Метод последовательных уступок Теория принятия решений

ПЛАН

Введение	3
Суть метода последовательных уступок	4
Порядок решения детерминированных многокритериальных задач методом последовательных уступок	5
Исследование метода последовательных уступок	9
Список использованной литературы.	19

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы принятиянаилучших (оптимальных) решений стали в настоящее время весьма актуаль­ными,особенно в экономике, технике,военном деле и других областях человеческой деятельности.

Задачи отысканиянаилучших (илихотя бы удовлетворительных) путей достижения поставленных целей являются основными в новом разделе нау­ки— исследовании операций, — который тесно свя­зан с различными математическими дисциплинами, в том числе теорией игр,математическим программированием и теориейоптимальных процессов, теорией вероятностей и многими другими.

СУТЬ
МЕТОД
А
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК

Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок заключается в том, что все частные критерии располагают и нумеруют в порядке их относительной важности; максимизируют первый, наиболее важный критерий; затем назначают величину допустимого снижения значения этого критерия и максимизируют второй по важности частный критерий при условии, что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более чем на величину установленного снижения (уступки); снова назначают величину уступки, но уже по второму критерию и находят максимум третьего по важности критерия при условии, чтобы значения первых двух критериев не отличались от ранее найденных максимальных значений больше чем на величины соответствующих уступок; далее подобным же образом поочередно используются все остальные частные критерии; оптимальной обычно считают любую стратегию, которая получена при решении задачи отыскания условного максимума последнего по важности критерия.

Таким образом, при использовании метода последовательных уступок многокритериальная задача сводится к поочередной максимизации частных критериев и выбору величин уступок. Величины уступок характеризуют отклонение приоритета од них частных критериев перед другими от лексикографического: чем уступки меньше, тем приоритет жестче.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК

При решении многокритериальной задачи мето­дом последовательных уступок вначале производит­ся качественный анализ относительной важности частных критериев; на основании такого анализа критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности, так что главным является критерий K1
, менее важен. K2
, затем следуют остальные частные критерии К3
, К4
..., KS
. Максимизируется первый по важности критерий K1
и определяется его наибольшее значение Q1
. Затем назначается величина «допустимого» снижения (уступки) D1
>0 критерия K1
и ищется наибольшее значение Q2
второго критерия K2
при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем Q1
—D1
. Снова назначается величина уступки D2
>0, но уже по второму критерию, которая вместе с пер­вой используется при нахождении условного макси­мума третьего критерия, и т. д. Наконец, максими­зируется последний по важности критерий Ks при условии, что значение каждого критерия Кr
из S—1 предыдущих должно быть не меньше соответствую­щей величины Qr
—Dr
; получаемые в итоге страте­гии считаются оптимальными.

Таким образом, оптимальной считается всякая стратегия, являющаяся решением последней задачи из следующей последовательности задач:

1) найти Q1
=

(1)

2) найти Q2
=

………………………………..

3) найти QS
=

Если критерий KS
на множестве стратегий, удов­летворяющих ограничениям задачи S), не достигает своего наибольшего значения Qs
, то решением мно­гокритериальной задачи считают максимизирую­щую последовательность стратегий {uk
} из указан­ного множества (lim KS
(uk
) = QS
).

k->¥

Практически подобные максимизирующие после­довательности имеет смысл рассматривать и для то­го случая, когда верхняя грань в задаче S) дости­гается, так как для решения экстремальных задач широко применяются итеративные методы.

Величины уступок, назначенные для много­критериальной задачи, можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета (степени относительной важности) частных критериев от жесткого, лексикографического.

Величины уступок Dr
последовательно назнача­ются в результате изучения взаимосвязи частных критериев.

Вначале решается вопрос о назначении величи­ны допустимого снижения Dr
первого критерия от его наибольшего значения Q1
. Практически для это­го задают несколько величин уступок D1
1
, D2
1
, D3
1
… и путем решения 2) в задаче (1) определяют соответствующие макс. значения Q2
(D1
1
), Q2
(D2
1
), Q2
(D3
1
), и второго критерия. Иногда, если это не слишком сложно, отыскивается функция Q2
(D1
). Результаты расчетов для наглядности Представляем графически (Рис 1)

Рис 1

Он показывает, что вначале даже небольшие величины уступок позволяют получить существенный выигрыш по вто­рому критерию; с дальнейшим увеличением уступки выигрыш растет все медленнее. На основе анализа полученных данных и решают вопрос о назначении величины уступки D1
, а затем находят Q2
(D1
).

Далее рассматривают пару критериев K2
и K3
вновь назначают «пробные» величины уступок Q2
(D2
2
), , ... и, решая 3) в задаче (1), отыскивают наибольшие значения третьего критерия Q3
(D1
2
), Q3
(D2
2
),... Полученные данные анализируют, назначают D2
, переходят к следующей паре критери­ев К3
, K4
и т. д.

Наконец, в результате анализа взаимного влия­ния критериев KS-1
и KS
выбирают величину по­следней уступки DS-1
и отыскивают оптимальные стратегии, решая S) в задаче 1 (обычно ограничива­ются нахождением одной такой стратегии).

Таким образом, хотя формально при использо­вании метода последовательных уступок достаточно решить лишь S задач (1),однако для назначе­ния величин уступок с целью выяснения взаимосвя­зи частных критериев фактически приходится ре­шать существенно большее число подобных задач.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК

Во введении при изучении отношения предпоч­тения ³, порождаемого векторным критерием, бы­ло выяснено, что в качестве оптимальных вообще могут выступать лишь эффективные стратегии. По­этому возникают естественные вопросы: всегда ли использование метода последовательных уступок приводит к получению эффективных стратегий, а если не всегда — то в каких случаях (при выпол­нении каких условий) можно гарантировать полу­чение лишь эффективных стратегий?

Оказывается, что метод последовательных усту­пок не всегда приводит к выделению лишь эффек­тивных стратегий, т. е. решениями S) из задачи (1) могут быть и неэффективные стратегии. Это легко подтвердить простым примером.

Пример 1. Пусть множество U
Ì
R3
—
многогранник, изображенный на рис.2 , K1
(u)=u1, K2
(u)=u2,
K3
(u)=u3
. Здесь решением 3 из задачи (1) является любая точка треугольника ABC (на рисунке он заштрихован), но эффек­тивны лишь точки отрезка АС.

Справедливо, однако, утверждение: если u* — единственная (с точностью до эквивалентности) стратегия, являющаяся решением S) из задачи (1), то она эффективна.

Действительно, предположим, что стратегия u* неэффективна, так что существует стратегия u'>u*. Но стратегия u' также удовлетворяет всем огра­ничениям S) задачи (1) и доставляет кри­терию KS
значение Qs
; иначе говоря, u' оказыва­ется решением этой зада­чи, что противоречит ус­ловию единственности u*. Утверждение доказано.

Рис 2

Можно доказать так­ же, что если UÌRn
за­мкнуто и ограничено, Кr
непрерывны на U, а стратегия, являющаяся реше­нием S) задачи (1), единственна с точностью до эквивалентности, то любая максимизирующая последовательность, служащая решением S), эффективна.

Пример 2. Пусть
U
Ì
Rn

— выпуклое множество,

а все Кr
квазивогнуты. При этих условиях множество стратегий, удовлетворяющих ограничениям r) задачи (1), также выпукло (r=1,2, ..., S), так что каждая из задач 1), 2),..., S) является задачей квазивогнутого программирования. Если Ks строго квазивогнут, то решением задачи S) может служить лишь единственная и потому эффективная стратегия; если же |при этом U замкнуто и ограничено, а все Кr
непрерывны на U, то любая максимизирующая последовательность, являющаяся решением S), эффективна.

Пример 3. Предположим, что из многогранника U задачи, описанной в примере 1, удалена вся грань А'В'С', но оставлена точка В. Теперь эта точка оказывается единственным решением 3) задачи (1). Здесь точка В, конечно, эффективна. Любая сходящаяся к ней последовательность внутренних точек многогранника, удовлетворяющих ограниче­ниям задачи 3), будет максимизирую щей для Ks,
но не будет эффективной. Указанное положение — следствие не замкнутости рассматриваемого в данном примере множества U.

В связи с тем, что не всегда стратегия, получен­ная с помощью метода последовательных уступок, является эффективной, возникает и такой вопрос: обязательно ли среди множества стратегий, выде­ляемых этим методом, существует хотя бы одна эффективная?

В общем случае на этот вопрос положительный ответ дать нельзя, однако имеет место такое утверждение: если UÌRn
— множество замкнутое и ограниченное, а все Кr
непрерывны, то решением S) задачи (1) служит по крайней мере одна эффективная стратегия.

Действительно, при выполнении условий этого утверждения множество Us
стратегий-решений S) оказывается непустым, замкнутым и огра­ниченным. Следовательно, существует точка u*ÎUS
, в которой функция достигает наибольшего на Us
значения. Нетрудно убедиться в том, что u* эффективна.

Таким образом, при решении почти всякой при­кладной многокритериальной задачи метод последо­вательных уступок выделяет в качестве оптималь­ных и эффективные стратегии. Однако необходимо отметить, что выделенные эффективные стратегии не обязаны быть эквивалентными (см. пример 1); но нетрудно проверить, что это возможно лишь при S³3.

Если нельзя гарантировать, что при решении рассматриваемой многокритериальной задачи метод последовательных уступок приводит к получению лишь эффективных стратегий (в частности, если по выполняется вышеприведенное условие единст­венности), то для выделения эффективной страте­гии сре

ди решений задачи S) достаточно, как пока­зывает только что проведенное доказательство,

найти (2)

Однако практически более удобно применять такой прием : заменить в S) критерий Ks
на ,

где À — положительное число;

в результате получится задача:

(3)

Нетрудно доказать, что любая стратегия, являющаяся решением задачи (3), эффективна; более того, всякая максимизирующая последовательность, служащая решением этой задачи, также эффективна.

Смысл указанного приема заключается в том, что при достаточно малом числе À>0 для любой полученной в результате решения задачи (3) стратегии w значение критерия KS
(w) будет весьма близким к Qs
*)
и эта стратегия эффективна, в то время как при решении S) задачи (1) может быть получена стратегия и, которую выгодно заме­нить некоторой эффективной стратегией v>u, су­щественно лучшей, чем и, но одному или даже не­скольким частным критериям. А поскольку величи­ны уступок А, на практике устанавливаются при­ближенно, то замена Ks на K*s
при малых À>0 в силу указанной причины оказывается допустимой и оправданной.

Таким образом, понятие эффективной стратегии позволило уточнить вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом после­довательных уступок.

С другой стороны, метод последовательных уступок позволяет указать характеристическое свойство эффективных стратегий.

Теорема 1.

Для любой эффективной стратегии u* существуют такие числа D*
r
, что эту стратегию можно выделить методом последовательных уступок, т. е. при Dr=
D*
r
, r=1, 2,...,S—1, стратегия u* являет­ся единственным (с точностью до эквивалентности) решением S) задачи (1).

Теорема 1 характеризует эффективные стра­тегии с помощью последовательности задач (1). В частности, она показывает, что метод последова­тельных уступок можно использовать для построе­ния множества эффективных стратегий.

Более того, теорема 1 позволяет исследовать и сам метод последовательных уступок. Действи­тельно, она показывает, что при любом фиксирован­ном расположении частных критериев, по степени относительной важности одним лишь выбором ве­личин уступок можно обеспечить выделение любой эффективной стратегии в качестве оптимальной (так что проблема отыскания оптимальной страте­гии, т. е. проблема выбора эффективной стратегии из всего множества U°,
формально эквивалентна проблеме назначения надлежащих величин уступок при произвольном фиксированном упорядочении критериев).

Следовательно, для решения многокритериаль­ной задачи нужно так ранжировать критерии, чтобы потом удобнее было выбирать величины уступок. Учитывая вышеизложенное и внимательно рассмо­трев порядок назначения величин уступок, можно сделать следующий вывод: метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех многокритериальных задач, в которых все частные критерии естествен­ным образом упорядочены по степени важности, причем каждый критерий настолько существенно более важен, чем последующий, что можно ограни­читься учетом только попарной связи критериев и выбирать величину допустимого снижения очеред­ного критерия с учетом поведения лишь одного сле­дующего критерия.

Особенно удобным является случай, когда уже в результате предварительного анализа многокритериальной задачи выясняется, что можно допустить уступки лишь в пределах «инженерной» точности (6—10% от наибольшей величины критерия).

Решение многокритериальной задачи методом последовательных уступок — процедура довольно трудоемкая, даже если заранее выбраны величины всех уступок. Поэтому большой интерес представляет вопрос: можно ли при заданных Di
получить оптимальную стратегию за один этап, сведя после­довательность задач (1) к одной экстремальной задаче?

Мы можем указать лишь приближенный способ одноэтапного решения для S=2. Он основан на следующем утверждении:

Лемма 1.

Пусть множество UÌRp
замкнуто и ограничено, K1
и К2
непрерывны на U, D1
³0 и À£D1
/M1
2
, где

(4)

Тогда для любой стратегии u*, доставляющей функции L=K1
+ÀК2
наибольшее на U значение, справедливо неравенство Q1
-K1
(u*)£D1
причем если K1
(u*)£ Q1
, то

Эта лемма, показывает, что если решить задачу максимизации на U функции L=K1
+ÀК2
, в кото­рой число À назначено указанным образом, то для полученной стратегии u* (она обязательно эффек­тивна) значение K1
(u*) будет отличаться от максимального Q1
не более, чем на D1
, a K2
(u*) будет тем ближе к Q2
, чем точнее назначена оценка М1
2
.

Однако даже если взять число М1
2
, удовлетворяю­щее (4) как равенству, и положить À = D1
/M1
2
, то все равно нельзя гарантировать, что K2
(u*)=Q2
,так что рассматриваемый способ действительно является приближенным.

Пример 4.
Пусть U —
четверть единичного круга, ле­жащая в положительном квадранте: U={u: uÎR2
, u2
1
+u2
2
£1, u1
³0, u2
³0} K1
(u)=u1
, K2
(u)=u2
. Здесь Q1
= l и М1
2
=1, если исходить из (4) как равенства. Примем D1
=0,2; À=0,2.

Функция u1
+ 0,2u2
достигает максимума на Uв единственной точке так что , однако

Пример 5.
U={u: uÎR2 ,
0£u2
£1, (1+d)u2
£1-u1
} где d — положительное число, K1
(u)=u1
, K2
(u)=u2
. Исполь­зуя (4) как равенство, находим: М1
2
= 1. Положим D1
=1; À=1. Функция u1
+u2
достигает на Uмаксимума в един­ственной точке (1, 0). Возьмем теперь ; À=1 + e. где e— любое сколь угодно малое положительное число. Тогда при d<e функция u1
+(1+e)u2
будет достигать максимума на U вточ­ке (-d, 1), так

что Q1
-K1
(-d,1) = 1+d >D1
=1.

Примечание.

Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод выделения основного частного кри­терия. Этот метод состоит в том, что исходная многокритери­альная задача сводится к задаче оптимизации по одному частному критерию КL
,который объявляется основным, или главным, при условии, что значения остальных частных кри­териев Кr
должны быть не меньше некоторых установленных величин («требуемых» значений) br
,т. е. к задаче

найти (5)

причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, яв­ляющаяся решением задачи (5).

Выделение критерия Kt
в качестве основного и назна­чение пороговых величин br
,
для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые удовлетворяют всем S—1 ограничениям Kr
(u)³br
;такие стратегии можно назвать допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии, которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S—1 неравенств. Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та, для которой значение Критерия Kl
больше.

Необходимо отметить, что установившееся название — «ос­новной», или «главный» критерий — по существу весьма условно. Действительно, критерий Kl
максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного» частного критерия Kr
оказывается хоть немного меньше, чем br
, то она уже не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает, что метод после­довательных уступок формально можно рассматривать как особую разновидность метода выделения основного частного критерия, отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин ограничений для задачи максимизации KS
(это обстоятельство фактически уже использовалось при доказательстве теоремы 1).

Поэтому все полученные выше результаты, связанные с вопросами выделения эффективных стратегий методом последовательных уступок, переносятся и на рассматриваемый метод. В частности, этот метод выделяет лишь эффективные стратегии, когда решение задачи (5) единственно с точностью до эквивалентности; если же справедливость указанного условия единственности не установлена, то целесообразно в (5) заменить Kl
на

, где À>0 – достаточно малое число.

Выбор конкретной эффективной стратегии из множества U0
формаль­но эквивалентен назначению надлежащих величин br
, причем в качестве основного можно выбрать любой частный крите­рий.

Это означает, с одной стороны, что рассматриваемый метод универсален в том смысле, что он позволяет для каждой ммногокритериальной задачи выделить в качестве наилучшей любую эффективную стратегию.

Это же означает, с другой стороны, что вопросы о выборе одного из частных критериев в качестве основного и назначении минимально допустимых величин br
для остальных критериев нужно решать совместно, ибо какой бы частный критерий ни был выбран основным, только лишь назначением величин ограничений на остальные критерии можно обеспе­чить получение в качестве оптимальной любой (намеченной) эффективной стратегии.

Таким образом, предварительное выделение одного из ча­стных критериев основным еще никак не уменьшает свободы выбора эффективной стратегии (так что название «основной», или «главный» критерий действительно весьма условно). Сле­довательно, при качественном анализе конкретной многокри­териальной задачи вопрос о выделении одного из частных критериев в качестве основного следует решить так, чтобы облегчить назначение величин ограничений на остальные частные критерии.

Практически назначается серия «наборов» {br
} пороговых значений и для каждого «набора» отыскивается соответствую­щее наибольшее значение основного критерия (при этом сле­дует учитывать данные выше рекомендации, относящиеся к обеспечению (получения лишь эффективных стратегий, а так­же иметь в виду, что при произвольно назначенных числах br
может случиться, что задача (5) вообще не имеет смыс­ла, так как ни одна стратегия не удовлетворяет входящим в нее ограничениям).

Далее на основании анализа полученной серии значений всех частных критериев (т. е. серии значений векторного кри­терия) производится окончательное назначение величин огра­ничений, чем определяется и выбор стратегии, которая и бу­дет считаться оптимальной.

Рассмотрение указанной процедуры назначения величин ограничений показывает, что расчет серии значений всех частных критериев фактически имеет целью получение представления о множестве эффективных стратегий (или некоторо­го его подмножества) с помощью ряда отдельных точек, а за­тем эта информация служит для окончательного выбора стра­тегии (производимого на основании интуиции, «здравого смыс­ла» и т. п.).

Следовательно, метод выделения основного частного критерия стоит применять лишь в том случае, когда имеются соображения о примерных значениях величин br
, (или о до­вольно узких пределах этих значений), позволяющие огра­ничиться рассмотрением сравнительно небольшой части всего множества эффективных стратегий.

Список использованной литературы.

1) Подиновский В.В. , Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Сов. радио», 1975, 192 стр.