Методы прямоугольников и трапеций

Методы прямоугольников и трапеций.
Простейшим методом чис­ленного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосред­ственно использует замену определенного интеграла интегральной сум­мой (3.20). В качестве точек ξ
i
могут выбираться левые (ξ =
x
i
-1
)
или правые (ξ
i
=
xi
)
границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi
) = yi
, ∆xi
= hi
, получаем следующие формулы метода прямоугольников соот­ветственно для этих двух случаев:

∫
f(x) dx
h1
y0
+ h2
y1

+ ... + hn
yn-1
(3.24)

∫
f(x) dx
h1
y1
+ h2
y2

+ ... + hn
yn
(3.25)

Широко распространенным и более точным является вид формулы пря­моугольников, использующий значения функции в средних точках элемен­тарных отрезков (в полуцелых узлах):

∫
f{x)dx
,
(3.26)

Xi-1/2
= (xi-1
+ xi
)/2 = xi-1
+ hi
/2, i = 1,2,... ,n.

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно пос­тоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f
(
x
)
приближается функцией, принимающей постоянные значения (констан­той). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) при­ближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии от­носятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют форму­лам (3.25), (3.26) и (3.24).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функ­ции у =
f
(
x
)
представляется в виде ломаной, соединяющей точ­ки (
xi
,
yi
).
В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

σi
=
hi
, i=1,2,...,n.

Складывая все эти равенства, получаем фор­мулу трапеций для численного интегрирова­ния:

∫
f{x)dx
(3.27)

y (xi
,yi
)

(xi-1
,yi-1
)

yi-1
yi

hiV

x

xi-1
xi-1/2
xi

Рис. З.2. Вычисление σi
в ме­тодах

прямоугольников и трапеций

Важным частным случаем рассмотрен­ных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом hi
=
h
=
const
(
i
= 1,2,...,
n
).
Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид

∫ f{x)dx, (3.28)

∫ f{x)dx(+). (3.29)

Погрешность численного интегрирования определя­ется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точ­ности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться дан­ным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерпо­лирование с помощью сплайнов.

Метод Симпсона.
Разобьем отрезок интегрирования [а,
b
]
на чет­ное число п
равных частей с шагом h
.
На каж­дом отрезке [х0
,х2
], [х2
,х4
],... , [х
i
-1
,х
i