Изучение методов интерполяции и аппроксимации

XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения »

Изучение методов

интерполяции и аппроксимации

Выполнила учащаяся группы ФМ3.2

Сарманова Снежана Геннадьевна

Научный руководитель: Бородкин

Дмитрий Константинович,

преподаватель информатики Лицея №2

г.Ангарск, 2009

Содержание

1. Аннотация……………………………...…………………………………………………....3

2. Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3

3. Введение………………………………………………………………………..…….……...4

4. Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5

· Теория ………………………………………………………………………….........5

· Блок-схема……………………………………………………………...……………6

· Текст программы……………………………………………………………..….….7

· Пример…………………………………………………………………..……….…..7

5. Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8

· Теория…………………………………………………………………….……….. 10

· Блок-схема…………………………………………………………….....…………11

· Текст программы…………………………………………………………….……..12

· Пример……………………………………………………………………………...13

6. Инструкция по работе с программами……………............................................................16

7. Заключение…………………………………………………………………………………17

8. Список литературы………………………………………………………………………...18

Аннотация

В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.

Цель работы:
разработать программы вычисления значений функции f(
x)
для значений х,
не содержащихся в таблице.

Задачи:

· Изучить и проанализировать научную, справочную литературу

· Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени

· Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы

· Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0

Гипотеза:
создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.

Введение

Если задана функция y (
x),
то это означает, что любому допустимому значению х
сопоставлено значение у
. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х)
может быть определено как решение сложной задачи, в которой х
играет роль параметра, или у(х)
измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у(х)
может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х)
приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х),
которая близка в некотором смысле к у(х)
и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)


φ(х)
. Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а1
, а2
, …, а
n
}
и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация
и интерполяция
.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка
) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x
) в точках x, лежащих между точками x0
по известным значениям yi = f( xi) (где i = 0,1,..., n).
Если x
лежит вне интервала ( x0
, xn
), аналогичная процедура называется экстраполяцией
.

Основная цель интерполяции
– получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(
x)
для значений х,
не содержащихся в таблице.

АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь
) - замена одних математических объектов (наприме
р, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например
, кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция.
Она состоит в том, что заданные точки ( х
i
, у
i
) (
i=0, 1, …,
n
) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х)
приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Рис. пример интерполяции

Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется nинтервалов ( х
i-1
, х
i
), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х
i-1
, у
i-1
) и (х
i
,
yi
), в виде

=

Отсюда

y= ai
x + bi
; xi-1
≤ x ≤ xi
, (1)

,
bi
=
yi
-1
–
ai
xi
-1
.

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х
, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Данный алгоритм представлен на рисунке

Нет

Да

Нет

Текст программы:

Program interpol;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

y: array [1..N] of real;

a, b, xр, yр : real;

i: integer;

begin

for i:=1 to N do

begin{ввод данных через массивы
}

writeln (‘x[‘,i,’]=’);

readln (x[i]);

writeln (‘y[‘,i,’]=’);

readln (y[i]);

end;

write (‘vveditex=’); {ввод промежуточного значения}

readln (xр);

for i:=2 to N do

if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then

begin

a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]);

b:= y [i-1] – a*x[i-1];

yр:= a*xр + b

else writeln (‘ekstrepolyazia’);

readln;

end;

writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

readln;

end.

Пример
. Найти значение функции y=f(x),