С О Д Е Р Ж А Н И Е
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Теоретические основы изучения темы : « Арифметические действия над многозначными числами.»
1.1. Учебная деятельность младших школьников. Анализ программы и учебника математики для 4-го класса под ре6дакцией М.И.Моро, М.А.Бантова.
1.2. Теоретические основы формирования алгоритма письменных приемов сложения, вычитания, умножения и деления
Глава 2. Типичные ошибки при выполнении арифметических действий над многозначными числами. Пути их предупреждения и исправления.
2.1. Характеристика вычислительных навыков.
2.2. Типичные ошибки при выполнении сложения многозначных чисел. Работа по их предупреждению.
2.3. Типичные ошибки при выполнении вычитания многозначных чисел. Работа по их предупреждению.
2.4. Типичные ошибки при выполнении умножения многозначных чисел. Работа по их предупреждению.
2.5. Типичные ошибки при выполнении деления многозначных чисел. Пути их предупреждения.
2.6. Организация самостоятельной работы учащихся над допущенными ошибками. Методические предложения по предупреждению ошибок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА.
В В Е Д Е Н И Е
Основной целью обучения математике в начальной школе является формирование у младших школьников прочных вычислительных навыков, среди которых сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел. В программе по математике для начальной школы предъявляются следующие требования к умениям выпускника начальной школы: уметь выполнять письменные вычисления (сложения и вычитание многозначных чисел, умножение и деление многозначных чисел на однозначное и двузначное число), проверку вычислений.
Изучение темы «Арифметические действия над многозначными числами» проводится в 4 кл. (1-4). Основными задачами учителя являются: обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания , умножения и деления, закрепить навыки устного сложения и вычитания, умножения и деления, выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.
Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно, что создает лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приемы вычислений сходны.
Подготовительную работу начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел, повторяют письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел. Такая подготовительная работа создает возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приемы сложения и вычитания многозначных чисел. При ознакомлении приемами многозначных чисел учащиеся решают такие примеры , где каждый последующий включает в себя предыдущий: Аналогичная работа ведется и при умножении и делении многозначных чисел.
В настоящее время в начальной школе наряду с традиционной существует большое количество программ и учебников, авторами которых являются Аргинская И.И., Волкова С.И., Истомина Н.Б., Петерсон О.Г., Салмина Н.Г., Тарасов В.А. и др. Многие авторы значительно расширяют круг изучаемых в начальной школе, зачастую в ущерб основной цели – формирование у младших школьников прочных вычислительных навыков. Учебники часто распространяются не по заказу учителя или желанию родителей, а по требованию администрации, закупающей их. Опытный учитель, работая по новому (параллельному) учебнику пользуется своими старыми конспектами, а иногда ученики занимаются по двум учебникам: по «модному» - в классе, а по традиционному – дома.
Одной из причин такого устойчивого положения традиционных учебников Моро М.И., и др. является то, что изучение каждой темы идет последовательно, с большим количеством упражнений, к учебнику имеются ряд пособий для учителя и ученика и т.п.
Как показывает практика, изучение темы : «Сложение и вычитание, умножение и деление многозначных чисел» по параллельным программам идет разрознено, зачастую ей не уделяется специально время и место, упражнений в учебниках не достаточно. Это приводит к неправильному формированию навыков письменного сложения и вычитания, которые являются необходимым условием формирования навыков письменного умножения и деления.
В результате чего возникают ошибки при выполнении арифметических действий над многозначными числами.
Сказанное определяет актуальность темы курсовой работы.
Объект исследования – формирование вычислительных навыков.
Предмет исследования – типичные ошибки при выполнении арифметических действий над многозначными числами, их причины и пути предупреждения и исправления.
Цели и задачи:
1) Проанализировать литературу по теме исследования;
2) Изучить требования по линии формирования вычислительных навыков;
3) Выявить типичные ошибки на примере конкретной группы учащихся;
4) Выявить причины, найти способы их предупреждения и исправления
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ: «АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ»
1.1. Учебная деятельность и психолого-педагогические особенности младших школьников.
Изучению психолого-педагогических особенностей младших школьников посвятили свои исследования Выготский Л.С., Кулагина И.Ю., Куприн И.Ю., Крутецкий В.А. По мнению Куприна И.Ю. ребенок действительно становится школьником тогда, когда приобретает соответствующую внутреннюю позицию. Он включается в учебную деятельность как наиболее значимую для него, а исходит благодаря изменению социальной ситуации развития ребенка, ориентирующегося на общественную ценность того, что он делает.
Утрата интереса к игре и становление учебных мотивов связаны также с особенностями развития самой игровой деятельности. Как считает Н.И.Гуткина, дети 3-5 лет получают удовольствие от процесса игры, а в 5-6 лет - не только от процесса, но и от результата, т.е. выигрыша. В играх по правилам, характерных для старшего дошкольного и младшего школьного возрастов, выигрывает тот, кто лучше освоил игру. Например, для игры в классики нужна специальная тренировка, чтобы уметь точно бросать битку и прыгать, хорошо координируя свои движения. Ребенок стремится отработать движения, научиться успешно выполнять отдельные, может быть, не слишком интересные сами по себе действия. В игровой мотивации смещается акцент с процесса на результат; кроме того, развивается мотивация достижения. Сам ход развития детской игры приводит к тому, что игровая мотивация постепенно уступает место учебной, при которой действия выполняются ради конкретных знаний и умений, что, в свою очередь, дает возможность получить одобрение; признание взрослых и сверстников, особый статус.
Итак, в младшем школьном возрасте учебная деятельность становится ведущей. Это необычайно сложная деятельность, которой будет отдано много сил и времени - 11лет жизни ребенка. Естественно, она имеет определенную структуру. Рассмотрим кратко компоненты учебной деятельности, в соответствии с представлениями Д.Б.Эльконина.
Первый компонент – мотивация. Как уже известно, учебная деятельность полимотивированна – она побуждается и направляется разными учебными мотивами. Сейчас, следует отметить, что среди них есть мотивы, наиболее адекватные учебным задачам; если они формируются у ученика, его учебная деятельность становится осмысленной и эффективной. Д.Б.Эльконин называет их учебно-познавательными мотивами. В их основе лежат познавательная потребность и потребность в саморазвитии. Это интерес к содержательной стороне учебной деятельности, к тому, что изучается, и интерес к процессу деятельности – как, какими способами достигаются результаты, решаются учебные задачи.
Ребенок должен быть мотивирован не только результатом, но и самим процессом учебной деятельности. Это также мотив собственного роста, самосовершенствования, развития своих способностей.
Второй компонент – учебная задача, т.е.система заданий, при выполнении которых ребенок осваивает наиболее общие способы действия. Учебную задачу необходимо отличать от отдельных заданий. Обычно дети, решая много конкретных задач, сами стихийно открывают от себя общий способ их решения, причем этот способ оказывается осознанным в разной мере у разных учеников, и они допускают ошибки, решая аналогичные задачи.
Учебные операции. (третий компонент)входят в состав способа действий. Операции и учебная задача считаются основным звеном структуры учебной деятельности.
Каждая учебная операция должна быть отработана.
Четвертый компонент- контроль.
Первоначально учебную работу детей контролирует учитель. Но постепенно они начинают контролировать ее сами, обучать этому отчасти стихийно, отчасти под руководством преподавателя. Без самоконтроля невозможно полноценное развертывание учебной деятельности, поэтому обучение контрольно – важная и сложная педагогическая задача.
Последний этап контроля – оценка. Ребенок, контролируя свою работу, должен научиться и адекватно ее оценивать.
При этом также недостаточно общей оценки – насколько правильно и качественно выполнено задание; нужна оценка своих действий – освоен способ решения задач или нет, какие операции еще не отработаны. Последнее особенно трудно для младших школьников. Но и первая тоже оказывается не легкой в этом возрасте, как правило, с несколько завышенной самооценкой.
Учитель, оценивая работу учеников, не ограничивается выставлением отметки. Для развития саморегуляции детей важна не отметка как таковая, а содержательная оценка – объяснения, почему поставлена эта отметка, какие плюсы и минусы имеет ответ или письменная работа. Содержательно оценивая учебную деятельность, ее результаты и процесс, учитель задает определенные ориентиры – критерии оценки, которые должны быть усвоены детьми.
Учебная деятельность, имея сложную структуру, проходит длительный путь становления. Ее развитие будет продолжаться на протяжении всех лет школьной жизни, но основы закладываются в первые годы обучения. Ребенок, становясь младшим школьником, не смотря на предварительную подготовку, больший или меньший опыт учебных знаний, попадает в принципиально новые условия.
1.2. Анализ программы и учебника математики для 4-го класса под редакцией М.И.Моро, М.А.Бантова.
В настоящее время в Федеральном комплекте для начальной школы включено более десятка учебников математики, программ, учебных и методических пособий. В этом многообразии трудно разобраться не только молодому, но и опытному учителю. Мы предприняли попытку анализа программы по математике Моро М.И. и др., целью которого было выявление содержания обучения и требований к знаниям, умениям по математике для учащихся начальной школы. Результаты анализа отражены в таблице.
Анализ программы по математике для начальной школы по теме:
«АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ»
Содержание обучения требования к знаниям, умениям и навыкам в 4 классе начальной школы.
4класс.
ТЕМА: «СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ».
Сложение и вычитание (обобщение и систематизация знаний): задачи, решаемые сложением и вычитанием; сложение и вычитание с числом 0; переместительные и сочетательные свойства сложения и их использование для рационализации вычислений; взаимосвязь между компонентами и результатами сложения и вычитания; способы и проверки сложения и вычитания.
Устное сложение и вычитание чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100, и письменное сложение – в остальных случаях. Сложение и вычитание значений одной и той же величины. Виды треугольников: прямоугольный, остроугольный и тупоугольный.
Требования к знаниям, умениям, навыкам.
ЗНАТЬ:
- названия и обозначения арифметических действий, названия компонентов и результата каждого действия;
-правила о порядке выполнения действий в числовых выражениях, содержащих скобки и не содержащих их;
- таблицу сложения однозначных чисел и соответствующие случаи вычитания.
УМЕТЬ:
- выполнять письменные вычисления (сложение и вычитание многозначных чисел), проверку вычислений.
ТЕМА: «УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ».
Умножение и деление (обобщение и систематизация знаний): задачи, решаемые умножением и делением; случаи умножения с числом 1 и 0; взаимосвязь между компонентами и результатами умножения и деления; деление нуля и невозможность деления на нуль; переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения; рационализация вычислений на основе перестановки множителей, умножения суммы на число; умножения и деления числа на произведение.
Письменное умножение и деление на однозначное и трехзначное числа (в пределах миллиона).
Умножение и деление величины на однозначное число. Примеры взаимосвязей между величинами (время, скорость, путь при равномерном движении и др.).
Диагонали прямоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника (квадрата).
ДОЛЖНЫ ЗНАТЬ:
- таблицу умножения однозначных чисел и соответствующие случаи деления.
УМЕТЬ:
- выполнять письменные вычисления (умножение и деление многозначных чисел на однозначное и двузначное числа), проверку вычислений.
Часы на изучение темы:
«Сложение и вычитание «Умножение и деление
Многозначных чисел». Многозначных чисел».
11ч. 87ч.
Даже такой не глубокий анализ программы показывает, что авторы считают формирование навыков вычисления для многозначных чисел, как само собой разумеющееся, и этому специальное внимание не уделяется. Однако многовековой опыт обучения арифметике показывает, что формирование навыков письменных вычислений требует соблюдения четкой последовательности методических приемов, специальной системы задач и заданий.
Несмотря на то, что мы привыкли не6гативно относиться ко всему устаревшему, традиционная программа реализует наиболее полно и подробно методическую систему по формированию вычислительных навыков у учащихся начальной школы. Вместе с тем, программа меняется, ее авторы считают, как показывают публикации в журнале «Начальная школа», что к обучению математике необходимо подходить с позиций общей концепции комплексного развития личности младших школьников на основе формирующейся в процессе обучения учебной деятельности.
Важнейшие цели обучения математике – создание благоприятных условий для полноценного интеллектуального развития каждого ребенка на уровне, соответствующем его возрастным особенностям и возможностям, воспитания самостоятельности и культуры мышления, обеспечения необходимой математической подготовки к дальнейшему изучению математики.
Реализация в обучении цели интеллектуального развития связана с организацией работы по ознакомлению учащихся с важнейшими законами элементарной логики, с примерами рассуждений, построением умозаключений и др. При этом основные общеучебные и математические умения формируются на двух условиях: минимальный уровень соответствует подготовке каждого ученика класса: повышенный – подготовке учащихся, имеющих более высокий потенциал познавательных и интеллектуальных возможностей по сравнению с остальными.
Обучая математике, важно постоянно видеть цель – формирование самостоятельности мышления учащихся – основы развития их творческих способностей (самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию, постановка новой проблемы в известной ситуации, обнаружение новой функции того или иного математического объекта, самостоятельное комбинирование из известных способов или приемов деятельности нового способа, выделения структуры данного объекта, построение хода решения математической задачи, нахождение собственного оригинального способа выполнения действия).
В программе заложена основа для овладения учащимися определенными объемом математических знаний и умений, которые подготовят к изучению математических дисциплин в основной школе. Однако постановка цели – подготовка к дальнейшему обучению – не означает, что курс 1-4 классов – пропедевтический. На этой ступени осуществляется обучение не только предметным знаниям, но (и это очень важно) начинает формироваться учебная деятельность, на основе которой учащиеся учатся общим способом действия, осуществляют пошаговый самоконтроль и самооценку выполненной деятельности с целью установления соответствия своих действий намеченному плану. В возрасте 6-10 лет у детей возникает мотив и потребность учения. Знания и умения учащегося по математике по окончании начальной школы, заложенные в традиционной программе, вполне соответствуют требованиям к знаниям и умениям учеников, начинающих обучение в средней школе.
Отражением программы, способом ее реализации является учебник.
Учебник является основным средством обучения. Все другие средства разрабатываются в соответствии с учебником и используются во взаимосвязи с ним. Учебники математики составляются в строгом соответствии с программой по математике для начальных классов, причем для каждого класса издается отдельный учебник.
Учебники включают теоретический материал (определение некоторых понятий, свойств, правила, математическая терминология и др.), который располагается в определенной системе и является логическим стержнем курса. С ним связываются вопросы практического характера. Это вопросы, которые раскрываются на основе теоретических знаний. Кроме того, учебник включает и систему упражнений, с помощью которой учащиеся должны усвоить как теоретические знания, так и приобрести умения и навыки, определяемые программой. Таким образом, учебник является одновременно и сборником упражнений.
Система изложения в учебнике теоретического материала и вопросов практического характера определяется подготовкой к введению нового материала, ознакомление с новым материалом, его закрепление. На каждой из этих ступеней предусматривается система специальных упражнений, выполнение которых учащимся должно обеспечить осознанное и прочное усвоение теоретических знаний, выработку умений и навыков.
Упражнения предлагаются в различных формах, что стимулирует активность детей, возбуждает интерес. Часто задания носят занимательный характер. С помощью упражнений предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися в результате смешения сходных вопросов курса; в этом случае предлагаются задания на выявление различного путем сравнения. Многие упражнения, предлагаемые в учебниках, носят комплексный характер.
Проведем анализ учебника Математика 4кл. Моро М.И. и др. (ч.1 и 2)
На тему сложение и вычитание многозначных чисел приходится в 1 учебнике- 13 стр., а во втором – 11 стр.
На первом уроке повторяется ранее изученный материал: даны задачи на разложение на сумму разрядных слагаемых, повторение переместительного и сочетательного свойств сложения, задачи на нахождение суммы, примеры на все действия в пределах 1000. После подготовительной работы переходят к объяснению нового материала – письменное сложение и вычитание (в столбик) многозначных чисел. Особенностью является то, что примеры как на сложение, так и на вычитание с переходом через десяток. Задания на первичное закрепление предполагают не только выполнение действия, но и его проверку. Далее даны задания на повторение: задача, работа с геометрическим материалом, устные примеры.
На третьем уроке разбирают особые случаи вычитания по нарастающему уровню сложности: 600-26, 1000-124, 3007-648. Примеры на закрепление разнообразные. Как и на предыдущих уроках в учебнике даны три текстовые задачи и примеры на все действия. На полях учебника дан ребус на нахождение неизвестных цифр уменьшаемого и вычитаемого.
На следующих уроках идет закрепление материала, наряду с примерами для письменного сложения и вычитания (всего 70 примеров), разнообразные задачи на пропорциональную зависимость, на движение, на кратное сравнение и др., занимательные ребусы на нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания, примеры на нахождение суммы нескольких слагаемых, разнообразные задания с величинами, уравнения, задания на нахождение площади с помощью палетки (всего 72 упражнения).
На тему: «Умножение и деление многозначных чисел» приходится в 1 учебнике – 18 стр., а во втором – 63 стр..
На первом уроке повторяется ранее изученный материал о действии умножения (связь умножения со сложением одинаковых слагаемых): повторение переместительного и сочетательного свойств умножения, примеры на все арифметические действия , задачи на нахождение целого числа от доли; дан геометрический материал на нахождение площади прямоугольника (с практическим заданием: «начерти и вырежи».
После подготовительной работы переходят к объяснению нового материала – письменное умножение (в столбик) многозначных чисел. Особенностью является то, что примеры как и умножение трехзначных на однозначное выполняются так же и любые многозначные числа на однозначные. Выполняют умножение значения величины на число (переводят в одну величину, затем умножают на число и потом еще раз переводят в два именованных числа). Даны задачи на умножение величины на число; далее задания на повторение: примеры на все действия, работа с геометрическим материалом, что вызывает интерес у детей, способствует развитию их познавательных способностей.
На третьем уроке знакомятся с приемом умножения, когда в записи первого множителя есть нули. Вспоминают правила умножения с числами 1 и 0; выполняют устные упражнения; примеры на закрепление разнообразные. Как и на предыдущих уроках в учебнике даны 2 текстовые задачи и примеры на все действия. На полях учебника дан геометрический материал, который развивает геометрическую зоркость; задание на повторение устной нумерации мн-ых чисел; дан ребус на полях на нахождение неизвестных множителей (1-ого и 2-ого) и произведения.
На четвертом уроке знакомятся с приемом умножения на однозначное число многозначных чисел, оканчивающихся одним или несколькими нулями. Для закрепления даны примеры (№446.) Даны три текстовые задачи на закрепление материала; примеры на деление с остатком ; задание на повторение таблицы единиц времени; задача на смекалку и дан ребус на нахождение неизвестных множителей и произведения.
На пятом уроке знакомятся с решением уравнений на основе знания связей между множителями и произведением. (вводятся уравнения более сложной структуры) Задания на закрепление разнообразные: сложение и вычитание именованных чисел, задачи, примеры на все арифметические действия. Дан геометрический материал на сравнение периметра и площади фигур.
На следующем уроке рассматривается деление на однозначное число.
Идет повторение изученного материала о действии деления, закрепляют умение решать задачи с именованными числами; дано задание на разложение на сумму разрядных слагаемых, а также на сумму удобных слагаемых; на нахождение частного и остатка; устные упражнения. Задания на повторение предполагают не только выполнения действия, но и его проверку (№460). Даны примеры на все действия, задание развивающего характера («Головоломка»).
На седьмом уроке знакомятся с письменным делением на однозначное число.
Примеры на закрепление (№466) выполняют с рассуждением. Дана задача с буквенной символикой, задача на нахождение части от числа; примеры на все действия . Также включен геометрический материал развивающего характера.
На следующем уроке продолжается работа по формированию умения выполнять письменное деление трех- четырехзначных чисел на однозначные, включив случаи, когда число единиц высшего разряда делимого меньше делителя; и т.д.
Анализ учебника показывает, что упражнений для усвоения алгоритма сложения и вычитания достаточно. Все они очень разнообразные, представлены в различных формах. С помощью таких упражнений предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися.
Для формирования алгоритма умножения и деления мы нашли недостаточно
упражнений. И считаем, что нужно использовать дополнительные упражнения.
1.3. Теоретические основы формирования алгоритма письменного приема сложения, вычитания, умножения и деления.
Рассмотрим теоретические основы выполнения письменного сложения.
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.
Например,
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:
341 + 7238 = (3 х102
+ 4 х 10 + 1) + (7 х 103
+ 2 х 102
+ 3 х 10 + 8)
Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3 х 102
+ 4 х 10 + 1 + 7 х 103
+ 2 х 102
+ 3 х 10 + 8
На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:
7 х 103
+ 3 х 102
+2 х 102
+4 х 10 + 3 х 10 + 1 + 8
Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:
7 х 103
+ ( 3 х 102
+ 2 х 102
) + ( 4 х 10 + 3 х 10) + (1 + 8)
Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102
, а во второй - 10 . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:
7 х 103
+ (3 + 2) х 102
+ (4 + 3) х 10 + ( 1 + 8 )
Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:
7 х 103
+ 5 х 102
+ 7 х 10 + 9
Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
- способ записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Не трудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами:
(7 х 102
+ 4 х 10 + 8) + ( 4 х 102
+ 3 х 10 + 6)
Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:
(7 + 4 ) х 102
+ (4 + 3) х 10 + (8 + 6)
Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1х10+4:
(7 + 4) х 102
+ (4 + 3) х 10 + (1 х 10 + 4)
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) х 102
+ (4 + 3 + 1) х 10 + 4
Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде
1 х 10 + 1 ,получаем: (1 х 10 + 1) х 102
+ 8 х 10 + 4
Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.
Следовательно, 748+436=1184
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:
Х=AП
х 10п
+ Ап-1
х 10п-1
+… + Ао
и У = вп
х10п
+ вп-1
х 10п-1
+ …+ во
,
т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково.
Х+У = (ап
х 10п
+ ап-1
х 10п-1
+ …+ ао
) + (вп
х 10п
+ вп-1
х 10п-1
+…+ во
) = (ап
+ вп
) х 10п
+
+(ап-1
+ вп-1
) х10р-1
+…+ (ао
+ во
)
-преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (ап
+ вп
) х 10п
+
+(ап-1
+ вп-1
) х 10п-1
+ … + (ао
+ во
) ,
вообще говоря ,нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, т.к. коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ак
+ вR
не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее R , для которого aR + вR≥ 10.
Если aR + вR≥10 , то из того, что 0 ≤ Ar≤ 9 и 0 ≤ ВR≤ 9 , следует неравенство 0≤≤ aR + вR ≤ 18 и поэтому аR
+вR
можно представить в виде аR
+ вR
= 10 + сR
,где 0 ≤cR≤ 9.
Но тогда (аR
+ вR
) х 10R
= (10 + cR
) x 10R
=10R
+1
cR
x 10R
В силу свойств сложения и умножения в (ап
+ вп
) х 10п
+ … + (ао
+ во
)
Слагаемые (аR
+1
+вR
+1
) x 10R
+1
+ ( aR
+ вR
) x10R
могут быть заменены на (aR
+1
+ вR
+1
+1) x 10R
+1
+cR
x 10R
После этого рассматриваем коэффициенты ап
+вп
, ап-1
+ вп-1
,… , аR
+2
+вR
+1
,аR
+1
+вR
+1
+1,
выбираем наименьшее S , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у =
=(сп
+ 10) х 10п
+ … + со
, где сп
≠ 0 , или х+у = 10п+1
+ сп
х 10п
+…+ со
,
и где для всех п выполняется равенство 0 ≤ Сп
< 10. Тем самым получена десятичная запись числа х+у .
В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уровняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. Он позволяет сформулировать в общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления.
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг за другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде
Ао
+ во
= 1 х 10 + со
, где со
-однозначное число; записывают со
в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на1 и выполняем сложение 1+0=1
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
АЛГОРИТМ ВЫЧИТАНИЯ.
Вычитание однозначного числа в из однозначного числа А, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа С, что В+С=А, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа А и В многозначные и в < a ,то смысл действия вычитания остается тем же , что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:
485 – 231 = (4 х 102
+ 8 х 10 + 5) – (2 х 102
+ 3 х 10 + 1)
Чтобы вычесть из числа 4 х 102
+ 8 х 10 + 5 сумму 2 х 102
+ 3 х 10 + 1 , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
( 4 х 102
+ 8 х 10 + 5) – (2 х 102
+ 3 х 10 + 1) = (4 х 102
+ 8 х 10 + 5)- 2 х 102
– 3 х 10 - 1
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2х102
вычтем из слагаемого 4х102
, число 3х10 - из слагаемого 8х10 , а число 1 –из слагаемого 5, тогда: (4 х 102
+ 8 х 10 + 5) – 2 х 102
– 3 х 10 – 1 = (4 х 102
– 2 х 102
) + (8 х 10 – 3 х 10)+
+ ( 5 – 1 )
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102
и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 – 2 )х 102
+ (8 – 3) х 10 + +(5—1)
Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 х 102
+ 5 х 10 + 4 ,которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 – 231 =254 Выражение (4 – 2) х 102
+(8-3)х10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:
Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:
- способе записи числа в десятичной системе счисления;
- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
- таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число , меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 – 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 – 326 = (7 х 102
+ 6 х 10 + 0) – (3 х 102
+ 2 х 10 + 6)
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:
(7 х 102
+ 5 х 10 + 10) – ( 3х 102
+ 2 х 10 + 6)
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 – 3) х 102
+ (5 – 2) х 10 + (10 – 6) или 4 х 102
+ 3 х 10 + 4
Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,
760 – 326 = 434
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде:
Пусть даны два числа х = ап
х 10п
+ ап-1
х 10п-1
+…+ао
и у = вп
х 10п
+ вп-1
х10п-1
+…+во
Известно также , что у<x .Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что х – у = (ап
– вп
) х 10п
+ (ап-1
– вп-1
) х 10п-1
+ … + (ао
– во
)
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех R выполняется условие aR≥ вR . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее R , для которого aR
< вR
. Пусть m - наименьший индекс, такой, что m > R и am
≠ 0, а am
-1
= … = aR
+1
=0. Имеет место равенство
Am
x 10m
= (am
– 1) x 10m
+ 9 x 10m
-1
+ …+9 x 10R
+1
+ 10 x 10R
(например, если m=4, R =1, am
= 6, то 6х104
= 5 х 104
+ 9 х 103
+ 9 х 102
+ 10 х 10).
Поэтому в равенстве (1) выражение (am
– вm
) x 10m
+ … +(aR
- вR
) x 10R
Можно заменить на (am
– вm
– 1 ) x 10m
+ (9- вm
-1
)x 10m
-1
+ …+ (9 – вR
+1
)x 10R
+1
+ (aR
+ 10 – вR
) x 10R
Из того , что aR
< вR
< 10 , вытекает неравенство 0<10 + aR
– вR
< 10 а из того, что 0≤ вs
≤ 9 , вытекает неравенство 0 ≤ 9 – вs
<10 где R + 1 ≤s≤m – 1. Поэтому в записи х – у = (ап
– вп
) х 10п
+ …+ (аm
– вm
– --1)x10m
+ (9 – вm
-1
) x 10m
-1
+ …+ (9 – вR
+1
) x 10R
+1
+ ( aR
+ 10 – вR
) x10R
+ … + (ao
– во
) все коэффициенты с индексом, меньшим m , неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам ап
– вп
,… , аm
– вm
– 1, через п шагов придем к записи разности х-у в виде х – у = сп
х 10п
+ сп-1
х 10 п-1
+ … +со
,где для всех R выполняется неравенство 0 < cR
< 10. Если при этом окажется, что cп
= 0 , то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е вo
> ao
,
а цифра десятков отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + ао
число во
и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем во
из 10 + ао
, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.
6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ.
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм , какие теоретические факты лежат в его основе.
Умножим, например, столбиком 428 на 263.
Видим, что для получения ответа нам пришлось
умножить 428 на 3 , 6 и 2, т.е. умножить
многозначное число на однозначное; но, умножив
на 6, результат записали по особому, поместив единицы
числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
- складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4 х 102
+ 2 х 10 + 8 и тогда 428 х 3 = (4 х102
+ 2 х 10 + 8 )х3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 х 102
) х 3 + (2 х 10) х 3 + 8 х 3
Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12 х 102
+ 6 х 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 х 102
+ 6 х 10 + 24
-коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 х 10 + 2 , а число 24 в виде 2 х 10 + 4 . Затем в выражении (1 х 10 + +2) х 102
+ 6 х 10 +(2 х 10 + 4) раскроем скобки: 1 х 103
+ 2 х 102
+ 6 х 10 + 2 х 10 + 4 На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6 х 10 и 2х10 и вынесем 10 за скобки: 1 х 103
+ 2 х 102
+ (6 + 2) х 10 + 4 . Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения:
1 х 103
+ 2 х 102
+ 8 х 10 + 4
Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428 х 3 = 1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на :
- записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойствах сложения и умножения;
- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Введем правило умножения однозначного числа на однозначное в общем виде Пусть требуется умножить х = ап
х 10п
+ ап-1
х 10п-1
+ …+ ао
на однозначное число У: Х х У = ( ап
х 10п
+ ап-1
х 10п-1
+…+ ао
) х У = (ап
х У) х 10п
+ (ап-1
х У)х 10п-1
+ … + ао
х У , причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аR
x У, где 0 ≤ R ≤ п ,
соответствующими значениями аR
х У = вR
х 10 + с и получаем:
Х х У = (вп
х 10 + сп
) х 10п
+ (вп-1
х 10 + сп-1
) х 10п-1
+…+ ( в1
х 10 + с1
) х 10 +( во
х 10 + со
) =вп
х 10п+1
+ (сп
+ вп-1
) х 10п
+ …+ ( с1
+ во
) х 10 + со
По таблице сложения заменяем суммы сR
+ вR
-1
,где 0 ≤ R ≤ п и R = 0, 1, 2, …,п , их значениями.
Если, например, со
однозначно, то последняя цифра произведения равна m а к скобке (с1
+ во
) надо прибавить 1 .Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа Х х У.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа ап
ап-1
…а1
ао
на однозначное число У.
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа Х на число У. Если произведение меньше10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа Х на число У больше или равно 10, то представляем его в виде 10q
1
+ co
, где co
-однозначное число; записываем co
в разряд единиц ответа и запоминаем q1
-перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число У, прибавляем к полученному произведению число q1
, и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа Х на число вида 10R
сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа R нулей.
Покажем это. Умножим число Х = ап <
+ ап-1
х 10п-1
+…+ ао
на 10R
: ( ап
х 10п
+ ап-1
х 10п-1
+…+ао
) х 10R
= aп
х 10п+R
+ ап-1
х 10п+R-1
+ …+ ao
x 10R
Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа
Ап
ап-1
…а1
ао
0…0 ,т.к. равно ап
х 10п+
R
+ aп-1
х 10п+R-1
+…+ao
x 10R
+ 0 x 10R
-1
+ 0 x 10R
-2
+ … +0 x 10 + 0 Например , 347 х 103
= (3 х 102
+ 4 х 10 + 7) х 103
= 3 х 105
+ 4 х 104
+ 7 х 10 3
= 3 х 105
+4 х 104
+ 7 х 103
+0 х 102
+ 0 х 10 + 0 = 347000
Заметим еще, что умножение на число У х 10R
, где У – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число У и на число 10R
. Например,
52 х 300 = 52 х (3 х 102
) = ( 52 х 3 ) х 102
= 156 х 102
= 15600
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 х 263
Представим число 263 в виде суммы 2 х 102
+ 6 х 10 + 3 и запишем произведение 428 х (2 х 102
+ 6 х 10 + 3) . Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 х (2 х 102
) + 428 х (6 х 10) + 428 х 3 Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим:( 428 х 2) х 102
+ (428 х 6)х х10+428х 3 Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть Х и У – многозначные числа, причем у=вm
x 10m
+ вm
-1
x 10m
-1
+…+во
В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: Х х У = Х х(вm
x 10m
+вm
-1
x 10m
-1
+…+ во
) =( Х х вm
) x 10m
+ (Xx вm
-1
) x 10m
-1
+…+ Х х во
Последовательно умножая число Х на однозначные числа вm
,
вm
-1
,…, во
, а затем на 10m
, 10m
-1
, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна Х х У Приходим к алгоритму умножения числа Х= ап
ап-1
… а1
ао
на число У = вm
вm
-1
…в1
во
1. Записываем множитель Х и под ним второй множитель У.
2. Умножаем число Х на младший разряд во
числа У и записываем произведение Х х во
под числом У.
3. Умножаем число Х на следующий разряд в1
числа У и записываем произведение Х х в1
, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению Х х в1
на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления Х х вR
5. Полученные R + 1 произведения складываем.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:
428 х 3 = ( 400+ 20 + 8) х 3 = 400 х 3 + 20 х 3 + 8 х 3 =1200 + 60 + 24 = 1284
Основой выполненных преобразований являются:
- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ.
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число А на натуральное число В – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r ,
Что а = вq+r , причем 0 ≤ r < в.
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 х 6 = 54 . Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Таким образом, чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45 : 51 – 45 = 6. Значит, 51 = =9 х 5 + 6 , т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:
Будем теперь делить трехзначное число на однозначное , например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r , что 378 = 4q + r ,причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r < в , а неполное частное q - условию 4 q ≤ 378 < 4(q + 1).
Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q . Однозначным числом q быть не может, так как тогда произведение 4qможет быть максимально равно 36 и, значит ,не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q . Если число q двузначное, т.е. если 10<q<100 , то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400 что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 х 90 = 360 , а 4 х 100 = 400 , и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + qo
. Но тогда должны выполняться неравенства: 4 x (90 + qo
)≤ 378 < 4 x (90q + qo
+ 1),
откуда 360 + 4qo
≤ 378 < 360 + 4 (qo
+ 1) и 4qo
≤18 < 4 (qo
+ 1).
Число qo
(цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения . Получаем, что qo
= 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94 Остаток находится вычитанием: 378 – 4 x 94 = 2
Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2:
378 – 4 x 94 + 2. Описанный процесс является основой деления уголком:
Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что 4316 = 52q + r , 0 ≤ r < 52 , а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q≤ 4316 < 52 (q + 1)
Определим число цифр в частном q . Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q- двузначное число), так как 520<4316<5200
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 х 80 = 4160 , а 52 х 90 = 4680 , и 4160<4316<4680 , то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q= 80 + qo
. Но тогда должны выполняться неравенства:
52 x (80 + qo
) ≤ 4316 < 52 x (80 + qo
+ 1),
4160 + 52qo
≤ 4316 < 4160 + 52 x (qo
+ 1),
52qo
≤ 156 < 52 x (qo
+ 1).
Число qo
(цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 х 3 , т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа А на натуральное число В является следующий алгоритм деления уголком.
1. Если А=В, то частное q = 1 , остаток r = 0
2. Если a > в , и число разрядов в числах А и В одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a<10в. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел А и В.
3. Если а >в и число разрядов в числе А больше, чем в числе В, то записываем делимое А и справа от него делитель В, который отделяем от А уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
а) Выделяем в числе А столько старших разрядов, сколько разрядов в числе В или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1
, больше или равное В. Перебором находим частное q1
чисел d1
и в ,последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1
под уголком (ниже В).
б) Умножаем В на q1
и записываем произведение под числом А так, чтобы младший разряд числа вq1
был написан под младшим разрядом выделенного числа d1
.
в) Проводим черту под вq1
и находим разность r1
= d1
– вq1
г) Записываем разность r1
под числом вq1
, приписываем справа к r1
старший разряд из неиспользованных разрядов делимого А и сравниваем полученное число d2
с числом В.
д) Если полученное число d2
больше или равно В, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2
записываем после q1
.
е) Если полученное число d2
меньше В, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3
, большее или равное В. В этом случае записываем после q1
такое же число нулей. Затем относительно d3
поступаем согласно пп.1,2. Частное q2
записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа А окажется, что d3
<в то тогда частное чисел d3
и В равно нулю, и этот нуль записывается последним к частному, а остаток r = d3
.
ГЛАВА 2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И ИСПРАВЛЕНИЯ.
2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ.
Одной из главных задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.
По мнению М.А.Бантовой вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.
Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.
ПРАВИЛЬНОСТЬ – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
ОСОЗНАННОСТЬ - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это ,конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как буде показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ - ученик, сообразуясь с конкретными условиями , выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.
ОБОБЩЕННОСТЬ - ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшем образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.
АВТОМАТИЗМ - (СВЕРНУТОСТЬ) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
ПРОЧНОСТЬ - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускают ошибки.
Мы рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в концентре «многозначные числа», а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.
2.2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ СЛОЖЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.
Освоив все арифметические действия, поняв и выуичв таблицы сложения и умножения, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если после изучения каждого арифметического действия несколько уроков посвятить конструированию «Справочника ошибкоопасных мест». Уроки желательно строить таким образом, чтобы дети не боялись рассуждать, давать самооценку своим действиям, показать свое непонимание.
На первом этапе учащимся предлагаем подумать, какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения с доски, с учебника, с карточки…
Мы выделили следующие виды ошибок:
1) замена арифметических знаков при списывании математического выражения;
2) ошибки в записи чисел:
а) 2567 вместо 2657 – перестановка цифр в числе;
б) 256 вместо 2567 – пропуск цифры;
в) 25567 вместо 2567 – запись лишней цифры;
г) 2557 вместо 2567 – замена цифр.
Каждый ученик оформляет карточку №1, перечисляя предполагаемые ошибки. (См.приложение).
На следующих уроках отрабатываем алгоритм проверки чисел и арифметических знаков в математических выражениях.
На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел. Они отмечают такие ошибки, сопровождая свои рассуждения моделью:
1) Ошибка в записи чисел в столбик:
Например,
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»
2) Ошибка в постановке знака:
3) Знак «плюс», а ученик вычитает:
Эта ошибка особенно характерна для случаев:
4) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:
Ошибки при выполнении письменного сложения , обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например:
Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать : «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение , что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 – 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.
5)неправильно определили количество цифр в сумме:
6) Допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять:
Во внеурочное время учащиеся оформляют карточку №2 «Возможные ошибки при выполнении действия сложения». Несколько последующих уроков посвящяется отработке алгоритма проверки действия сложения. Предлагаются такие задания: Исправь ошибки: 97062 + 194=
35678 + 1264 =
56706 + 4624 =
53628 + 24628 =
43640 + 1702 =
2) Объясни решение:
3) Придумай задания с «ловушками» для своего соседа.
Эффективность данной работы во многом будет зависеть, во-первых, от того, насколько сам учитель готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок; во-вторых, от того , насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.
2.3. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ВЫЧИТАНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ . РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.
Как показывают наблюдения, усвоение уч-ся алгоритмов письменных вычислений происходит с определенными затруднениями. Аналогичные затруднения испытывают учащиеся и при вычитании многозначных чисел. Они, как правило , усваивают общий алгоритм вычитания, но затрудняются применять его в частном случае, когда уменьшаемое в записи содержит нули. Наблюдаются, например, такие ошибочные решения:
Несмотря на то, что ошибки в первом и втором примерах отличаются от ошибок в третьем и четвертом примерах, причина их возникновения одна – неумение заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда, т.е. учащиеся затрудняются представлять один десяток тысяч как 9 тысяч 9 сотен и 10 десятков. Они же раскладывают 1 десяток тысяч либо на 9 тысяч 9 сотен и 9 десятков, либо на 10 тысяч 9 сотен и 10 десятков, либо на 10 тысяч 10 сотен и 10 десятков. Предупредить указанные ошибки можно, если при изучении темы «Нумерация многозначных чисел» уделить особое внимание выполнению упражнений по замене единиц высшего разряда единицами низших разрядов.
Помимо упражнений, данных в учебнике, необходимо проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено упражнениями вида:
1. Отсчитайте от сотни палочек одну палочку, две палочки.
2. Замените сотню десятками и единицами .
3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3.
4. Какое число предшествует при счете числу 200, числу 700?
5. Замените 1000 сотнями и десятками; сотнями, десятками и единицами.
6. Замените десяток тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами.
7. Замените сотню тысяч десятками тысяч, тысячами и сотнями.
8. Какое число предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000?
9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000.
10. Вычислите:
а) 1000 - 700 б) 100000 - 3 в) 10000 - 20 1000 – 70 100000 - 30 10000 - 200
1000 – 7 100000 – 300 10000 - 2
100000 – 3000
Наиболее трудные случаи вычитания, такие как:
700 – 261 , 70000 – 3257, 700000 – 302007, 701006 – 32057, и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность продолжения и углубления подготовительной работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы используем счеты.
Для примера покажем один из вариантов выполнения задания из учебника математики, в котором требуется отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число непосредственно предшествует ему при счете. Здесь уместно сочетать наблюдения учащихся за работой учителя на демонстрационных счетах с их практической работой на индивидуальных.
Предлагаем отложить число 100 тысяч на счетах (на шестой проволоке счетов появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно предшествующее какому-нибудь числу при счете (отсчитать от него единицу). Уточняем, на какой проволоке счетов откладываются единицы (на первой). Задаем вопрос, как с шестой проволоки попасть на первую, чтобы отсчитать единицу. При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на 10 десятков тысяч, и 10 косточек откладываем на пятой проволоке.
Из десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч (т.е. одну косточку) заменяем десятью единицами тысяч и откладываем десять косточек на четвертой проволоке. Продолжая аналогично рассуждать и откладывать косточки на счетах, мы получаем на первой проволоке 10 косточек (10 единиц). Обращаем внимание на то, что 1 сотню тысяч мы заменили на 9 десятков тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем с первой проволоки счетов одну косточку), остается 9. Теперь читаем число, которое отложилось на счетах: девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. (999999).
Продолжением такой работы является выполнение задания, где требуется назвать и записать, между какими числами встречается при счете каждое из следующих чисел: 100 1000 10000 100000
300 800 30000 700000
Наблюдения показывают, что учащиеся сравнительно легко справляются с присчитыванием единицы, нахождением последующего числа и затрудняются при отсчитывании (нахождении предшествующего). Целесообразно и в этом случае обращаться к счетам.
Кроме того, снизить уровень указанных трудностей помогает ориентация на осознание учащимися как общего алгоритма вычитания, так и особенностей его применения в рассматриваемых частных случаях.
Поэтому надо учить детей сопровождать вычисления подробными пояснениями, показывающими, что , в какой последовательности и для чего нужно делать. Покажем характер таких пояснений на следующем примере.
Пусть требуется из 701006 вычесть 32057.
Из единиц мы не можем вычесть 7 единиц, поэтому обратимся к высшим разрядным единицам, чтобы, заменив их на низшие, получить простые единицы. Так как в уменьшаемом десятков 0 и сотен 0, возьмем 1 тысячу (ставим над разрядом тысяч точку) и заменим ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами (ведь из тысяч нужно выделить единицы).
К 10 единицам прибавим 6, получим 16 единиц.
Из 16 единиц вычтем 7 единиц, получим 9 единиц, которые записываем под единицами. Далее аналогично из 9 десятков вычитаем 5 десятков и из 9 сотен вычитаем 0 сотен.
Теперь нужно вычитать тысячи, но тысяч осталось 0 (из 0 тысяч нельзя вычесть 2 тысячи),и десятков тысяч в уменьшаемом тоже 0, поэтому возьмем из 7 сотен тысяч 1 сотню тысяч (ставим над этим разрядом точку)и заменим ее девятью десятками тысяч и десятью тысячами, так как из сотен тысяч нужно выделить тысячи. Вычитаем из 10 тысяч 2 тысячи, из 9 десятков тысяч 3 десятка тысяч и результаты пишем под соответствующими разрядами. Сотен тысяч у нас осталось 6, из них ничего не вычитается, поэтому число 6 записываем под сотнями тысяч.
По мере усвоения приема вычитания учащиеся постепенно переходят от подробных рассуждений к более кратким. Они поясняют лишь те шаги алгоритма, которые могут затруднить их при вычитании. Сокращение пояснения к его решению таковы: из 6 единиц мы не можем вычесть 7, поэтому берем 1 тысячу и заменяем ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами. Из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 десятков вычитаем 5, получаем 4, из 9 сотен вычитаем 0, получаем 9. Из 0 тысяч нельзя вычесть 2. Берем 1 сотню тысяч и заменяем ее на 9 десятков тысяч и 10 тысяч. Из 10 вычитаем 2, получаем 8, из 9 вычитаем 3, получаем 6. Оставшиеся 6 сотен тысяч записываем в результат.
И, наконец, ограничиваемся лишь следующими пояснениями: из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 вычитаем 5, получаем 4 и т.п.
Таким образом, предлагаемая система подготовительных упражнений с методикой их выполнения и последовательность работы по изучению приема вычитания многозначных чисел с нулями в уменьшаемом обеспечивает формирование навыков осознанных и быстрых вычислений указанного вида.
Учащиеся установили следующие возможные ошибки при выполнении действия вычитания с многозначными числами, фиксируя их в модели:
1) Ошибка при записи примера в столбик:
2) Ошибка в постановке знака:
3)Знак поставили правильно, но выполняют действия сложения:
4) Неправильно обозначили разряд, из которого «занимали» (забыли, что «занимали»):
5) Неправильно обозначили количество цифр в разности:
6) Допустили ошибки при вычислениях в пределах 10, с переходом через 10:
Оформляется карточка №3 «Возможные ошибки при выполнении действия вычитания» . (см. приложение).
Отрабатывая алгоритм проверки действия вычитания, учащиеся выполняют задания включающие «ловушки»:
1) Реши примеры:
2) Реши примеры с объяснением:
5678 – 322 = 67452 – 7428 =
3) Объясни решение:
4) Не вычисляя, определи, сколько цифр будет в разности:
5) Закончи запись примеров:
6) Придумай примеры по схемам:
7) Придумай задания с «ловушками».
Учащимся нравится придумывать задания с «ловушками» и самим находить «ловушки».
2.4. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УМНОЖЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.
Освоив способ умножения многозначных чисел, дети приступают к выявлению ошибок, которые можно допустить при выполнении этого сложного арифметического действия. К этому времени учащиеся умеют анализировать примеры, у них отработан механизм проверки чисел при списывании, алгоритм проверки действия сложения, которое необходимо выполнять при умножении многозначных чисел. Задание не из легких, но оно понятно детям. На уроке создается доброжелательная атмосфера сотрудничества. В процессе творческой работы учащиеся, испытывающие какие-либо затруднения, могут обратиться к учителю за помощью, за поддержкой, если не находят этого в группе.
Первые три ошибки, которые возможны при выполнении данного действия, фиксируются детьми достаточно быстро, так как они аналогичны ошибкам, возможным при выполнении действий сложения и вычитания:
1) Ошибка при записи чисел в столбик:
2) Заменили знак умножения знаком сложения (не исключены и другие знаки):
3) Поставили знак умножения , а выполнили действие сложения:
Последующие действия учащиеся показывают, насколько хорошо они усвоили тему «Умножение многозначных чисел», умеют ли применять приобретенные знания при решении различных практических и учебных задач. При выполнении данного задания происходит также совершенствование знаний, умений и навыков по темам: «Умножение многозначных чисел» и «Сложение многозначных чисел».
4)Умножение только на единицы, забыв на десятки, сотни и т.д.
5) Неправильно записали неполные произведения:
Ошибки в письменном умножении на двузначное и трехзначное число, обусловленные неправильной записью неполных произведений, например:
Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики хорошо усвоили, почему второе неполное произведение начинаем подписывать под десятками. С этой целью на этапе ознакомления с приемом надо добиться, чтобы ученики, выполняя умножение, давали развернутое объяснение. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «Теперь буду умножать 564 на 30; для этого 564 умножу на 3 и результат на 10; при умножении на 10 приписывают справа нуль под единицами; умножаю на 3; четыре умножаю на 3, получится 12, два пишу на месте десятков, а 1 запоминаю» и т.д. На этапе закрепления знания приема ученики не пишут нуль на месте единиц второго неполного произведения, но говорят: «Нуль не пишу, а умножаю 4 на 3 и подписываю под десятками».
Полезно и в таких случаях разобрать несколько неверных решений, подобных приведенному, и выяснить, какая допущена ошибка. Выявлению ошибок самими учениками помогает проверка путем прикидки результата ( 500 х 30 = 15000, а получили только 2820, пример решен неправильно), а позднее, когда будут изучены соответствующие случаи деления, выполняется проверка с помощью деления произведения на один из множителей.
6) Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двузначные разрядные и неразрядные числа.
Например: 34 х 20 = 408 (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 68 и 340), 34 х 12 = 680 (умножили 34 на 2 и результат 68 умножили на 10 ).
Как и в других случаях смешения приемов, целесообразно сравнить их и установить существенное различие: при умножении на разрядные числа умножаем число на произведение, т.е. умножаем его на один из множителей и результат на другой множитель, а при умножении на двузначные неразрядные числа умножаем число на сумму разрядных слагаемых: умножаем его на каждое слагаемое и результаты складываем. Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.
7) Ошибки при письменном умножении в табличных случаях умножения.
Такие ошибки возникают либо по невнимательности учеников, либо в результате слабого знания отдельными учащимися таблицы умножения.
Чтобы устранить названные ошибки, надо проводить индивидуальную работу с отдельными учениками по заучиванию таблиц умножения, а также чаще включать табличные случаи умножения в устные упражнения. (см.приложение)
8) Забыли прибавить десятки к произведению десятков, сотни к произведению сотен и т.д. Прибавили десятки к десяткам множителя, а не к произведению:
Например:
9) Ошибка в табличном умножении:
Для того, чтобы избежать излишней громоздкости алгоритма, в нем не выделены в отдельные пункты ошибки, которые возможны при сложении неполных произведений, хотя они проговариваются.
Эта исследовательская работа учащимися теряет смысл, если учитель не предусматривает в дальнейшем планирования таких заданий, выполнение которых, во-первых, обеспечило бы автоматизированное усвоение действия умножения; во-вторых, привело бы к совершенствованию вычислительных умений и навыков; в-третьих, сформировало бы навык осознанной проверки.
Речь идет о заданиях вида: (см. приложение карточка № )
Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов:
1. Для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.
2. Чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами примеры.
3. Предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.
4. Для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать к них эту привычку.
2.5.ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ДЕЛЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ.
Формирование у учащихся навыков деления многозначных чисел – одна из наиболее трудных задач учителя начальных классов. Объясняется это прежде всего тем, что правило (алгоритм), по которому выполняется письменное деление, довольно своеобразно и громоздко, и, чтобы обеспечит достаточную осознанность его, нужно ориентировать учащихся на выявление существенных признаков, характеризующих данное правило. Кроме того, закрепление правила совмещать с его практическим применением, что способствует ускорению выработки
первоначальных умений.
Еще в период изучения алгоритма деления многозначного числа на однозначное не следует торопить сокращать рассуждения учащихся и переходить на краткие рассуждения и оформление процесса деления. Это лучше делать постепенно. Например, сначала разрешать пользоваться краткими рассуждениями тем учащимся, которые не допускают ошибок в подобных рассуждениях, затем ежедневно присоединять к ним все новых и новых детей. При таких условиях учащиеся более глубоко овладевают алгоритмом деления.
Рассмотрим ошибки, возможные при выполнении действия деления:
1) неправильно определили первое неполное делимое:
2) ошибка в определении количества цифр в частном:
3) ошибка в подборе пробного числа:
4) ошибка при умножении пробного числа на делитель (см.карточку №4 «Возможные ошибки при выполнении действия умножения» ;приложение):
5) ошибка в нахождении остатка (см.карточку № 3 «Возможные ошибки при выполнении действия вычитания»,приложение):
Такая схема последовательности рассуждений учащимися висит в классе до тех пор, пока не буде доведен до автоматизма алгоритм выполнения и проверки действия деления.
Учащиеся оформляют карточку №5. «Возможные ошибки при выполнении действия деления» (см. приложение).
Более подробно рассмотрим причины и пути предупреждения у учащихся ошибок, заключающихся в пропуске цифр частного (потеря нулей в частном) и в получении лишних цифр в частном.
Основными причинами указанных выше ошибок являются следующие:
- неумение учащимися осознанно определять количество цифр в частном;
- имеющееся у большинства учащихся представление о том, что меньшее число не делится даже с остатком на большее число, а значит, и частного в этом случае не будет;
- формальное усвоение способа образования неполных делимых;
- отсутствие значения о том, что каждое неполное делимое обязательно дает цифру частного в соответствующем разряде.
Остановимся на каждой из указанных причин и путях их устранения.
1.ОШИБКИ В ПОДБОРЕ ЦИФР ЧАСТНОГО ПРИ ПИСЬМЕННОМ ДЕЛЕНИИ.
а) получение лишних цифр в частном.
Например:
Ученик разделил на 26 не 130 десятков, а 104 десятка, вследствие чего получил остаток 46, который можно разделить на делитель, что он и сделал, получив лишнюю цифру в частном.
Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результата. Так , при решении приведенного примера они рассуждают: «Первое неполное делимое 150 десятков, значит в частном будет двузначное число…» После решения примера они устанавливают, что в частном получилось трехзначное число, а должно быть двузначное, значит пример решен неверно. Полезно, чтобы при этом на первом этапе работы над приемом ученики после установления числа цифр частного ставили на их месте точки, тогда нагляднее выступит несоответствие полученного и установленного числа цифр в частном. Полезно также проводить анализ неверно выполненных решений, аналогичных приведенному. При этом выясняется, что если после вычитания получается число, которое можно разделить на делитель ( 46 ), то цифра частного подобрана неправильно, надо взять больше. Ошибка может быть обнаружена самими учениками в результате проверки решения на основе связи между компонентами и результатом деления (умножат частное на делитель).
В дальнейшем полезно в устные упражнения включать специальные задания на определение количества цифр частного, например, такие:
1. Сколько цифр будет содержать частное и почему, если первое неполное делимое 12 десятков? 4 сотни? 57 тысяч? 19 десятков тысяч?
2. Выполняя деление в следующих случаях:
1) 9870 : 35
2) 136576 : 64
3) 95345 : 485
4) 76171 : 19
5) 720036 : 36
Ученик в частном получил соответственно: 1) трехзначное число; 2)четырехзначное число; 3) двухзначное число ; 4) четырехзначное число; 5) трехзначное число.
В каких случаях частное найдено неверно? Почему?
3. Не выполняя действий деления и умножения, укажите, какие из равенств неверны: 116174 : 58 = 203
44172 : 9 = 4908
21476 : 7 = 368
Особое внимание обращается на случаи деления, когда в частном получается нуль в середине или в конце.
2.ПРОПУСК ЦИФРЫ НУЛЬ В ЧАСТНОМ,
Например
Здесь ученик разделил на 43 число сотен и число единиц ,пропустив операцию деления 34 десятков.
В таких случаях предупреждению и выявлению ошибок помогает также предварительное установление числа цифр в частном (должно получиться трехзначное число, а получилось двузначное, значит в решении допущена ошибка). Полезно своевременно провести обсуждение неверно решенных примеров, аналогичных приведенному. При этом после установления числа цифр в частном и нахождения ошибки надо обратить внимание учеников на то, что неполных делимых должно быть столько же, сколько цифр в частном (в приведенном примере – 2, а должно быть 3) и это должно выражаться в записи:
Выполнение именно такой записи предупреждает появление названной ошибки. Важно, чтобы при этом ученики вели развернутое объяснение решения. Выявить ошибку ученики и здесь могут сами, выполнив проверку решения путем умножения частного на делитель.
При рассмотрении случаев деления на двузначное число с нулем в частном также полезно в записи иметь каждое из неполных делимых , даже если это делимое равно нулю. Важно приучить детей к соблюдению такой последовательности выполнения деления: после получения неполного делимого нужно обязательно найти соответствующую цифру частного, записать ее в частном и лишь после этого образовывать следующее неполное делимое. Выработка у учащихся привычки всегда при выполнении письменного деления придерживаться указанной последовательности и есть основной путь устранения причины ошибок, отмеченной нами выше.
Покажем на примере 480024 : 24, как может быть оформлена запись алгоритма письменного деления и какими рассуждениями целесообразно ее сопровождать:
«Первое неполное делимое 48 десятков тысяч, значит, в частном будут десятки тысяч, единицы тысяч, сотни, десятки и единицы, т.е. пять цифр. Разделю 48 на 24, получится 2 в разряде десятков тысяч в частном. Все десятки тысяч разделились, остаток 0. Образую второе неполное делимое: 0 тысяч. 0 разделю на 24, получиться нуль в разряде единиц тысяч в частном. Следующее неполное делимое 0 сотен. 0 разделю на 24, получится 0 в разряде сотен в частном. Следующее неполное делимое 2 десятка. 2 разделю на 24, в частном в разряде десятков получу 0, в остатке 2. Следующее неполное делимое 24 единицы. 24 разделю на 24, получится 1 в разряде единиц частного. Частное чисел 480024 и 24 равно 20001».
В дальнейшем применяется обычная запись, но в случае затруднений, ошибок можно прибегать и к приведенной выше записи или же к такой, как показано ниже:
На этапе закрепления и совершенствования приобретенных умений и формирования навыка широко используются тренировочные упражнения. Виды тренировочных упражнений сначала носят обучающий характер, поэтому их решение сопровождается развернутым пояснением, затем осуществляется постепенный переход от подробного пояснения уч-ся выполняемых операций к более сокращенному. Постепенно увеличивается и удельный вес самостоятельной работы школьников с учебным материалом.
В дополнению к учебнику приведем образцы некоторых упражнений:
1. Реши примеры верхней строки каждой пары:
4824 : 24 9760 : 16
4837 : 24 9772 : 16
Сравни примеры каждой пары.
Используя ответы первого примера, найди частное и остаток второго примера.
2. Выполни деление, подбирая частное из чисел : 7, 4, 3.
876 : 219 484 : 12
651 : 217 424 : 106
3. Выполни деление с остатком:
186 : 23 272 : 98
457 : 58 321 : 47
4. Проверь двумя способами, правильно ли выполнено деление:
Объясни способы проверки (заново выполни деление и деление проверь умножением).
Какие ошибки были допущены? В чем причина этих ошибок? (Надо было сразу определить количество цифр в частном).
Задания для самостоятельной работы подбираются таким образом, чтобы приобретенные умения применялись учащимися в различных ситуациях, вызывали
интерес своим разнообразием.
Навык деления многозначного числа на двузначное формируется медленно, поэтому объем тренировочных упражнений должен быть большим.
В заключение отметим, что формирование любого навыка идет успешнее, если этот навык осознанный. Именно поэтому усиление внимания учителей ко всем отмеченным выше моментам в обучении алгоритму письменного деления будет способствовать выработке более прочных вычислительных навыков.
2.6 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА НАД ОШИБКАМИ.
Важным является умение учителя подготовить каждого ученика к самостоятельной работе над ошибками. Ведь работа над ошибками эффективна в том случае, если школьник готов к самостоятельному их исправлению. И если для одного ученика достаточно обратить внимание на слова, влияющие на выбор действия (например: подумай, что значит – в частном будет 3 цифры…, и т.д.), то для другого необходим детальный анализ, дополнительные разъяснения. При этом не стоит снижать оценку за ошибку, которую ученик допустил в процессе поиска решения и тут же самостоятельно исправил. Боязнь допустить ошибку, а следовательно получить более низкую оценку ,сковывает мысль ученика и отбивает желание самостоятельного поиска решения. При исправлении ошибок для некоторых детей достаточным является зачеркивание неверного ответа и запись верного, для других целесообразно подчеркнуть запись и предложить ученику самому найти ошибку в том или ином действии. Не следует спешить исправлять ошибку и предлагать учащимся правильное решение, которое они должны понять. Желательно привлекать учеников к тому, чтобы они могли исправить допущенные ошибки самостоятельно. И если при решении ученик допустил ошибку, то целесообразно дать время на отыскание и исправление ошибки самому ученику.
Если ученик самостоятельно найдет ошибку, оценку за работу снижать нет необходимости.
Однако, как бы мы хорошо не работали и не предупреждали ошибки, при самостоятельном решении у многих учащихся были, есть и будут ошибки. И как проводить работу над ошибками, какие приемы использовать для их предупреждения – это вопрос, на который надо обращать больше внимания как в практике работы учителя, так и в методической литературе.
З А К Л Ю Ч Е Н И Е
В квалификационной работе решены все поставленные цели и задачи:
Учебная деятельность младших школьников и психолого-педагогические особенности становятся ведущей. Это необычайно сложная деятельность становится ведущей, которой будет отдано много сил и времени жизни ребенка.
Специфика уроков математики обуславливается также особенностями усвоения детьми математического материала; абстрактный характер материала требует тщательного отбора наглядных средств, методов обучения, разнообразия видов деятельности учащихся в течении урока.
Учебник является основным средством обучения. Все другие средства разрабатываются в соответствии с учебником и используются во взаимосвязи с ним.
Тема нумерации многозначных чисел является пропедевтическим этапом сложения и вычитания многозначных чисел, а затем умножения и деления многозначных чисел. Знание основ десятичной системы исчисления, является необходимым условием для изучения алгоритма арифметических действий.
В результате изучения темы: «Арифметические действия над многозначными числами» дети знают конкретный смысл сложения и вычитания, умножения и деления, умеют применять полученные знания при решении задач, овладели алгоритмом письменного сложения и вычитания, умножения и деления на однозначное, двузначное и трехзначное число.