Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные.
Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; (с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал
Евклида ((см. также ГЕОМЕТРИЯ)). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Звёздчатый многогранник
— это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойствсимметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинка — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.
Тетраэдр
(от греческого tetra – четыре и hedra – грань)
Простейшим многогранником является Тетраэдр. Здесь нам потребуется продолжить не рёбра, а грани многогранника. Однако четыре плоскости — продолжения граней тетраэдра — ограничивают лишь ту часть трёхмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. Шесть плоскостей куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, подобно сторонам двумерного аналога куба — квадрата. Поэтому и в трёхмерном случае к кубу не добавляется новых частей. Но уже случай октаэдра даёт интересные результаты. Восемь плоскостей — продолжения граней октаэдра — отделяют от пространства новые части, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Вы обнаружите, что эти части суть не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если вы теперь мысленно присоедините эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед вашим взором возникнет невыпуклый многогранник.
Звёздчатый октаэдр
(от греческого octo – восемь и hedra – грань)
Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им "Stella octangula" – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название "stella octangula Кеплера".
Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4
треугольника,таким образом, сумма плоских углов при вершине
октаэдра составляет 240
°
.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров
Большой звёздчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.
Правильный многогранник,составленный из 12
равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин
и 30 ребер
. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов
при каждой вершине равна 324°.
В алхимии
обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир ,потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно. Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь). Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна
В основе структуры ДНК
лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи. В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэ
Звёздчатый икосаэдр
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Правильный выпуклый многогранник, составленный из 20
правильных треугольников. Каждая из 12 вершин
икосаэдра является вершиной 5
равносторонних треугольников, поэтому сумма углов
при вершине равна 300°
.
В природе встречаются объекты, обладающие симметрией 5-го порядка. Известны, например, вирусы, содержащие кластеры в форме икосаэдра
. Открытие фуллерена, молекула которого С60
также обладает этим типом симметрии, стимулировало интерес к подобным объектам. Г.Хуберт с сотрудниками (H.Hubert ; Аризонский университет, США) синтезировали кристаллы B6
O из смеси B и B2
O3
, которая выдерживалась при температуре 1700o
С и давлении от 4 до 5.5 ГПа в течение 30 мин. Образовавшийся субоксид бора имеет ромбоэдрическую кристаллическую решетку с одним из плоских углов при вершине, равным 63.1o
. Это значение очень близко к величине угла 63.4o
, необходимого для того, чтобы из 20 тетраэдров можно было составить правильный икосаэдр
. Первичные икосаэдры способны группироваться в более крупные кластеры: центральный икосаэдр окружен 12 такими же частицами, центры которых лежат в вершинах более крупного икосаэдра второго порядка. Число атомов в таком сверхкластере может достигать 1014
. Икосаэдричесий кластер имеет размер около 15 мкм. Этот продукт синтеза не может считаться монокристаллом, так как не имеет периодической кристаллической решетки. Малая плотность таких частиц при твердости, близкой к твердости алмаза, и высокая химическая стойкость делают их перспективными в создании новых материалов для техники.
Тела Кеплера – Пуансо
Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник. Иоганн Кеплер
присвоил этой фигуре имя «стелла октангула» -«восьмиугольная звезда». Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл
. Мы вынуждены признать «стеллу октангулу» правильным многогранником: ведь все ее грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны! Что же это - шестое Платоново тело?! Нет, просто удавшаяся провокация.
В определении правильного многогранника сознательно - в расчете на кажущуюся очевидность - не было подчеркнуто слово «выпуклый». А оно означает дополнительное требование: «и все грани, которого лежат по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них». Если же отказаться от такого ограничения, то к Платоновым телам, кроме «продолженного октаэдра», придется добавить еще четыре многогранника (их называют телами Кеплера - Пуансо), каждый из которых будет «почти правильным». Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур - грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются.
Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится фигура, что возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров - «стелла октангула», которая называется «продолженным октаэдром».
Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре «почти правильных многогранника». Один из них - малый звездчатый додекаэдр
, полученный впервые Иоганном Кеплером.
Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут - геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее, оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г—Р вовсе не равняется двойке.
Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины.
Тогда В+Г-Р=32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово «правильный» - ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники. Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется «большой додекаэдр
» - построил французский геометр Луи Пуансо спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.
Большой икосаэдр
был впервые описан Луи Пуансо в 1809 году. И опять Кеплер, увидев большой звездчатый додекаэдр
, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансо. Эти фигуры также наполовину подчиняются формуле Эйлера.
На гравюре Маурица Эсхера "Порядок и хаос" звездчатый додекаэдр
, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей. Красота звездчатых фигур находит на удивление мало места в нашей жизни: разве что светильники, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений не додумались сделать трехмерные звезды, а ими как раз и оказались бы эти многогранники.