КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
по дисциплине
«Экономико-математические методы и модели»
на тему «Оптимальная комбинация ресурсов»
Выполнила: студентка гр. О-060500-31
Проверил: доцент
Гольман А.Ф.
Ижевск, 2010
Оптимальная комбинация ресурсов
Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.
Предположим, что факторы ( x 1 , ..., x N ) могут быть закуплены по ценам ( p 1 , ..., p N ), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид:
Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.:
называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b . Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b . Таким образом, требуется найти решение задачи:
Искомое решение находится из системы уравнений:
где l множитель Лагранжа.
В частности, если число факторов N = 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1).
Рис. 1. Оптимальная комбинация ресурсов
Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору факторов ( ).
Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N = 2.
Пусть x 1 = K капитал (основные фонды),
x 2 = L труд (рабочая сила);
производственная функция
условие ограниченности ресурса
где r цена использования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w ставка оплаты труда.
Условия оптимальности имеют вид:
а)
Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности;
б)
Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 2).
Рис. 2. Оптимальное количество занятых
Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w .
Для ПФ типа Кобба - Дугласа задача имеет вид:
найти
при условии
Получим следующее решение:
Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину D y изменится максимальный выпуск продукции если объем средств b увеличится на малую единицу.
Заметим, что сумма эластичностей капитала () и труда () характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов ( K и L ) увеличивается в одинаковое число раз. Если a + b > 1, то отдача возрастает, если a + b = 1, то отдача постоянная, если a + b < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.
Литература
1.Замков О.О.,Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н.,Математические методы в экономике. М.: АО ДИС, 1997.
2. http://www.humanities.edu.ru/