Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5
3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8
4. Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P
(
L
)
простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L
,
но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P
(
L
)
характеризовало решётку L
,
необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P
(
L
)
топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение
:
Упорядоченным множеством
называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:
1.Рефлексивность: .
2.Антисимметричность: если и , то .
3.Транзитивность: если и , то .
Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .
Примеры упорядоченных множеств:
1. Множество целых положительных чисел, а означает, что делит .
2. Множество всех действительных функций на отрезке и
означает, что для .
Определение:
Цепью
называется упорядоченное множество, на котором для имеет место или .
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой
упорядоченного множества .
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
2. Решётки
Определение:
Верхней гранью
подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .
Определение:
Точная верхняя грань
подмножества упорядоченного множества – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.
Определение:
Решёткой
называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .
2.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
- сложение и
- произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. , идемпотентность
2. , коммутативность
3. ,
ассоциативность
4. ,
законы поглощения
Теорема
. Пусть
- множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на
, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:
Доказательство.
Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):
Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.
Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
,
.
Следовательно, и
Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем:
, т.е.
По определению точней верхней грани убедимся, что
Из свойств (2), (4) вытекает, что и
Если и , то по свойствам (3), (4) получим:
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
, т.е.
Таким образом, . ■
Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:
1.
2. .
Аналогично характеризуется наименьший элемент :
1.
2. .
3. Дистрибутивные решётки.
Определение:
Решётка называется дистрибутивной
, если для выполняется:
1.
2.
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема:
Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).
Определение:
Непустое множество называется идеалом
в решётке , если выполняются условия:
1.
2.
Определение:
Идеал в решётке называется простым
, если
или .
Идеал, порождённый множеством Н
(т.е. наименьший идеал, содержащий H
), будет обозначаться (Н].
Если Н = {
a
}
, то вместо ({
a
}]
будем писать (
a
]
и называть (
a
] главным идеалом.
Обозначим через I
(
L
)
множество всех идеалов решётки L. I
(
L
)
будем называть решёткой идеалов.
Определение:
Решётки и называются изоморфными
(обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом,
множества на множество , такое, что
,
.
4. Топологические пространства.
Определение:
Топологическое пространство
– это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:
1. Пустое множество и само пространство принадлежит системе : .
2. Пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит , т.е. .
3. Объединение любого семейства множеств из принадлежит , т.е. .
Таким образом, топологическое пространство – это пара <, >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.
Определение:
Пространство называется компактным
, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение:
Подмножество пространства называется компактным
, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение:
Топологическое пространство называется - пространством
, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение:
Ч.у. множество называется верхней полурешёткой
, если sup
{
a
,
b
}
существует для любых элементов a
и b
.
Определение:
Непустое множество I
верхней полурешётки L
называется идеалом
, если для любых включение имеет место тогда и только тогда, когда .
Определение
: Верхняя полурешётка называется дистрибутивной
, если неравенство ≤ (, , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1
:
(*). Если <, > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка дистрибутивна, то для любых существ
(***). Верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*). <, > - дистрибутивна и , то для элементов , , справедливо равенство :
значит, полурешётка <,> - дистрибутивна.
<,> - дистрибутивна. Пусть решётка содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка содержит пентагон, . Нужно найти такие элементы и , чтобы выполнялось равенство . Но множество элементов меньших b
или c
состоит из элементов {0,
b
,
c
}
и их нижняя граница не даст a
.
Получили противоречие с тем, что <,> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка не содержит пентагона.
2) Пусть решётка содержит диамант, . Аналогично, множество элементов меньших b
или c
состоит из элементов {0,
b
,
c
},
их нижняя граница не даст a
.
Значит, решётка не содержит диаманта.
Можно сделать вывод, что решётка дистрибутивна.
(**). Имеем , поэтому , где (по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, является нижней границей элементов и .
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент и - и . Тогда Ø ,т.к. , нижняя граница элементов a
и b
, содержится там.
Покажем, что I
(
L
)
– решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A
и B
.
Покажем, что
совпадает с пересечением идеалов A
и B
.
Во-первых, - идеал. Действительно, и и Во-вторых, пусть идеал и . Тогда , т.е. - точная нижняя грань идеалов A
и B
,
т.е. .
Теперь покажем, что совпадает с пересечением всех идеалов , содержащих A
и B
.
Обозначим . Поскольку для
для ,
то C
идеал. По определению C
он будет наименьшим идеалом, содержащим A
и B
.
(***). Пусть – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что
.
Пусть , т.е. (рис.3), для некоторых
Понятно, что . По дистрибутивности, существуют такие, что . Т.к. A
– идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .
Доказали, что - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A
и B
.
Если C
содержит A
и B
, то C
будет содержать элементы для любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью идеалов A
и B
и содержится в любой верхней грани.
Теперь покажем, что выполняется равенство:
.
. Пусть , где ,. Т.к. , то , откуда и следовательно . Аналогично, , значит,
. Пусть ,где .
Отсюда следует дистрибутивность решётки .
– дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:
(,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность полурешётки . ■
2. Стоуново пространство.
Определение
: Подмножество верхней полурешётки называется коидеалом
, если из неравенства следует и существует нижняя граница множества , такая, что .
Определение:
Идеал полурешётки называется простым
, если и множество является коидеалом.
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна.
Пусть
A
– множество и
X
– непустое подмножество множества
P
(
A
). Предположим, что
X
обладает следующим свойством: если
C
– цепь в <>, то . Тогда
X
обладает максимальным элементом.
Лемма 2
: Пусть – произвольный идеал и – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке существует простой идеал такой, что и .
Доказательство.
Пусть X
– множество всех идеалов в L
,
содержащих I
и не пересекающихся с D
. Покажем, что X
удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C
–
произвольная цепь в X
и Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда .
Доказали, что M –
идеал, очевидно, содержащий I
и не пересекающийся с D
, т.е. . По лемме Цорна X
обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P
среди содержащих I
и не пересекающихся с D
.
Покажем, что P
– простой. Для этого достаточно доказать, что L
P
является коидеалом. Пусть L
P
и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала. Следовательно, . Если , то и пересекающихся с D
в силу максимальности P
.
Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала, следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P
,
т.к. в противном случае .
Далее, , поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a
и b
,
не лежащая в P
. ■
В дальнейшем, через будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки .
Множества вида представляют элементы полурешётки в ч.у. множестве (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через топологическое пространство, определённое на множестве . Пространство SpecL
будем называть стоуновым пространством
полурешётки L
.
Лемма 3
: Для любого идеала
I
полурешётки
L
положим:
Тогда множества вида исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве
SpecL
.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда
,
но 0 лежит в любом идеале, а значит .
2) Возьмём произвольные идеалы и полурешётки и рассмотрим
Пусть . Тогда существуют элементы a
и Отсюда следует, что , где L
P
– коидеал. По определению коидеала существует элемент d
такой, что и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что .
Обратное включение очевидно.
2) Пусть - произвольное семейство идеалов. Через обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно.
Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.
■
Лемма 4
: Подмножества вида пространства можно охарактеризовать как компактные открытые множества.
Доказательство.
Действительно, если семейство открытых множеств покрывает множество , т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому . Таким образом, множество компактно.
Пусть открытое множество r
(
I
)
компактно, тогда и можно выделить конечное подпокрытие для некоторых .
Покажем, что I
порождается элементом .
Предположим, что это не так, и в идеале I
найдётся элемент b
не лежащий в . Тогда [
b
)
– коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P
содержащий и не пересекающийся с [
b
).
Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r
(
I
)
будет только в случае, если - главный идеал.■
Предложение 5:
Пространство является - пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала и Q
. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r
(
P
)
содержит Q
, но не содержит P
,
т.е. SpecL
является - пространством. ■
Теорема 6
: Стоуново пространство определяет полурешётку с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки и изоморфны тогда и только тогда, когда пространства и гомеоморфны.
Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.
Пусть и гомеоморфны () и . Тогда a
определяет компактное открытое множество r
(
a
).
Множеству r
(
a
)
соответствует компактное открытое множество , с однозначно определённым элементом по лемме 4. Таким образом получаем отображение : , при котором . Покажем, что - изоморфизм решёток. Если a
,
b
–
различные элементы из , то , следовательно, , поэтому и - инъекция.
Для произвольного открытому множеству соответствует и очевидно , что показывает сюръективность .
Пусть a
,
b
–
произвольные элементы из . Заметим, что . Открытому множеству при гомеоморфизме соответствует открытое множество , а соответствует . Следовательно, =. Поскольку =, то , т.е. ■
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.