматриваемом случае:
а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:
б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:
в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:
г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:
Задача № 4
№№ 61-80. Дана плотность распределения
f(
x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию
D[
X], вероятность выполнения неравенства х1
<
x<
x2
, построить график функции распределения
F(
x).
Решение:
Для определения параметра а
воспользуемся основным свойством плотности распределения:
, так как при плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид: или , откуда
;
Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:
Откуда получим:
Математическое ожидание и дисперсию определим по формулам:
Вероятность выполнения неравенства <x<
определим по формуле: Р( <
x< )=
F( ) –
F( )=
Задача №5
№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение (см. исходные данные в таблице).
| a = 10 | b = 22 | a
= 8 |
s = 6 |
Решение:
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:
Здесь - функция Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х)
нечетная, получим: