Заказ №1459
№1
Округлить сомнительные цифры числа а
, оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.
Решение
а) По условию . Следовательно, в числе верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a
до четырех
значащих цифр: . Тогда
Так как , то число a
1
имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a
до трех значащих цифр: . Тогда
Так как , то число a
2
имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a
до двух значащих цифр: . Тогда
Так как , то две оставшиеся цифры результата верны в узком смысле. Таким образом,
б) Представим в виде и найдем
примем. Так как , то число a
= 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a
до трех значащих цифр: . Тогда
Так как, то три оставшиеся цифры результата верны в широком смысле. Таким образом,
.
Ответ:
а) , ;
б) ,
№2
Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f
(x
) с заданными узлами xk
(k
= 0, 1, 2, 3)
Решение
Прежде всего, заметим, что
Применяя формулу (3) при n
= 3, получим:
Ответ:
№3
Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y
= ax
+ b
по данным опыта, представленным таблицей
| х
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| у
|
1,8 |
1,3 |
3,3 |
4,8 |
3,8 |
Решение
Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу
|
|
|
|
|
|
| 0 1 2 3 4 |
1 2 3 4 5 |
1,8 1,3 3,3 4,8 3,8 |
1,8 2,6 9,9 19,2 19 |
1 4 9 16 25 |
|
|
15 |
15 |
52,5 |
55 |
Нормальная система уравнений принимает вид
Следовательно, искомая эмпирическая формула
Ответ:
№4
Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.
Решение
Определяем значения подынтегральной функции при для следующих значений аргумента
Находим соответствующие значения функции :
Тогда получаем
Ответ:
№5
Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до
Решение
Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим
Составляем таблицу знаков функции
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
+ |
- |
+ |
Уравнение имеет три действительных корня:
Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1
|
|
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
Значит,
Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем
при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем
. Все вычисления сводим в таблицу
|
|
|
|
|
|
|
| 0 1 2 3 4 |
3 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 |
67 15,4003 2,1721 0,0765 -0,0005 |
103 57,3388 41,4471 38,5488 38,4394 |
0,651 0,267 0,0524 0,0020 0 |
2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 2,0265 |
Искомый корень
Ответ:
№6
Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y
’ = f
(x
, y
), удовлетворяющего начальному условию y
(1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h
= 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой
Решение
Находим последовательные значения аргумента
Обозначим
Для удобства вычислений составим таблицу
|
|
|
|
|
|
| 0 1 2 3 4 5 |
1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 |
0 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 |
1 0,9907 0,9824 0,9750 0,9686 |
0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 |
Таким образом, имеем следующую таблицу
| х
|
1 |
1,01 |
1,02 |
1,03 |
1,04 |
1,05 |
| у
|
0 |
0,01 |
0,0199 |
0,0297 |
0,0395 |
0,0491 |
Ответ:
таблица.