ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§1. Основные определения.
При изучении различных физических процессов и явлений нам приходится иметь дело с объектами разной природы. Некоторые величины в физике, механике и технике полностью описываются заданием их числовых
значений. Такими величинами, например, являются длина, объём тела, его масса, температура, электрический заряд и другие.
Эти величины называются скалярными
или просто скалярами.
Однако, чтобы задать такие величины как скорость, ускорение, силу, напряженность магнитного поля и так далее, необходимо указать не только численное значение этой величины, но и её направление в пространстве.
Определение 1.
Величина, для которой указаны ее численное значение и направление
, называется векторной или вектором.
Векторы изображаются направленными прямолинейными отрезками и обозначаются или , где точки и – начало и конец вектора соответственно. Так фиксируется его направление.
Численное значение векторной величины называется длиной или модулем
вектора и обозначается или (длина отрезка).
Если , то – нулевой вектор; направление нулевого вектора
не определено, т. е. его можно считать произвольным.
Определение 2.
Если задан ненулевой вектор , то единичный вектор того же направления называется ортом
вектора .
Определение 3.
Два вектора и называются коллинеарными
, если они параллельны одной прямой. Это обычно обозначают так . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Определение 4.
Три вектора называются компланарными
, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.
Определение 5.
Два вектора равны
, т.е. , если выполнены три условия:
1. модули их равны =;
2. они параллельны друг другу ;
3. вектора и одинаково направлены.
Из определения равенства векторов следует, что параллельное перемещение не меняет вектора
. Этим свойством можно пользоваться, чтобы приводить векторы к общему началу, т. е. откладывать их из одной точки. Такие вектора называют свободными
.
§2. Линейные операции над векторами.
Операции сложения
, вычитания векторов и умножения
вектора на скаляр
называются линейными.
Сложение и вычитание векторов.
Сумму двух векторов и можно найти по правилу параллелограмма
.
Для этого надо привести их к общему началу и построить на этих векторах параллелограмм
как на сторонах. Тогда диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов и и будет их суммой (рис.1).
.
Вычитание
векторов можно выполнять
как сложение вектора и , т.е. .
Тогда вторая
диагональ параллелограмма, исходящая из конца вектора даст нам вектор , представляющий собой разность
векторов и : .
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то, учитывая определение равенства двух векторов, сумму векторов и можно представить как третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец –
с концом вектора .
Такой способ построения суммы
векторов называют правилом треугольника
.
Для этого начало вектора надо совместить с концом вектора , а затем соединить начало вектора с концом вектора .
Тогда, как видно из рис.1, получим вектор .
Для нахождения разности векторов приведём
их к общему началу. Соединив их концы, построим треугольник. Тогда имеем .
Отсюда легко можно получить правило для нахождения суммы большего числа векторов.
Сумму
нескольких
векторов можно найти по правилу многоугольника: чтобы найти
вектор, представляющий собой сумму
заданных векторов, нужно последовательно совместить
начало следующего вектора-слагаемого с концом
предыдущего, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего, будет суммой заданных векторов.
Например, вектор есть сумма
заданных векторов и :
.
Свойства
сложения векторов:
1) –
переместительное св-во (коммутативность);
2) –
сочетательное св-во (ассоциативность). Оба свойства операции сложения векторов следуют непосредственно из определения операции.
Для любых двух векторов и справедливо неравенство треугольника: (если векторы и неколлинеарны, то сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны). Очевидно, что это неравенство выполняется и для любого числа векторов, т.е. .
Умножение вектора на скаляр
.
Пусть – ненулевой вектор, – скаляр.
Произведением
вектора на скаляр называется вектор , обладающий следующими свойствами:
а) , ;
б) , т.е. они коллинеарны;
в) сонаправлен вектору (т.е. направлен одинаково с ним), если , и направлен в противоположную сторону, если .
Замечание.
Из определения следует, что
1. вектор нулевой
, если один из его сомножителей равен нулю;
2. критерий коллинеарности двух векторов:
если , при (существует такое ).
Свойства
умножения вектора на скаляр:
1. Перестановочное (или коммутативное)
2. Сочетательное (или ассоциативное): , где - скаляры.
3. Распределительное (дистрибутивное):
, где и - скаляры;
.
Доказательства этих свойств непосредственно вытекают из определения равенства векторов и сложения векторов.
3.
Линейная зависимость
и независимость векторов
.
Пусть даны векторы и скаляры .
Определение
1.
Вектор
называется линейной
комбинацией
векторов .
Определение
2.
Векторы называются линейно независимыми
, если равенство
выполняется только
при условии, что при всех
(только при нулевом наборе коэффициентов ).
Определение
3.
Векторы называются линейно
зависимыми
, если их линейная комбинация обращается в ноль при условии, что хоть один
из скаляров отличен от нуля.
Это значит, что среди всех наборов коэффициентов , при которых линейная комбинация обращается в ноль, есть хоть один ненулево
й.
Замечание.
Пусть , а какой-то отличен от нуля. Например, пусть . Тогда имеем
.
Следовательно, если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов.
Поэтому любые два коллинеарных вектора () линейно зависимы, и любые три компланарных вектора () тоже линейно зависимы.
Справедливы и обратные
утверждения: любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы и любые три некомпланарных вектора в пространстве линейно независимы.
Действительно,
если ненулевые векторы и неколлинеарны, то из следует . Иначе есть ненулевой набор коэффициентов , что противоречит предположению о неколлинеарности.
Если
же
три ненулевых вектора и некомпланарны (два вектора всегда компланарны), то из равенства следует, что . Иначе опять придём к противоречию:
если, например, , то и по определению операции сложения векторов данные вектора и образуют треугольник, через который можно провести плоскость.
Определение
4.
Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости и любая тройка векторов в пространстве называется базисом
множества всех векторов, расположенных соответственно на плоскости или в пространстве.
Сами эти векторы называют базисными векторами
.
Из замечания следует, что, если два компланарных
вектора и не коллинеарны
, то любой третий вектор , компланарный с ними, можно представить в виде , т.е., как говорят, можно разложить по базису (, ). Числа и в этом случае называются координатами вектора
в базисе (, ). . Разложение вектора по базису (, ) единственно, т.е. координаты и можно найти единственным образом. Покажем это.
Действительно
.Пусть заданы векторы , причем и неколлинеарны. Если вектор коллинеарен одному из векторов, например, вектору , тогда или , где .
Если вектор неколлинеарен ни одному из векторов и , то приведём вектора к одному началу . Продолжим прямые, на которых лежат вектора и , а затем проведем прямые, параллельные векторам и через конец вектора , достроив таким образом параллелограмм OPQR
.
. Вектор является диагональю параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма имеем , но
Из построения следует и единственность
такого разложения вектора по базису . Количество базисных векторов называется размерностью
векторного пространства: так плоскость называется двумерным пространством и обозначается .
Любые три некомпланарных
вектора , , в пространстве линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства ; всякий
четвертый
вектор этого пространства можно единственным
образом разложить по базису (, , ), т.е. представить в виде , где a, b, g – координаты вектора в базисе (, , ),.
Доказательство
можно провести аналогично предыдущим рассуждениям.
Определение 5.
Три некомпланарных вектора , , называются правой
тройкой векторов, если из конца третьего
вектора () кратчайший поворот от первого
вектора () ко второму
вектору () виден происходящим
в положительном направлении (против часовой стрелки).
И, соответственно, – левой
тройкой, если по часовой стрелке.
§
4. Проекция вектора на ось.
Проекцией
точки
А
на заданную ось называется точка, которая является основание перпендикуляра
, опущенного из точки А
на ось.
Проекцию точки на ось можно также определить как точку пересечения оси с проектирующей
плоскостью, т. е. с плоскостью, проведённой через данную точку перпендикулярно оси.
Пусть в пространстве заданы два вектора и .
Приведём их к общему началу. Углом между векторами и называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов,
чтобы его направление совпало с направлением другого вектора. Из этого определения следует, что .
Пусть дан вектор и некоторая ось . Опустим из точек и перпендикуляры на ось и обозначим проекции этих точек на ось через и , соотвественно. Получим вспомогательный вектор .
Определение 1.
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , взятая со знаком плюс
, если вектор и ось одинаково направлены, и со знаком минус, если они направлены в разные стороны.
Проекцию вектора на ось будем обозначать следующим образом: или .
Очевидно, что , если угол между векторами и острый, и , если угол между векторами и – тупой.
Проекцию можно вычислить по формуле
,
где – угол наклона вектора к оси .
Теорема 1
.
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство
.
Пусть . Обозначим через проекции на ось точек A
,
B
и C
соответственно. Пусть точки имеют по оси соответственно координаты . Тогда
, и
,
что и требовалось доказать.
Эта теорема легко обобщается на случай любого числа слагаемых.
Теорема 2
.
Если вектор умножить на число , то и его проекция на ось умножится на число .
Доказательство
.
Заметим, что если , то вектор направлен в ту же сторону, что и вектор и составляет с осью тот же угол , что вектор . Если , то вектор направлен противоположно вектору и составляет с осью угол ().
1). Пусть , тогда по формуле
.
2)пусть , тогда по формуле
что и требовалось доказать.
Следствие
.
Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.
Произвед
) называется составляющей вектора
по оси .
§5. Координаты вектора в декартовом базисе
Определение
1.
Три некомпланарных вектора , , называются правой
тройкой векторов, если из конца третьего
вектора () кратчайший поворот от первого
вектора () ко второму
вектору () виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки) и левой
тройкой в противном случае.
Мы уже говорили, что ортом
ненулевого вектора называется единичный вектор , направленный одинаково
с вектором .
Выберем в пространстве произвольную точку и проведём через неё три взаимно перпендикулярные оси. Перенумеруем их. Ось с выбранным на ней началом отсчёта и единицей длины называется координатной
осью.
Упорядоченная система (т.е. перенумерованная система) трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчёта и общей единицей длины называется прямоугольной
системой координат в пространстве (её называют также декартовой
системой координат или ортогональной
системой координат).
В этой системе координат первую ось будем называть осью абсцисс
(или осью ), вторую – осью ординат
(или осью ), третью – осью аппликат
(или осью ).
Плоскости, содержащие любые две координатные оси будем называть координатными плоскостями:
плоскостью или , если она содержит оси и ,
плоскостью или , если она содержит оси и ,
плоскостью или , если она содержит оси и .
Эти плоскости будут перпендикулярны координатным осям , и соответственно.
Введём единичные векторы , направления которых совпадают с положительным направлением соответственно осей , , , т.е.
, , .
Векторы в дальнейшем будем называть ортами
осей прямоугольной или декартовой системы координат.
Различают правую и левую координатные системы. В дальнейшем будем использовать правую систему координат.
Векторы некомпланарны и, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства. Эти векторы взаимно перпендикулярны и модули их равны единице
.
Такая система базисных векторов называется ортогональной
и нормированной
.
Иногда говорят, что правая тройка взаимно ортогональных ортов образует декартов базис.
Рассмотрим произвольный вектор и найдем проекции этого вектора на оси координат. Эти проекции будем называть координатами
вектора в декартовом базисе .
Поместим начало вектора в точку O
. Тогда .
Проведем через конец вектора OM
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Они отсекут на координатных осях отрезки, которые представляют собой проекции вектора OM
на соответствующие координатные оси. В результате такого построения получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .
По правилу сложения векторов ,
но , .
Следовательно,
.
Рис.4
В правой части стоят составляющие вектора по осям координат:
, ,
,
Тогда разложение вектора по ортам декартовой системы координат запишется в виде
.
Часто используется более короткое обозначение .
Зная проекции вектора на координатные оси, можно легко найти . Действительно
, так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его сторон, то
.
Вектор ( – начало координат) называется радиус-вектором точки M
. Координатами точки в пространстве называются проекции её радиуса-вектора на координатные оси , т.е. координаты вектора совпадают с координатами точки M
.
Заметим, что радиус-вектор точки является связанным
вектором, так как его начало всегда
совпадает с началом координат.
Пусть и – точки пространства. Найдем координаты вектора . По правилу сложения векторов имеем
,
.
Рис. 5
Таким образом, проекции вектора на координатные оси равны разностям
соответствующих координат конца
и начала
вектора.
Теперь мы можем определить расстояние между двумя точками
пространства как длину соответствующего вектора
Вспомним основные теоремы о проекциях. Пусть даны два вектора , и скаляр . Тогда из свойств проекций вектора на ось следует
Пусть . Проектируя это равенство на оси координат, получим , , . Следовательно, одноимённые координаты у этих векторов пропорциональны
.
Это условие коллинеарности
векторов в координатной форме.
Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами
вектора .
,
где – угол между вектором и осью .
; ; ,
где и – углы между вектором и осями , и соответственно.
,
таким образом,
.
§6. Скалярное произведение двух векторов
Определение.
Скалярным произведением
двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними (т.е. число или скаляр):
.
Свойства
скалярного произведения двух векторов:
1) Из определения следует переместительное свойство
;
2) Скалярное произведение равно нулю, т.е.
или
в двух следующих случаях:
а) или
б) (ортогональны)
Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов является необходимым
и достаточным
условием
их перпендикулярности
(или ортогональности) .
3) Рассмотрим скалярное произведение двух коллинеарных векторов.
Если , то . Если же , то мы имеем скалярное произведение вектора самого на себя .
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом и обозначается .
4) Распределительное свойство
.
Действительно, заметим, что
.
Тогда
5) Если – скаляр, то .
6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы
; ,
7) Для базисных векторов справедливы равенства:
; ; ; .
8) Найдём теперь выражение для скалярного произведения в координатной форме.
Пусть , . Скалярное произведение
Таким образом,
.
Условие ортогональности векторов в координатной форме:
.
Замечание.
Выясним механический смысл скалярного произведения.
Пусть под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из положения в положение . Сила образует с прямой угол . Работа силы на этом перемещении равна
.
Если ввести вектор перемещения , то выражение для работы можно переписать в виде
.
Следовательно, работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
§7. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом:
а) ,
т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах;
б) и , т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы;
в) , , образуют правую
тройку векторов, то есть, если из конца вектора () кратчайший поворот от вектора () к вектору () виден происходящим против хода часовой стрелки.
Векторное произведение
векторов и обозначается
или .
Рис. 6.
Свойства векторного умножения векторов
1. .
Т.к. ,
причем векторы и коллинеарны, но направлены противоположно.
2. , если или или .
Действительно, если оба вектора ненулевые, то при
.
В частности для любого вектора .
Таким образом, для коллинеарности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.
3. Ассоциативность (или сочетательность) относительно скалярного множителя: если – скаляр, то справедливо равенство
.
Действительно.
.
Пары векторов и лежат в одной плоскости, . Также легко можно убедиться в справедливости и второй части равенства.
4. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
.
5. Векторные произведения координатных ортов.
, , ;
,
где – координатные орты;
6. Найдем теперь координаты векторного произведения векторов в декартовом базисе .
Пусть и .
Используя уже рассмотренные свойства, получим
Итак, если и , то
.
§8.
Смешанное произведение трех векторов.
Если взять вектор и умножить его векторно на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то получим векторно-скалярное или смешанное произведение трёх векторов.
Определение.
Смешанным
произведением трех векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение векторов обозначается так .
Свойства
смешанного произведения.
1. , тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
2. Выясним геометрический смысл
смешанного произведения. Смешанное произведение
некомпланарных отличных от нуля векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .
Покажем это. Приведём все три вектора к одному началу и построим на них параллелепипед. Пусть основанием параллелепипеда является параллелограмм, построенный на векторах . Площадь этого параллелограмма . Обозначим через единичный вектор, перпендикулярный плоскости основания нашего параллелепипеда, а через – угол между векторами и . Тогда . Скалярное произведение векторов , взятое по абсолютной величине, равно высоте h
нашего параллелепипеда (если тройка векторов правая, то , а если вектора , и образуют левую тройку векторов, то ).
Объем параллелепипеда
=.
Очевидно, что правая и левая части этого равенства равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.
Таким образом, смешанное произведение трёх векторов есть число, модуль которого равен объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах. Это число положительное, если векторы образуют правую тройку векторов и отрицательное в противном случае.
3. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не меняет его величины, так как при круговой перестановке векторов правая тройка векторов остаётся правой, а левая – левой, т. е. .
4. Из определения смешанного произведения и векторного произведения следует, что при перестановке местами двух соседних сомножителей смешанного произведения оно меняет знак, так как при такой перестановке векторов правая тройка становится левой, а левая – правой, то есть
.
5. Найдем смешанное произведение трех векторов, заданных разложениями в декартовом базисе.
Пусть
, и .
.
Следовательно,
.
Итак, .