Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

Предположим, что (4.7) справедливо. Оно равносильно неравенству

,

которое, в свою очередь, равносильно такому

(4.8)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства (4.8) даст эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких это будет.

Очевидно, при , .

Будем считать и возведём обе части неравенства (4.8) в квадрат. После приведения подобных членов получим

или

,

т.е..

При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (4.7). Отсюда

.

Оценим теперь . Покажем, что

, (4.9)

т.е. , т.е.

Преобразовав последнее неравенство, получим

После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство

.

В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (4.9), так что

.

Таким образом, для справедлива оценка

.

Оценим в точке

.

Сначала потребуем, чтобы , т.е.

.

Усилим неравенство

.

Отсюда . При , причём, при .Пусть , тогда при условии

(4.10)

имеем , т.е. . В противном случае , и оно нас не интересует. Оценим при условии (4.10) функцию .

Для этого сначала оценим , так как в точке функция . Найдем, при каких условиях выполняется неравенство

(4.11)

Подставив в (4.11), получим

что после упрощения даёт

Возведём обе части неравенства в квадрат, получим

1 случай:

2 случай:

Следовательно:

Очевидно, что при условии (4.5) это неравенство справедливо и, следовательно, справедливо (4.11). Итак, при условиях (4.5) и (4.10) справедлива оценка

.

На концах отрезка имеем . Таким образом, получим следующие оценки для :

1. в точке ;

2. в точке при условии (4.5) и (4.11) ;

3. в точке .

Найдём условия, при которых , т.е. . Это равносильно условию

. (4.12)

Таким образом, если выбирать и из условия (4.12), то .

Поскольку геометрическая прогрессия убывает быстрее, чем , то для достаточно больших . Поэтому для таких справедлива оценка .

Так как , то при условиях , (4.4), (4.5), (4.10) и (4.12) имеет место следующая оценка погрешности итерационного метода (4.2)

. (4.13)

Нетрудно видеть, что условие (4.12) сильнее условия (4.4). Для нахождения оптимальной по оценки погрешности производную по от правой части выражения (4.13) приравняем к нулю. Тогда оптимальная по оценка погрешности имеет вид

(4.14)

и получается при

. (4.15)

Итак, доказана

Теорема:
При условиях , , , (4.10), (4.5), (4.12) оценка погрешности метода (4.2) имеет вид (4.13) при достаточно больших . При этих же условиях оптимальная оценка имеет вид(4.14) и получается при из (4.15).

Таким образом, оптимальная оценка метода (4.2) при неточности в правой части уравнения оказывается такой же, как и оценка для метода простых итераций. Как видно, метод (4.2) не дает преимущества в мажорантных оценках по сравнению с методом простых итераций. Но он дает выигрыш в следующем. В методе простых итераций с постоянным шагом (2) требуется условие , в этом же методе с переменным шагом допускается более широкий диапазон для больших . В методе (4.2) . Следовательно, выбирая и соответствующим образом, можно считать в методе (4.2) примерно втрое меньшим, чем для метода простых итераций с постоянным шагом, и вдвое меньшим, чем для того метода с переменным шагом. Таким образом, используя метод (4.2), для достижения оптимальной точности достаточно сделать итераций соответственно в три раза или два раза меньше. Приведем несколько подходящих значений , удовлетворяющих требуемым условиям:

Наибольшую сумму и, следовательно, наибольший выигрыш в объеме вычислений дают значения и . Поскольку в выделенном случае , то условие (4.6) показывает, что достигнут практически максимальный возможный выигрыш.

Замечание:
Оценки сходимости были получены для случая, когда . В случае, когда , во всех оценках следует заменить на .

Замечание:
Считаем, что . На самом деле все результаты легко переносятся на случай, когда .

Литература

1. В.Ф. Савчук, О.В. Матысик «Регуляризация операторных уравнений в гильбертовом пространстве», Брест, 2008, 195 стр.