Парная регрессия 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: Эконометрика

На тему: Парная регрессия (Вариант №9)

Выполнил студент 1 курса ФВВиДО

Специальность:БУАА

Конкина Анна Андреевна

Руководитель: Репина Е.Г.

г. Самара

2010г.

По данным 12-летних наблюдений исследовали зависимость признаков Х
иY
, где Х
– темп прироста капиталовложений, %; Y
– выпуск валовой продукции, млн. руб. Признаки имеют нормальный закон распределения.

X	6,6	6,9	7,4	4,6	10	20	21,7	22,2	22,4	25,1	29	32,9
Y	2,7	3,2	2,9	2,5	3	4,6	5,7	5,9	5,2	5,8	7,9	9,8

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции.

2. Рассчитайте оценки параметров , уравнения парной линейной регрессии.

3. Оцените тесноту связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском с помощью выборочного коэффициента корреляции (r
в
). Проверьте значимость коэффициента корреляции(α =0,1).

4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R
2
в
). Сделайте экономический вывод.

5. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1.

6. Постройте 90-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b
. Сделайте экономический вывод.

7. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0,1.

8. Постройте 90-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения а
.

9. Составьте таблицу дисперсионного анализа.

10. Оцените с помощью F
-критерия Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (α =0,1).

11. Рассчитайте выпуск валовой продукции (), если темп прироста капиталовложений составит 15%. Постройте 90-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (). Сделайте экономический вывод.

12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности (). Сделайте экономический вывод.

13. Проверьте гипотезу Н
0
: b
= b
0
, (b
0
= 0,25).

14. На поле корреляции постройте линию регрессии.

1
. Построим поле корреляции (рис. 1) и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками:

Х
–
темп прироста капиталовложений,%;

Y
-
выпуск валовой продукции, млн.руб.

По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции.

2
. Рассчитаем оценки параметров линейной модели

методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии

. (1)

Таблица 1
№ пп	х i	у i	х i 2	у i х i	у i 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	6,6	2,7	43,56	17,82	7,29	2,54308	0,00246	5,713295	4,98776	116,64
2	6,9	3,2	47,61	22,08	10,24	2,60948	0,34871	5,40028	3,00443	110,25
3	7,4	2,9	54,76	21,46	8,41	2,72014	0,03235	4,89821	4,13443	100
4	4,6	2,5	21,16	11,5	6,25	2,10044	0,15965	8,02527	5,92109	153,84
5	10	3	100	30	9	3,29557	0,08736	2,68226	3,73776	54,76
6	20	4,6	400	92	21,16	5,50877	0,82586	0,33113	0,11111	6,76
7	21,7	5,7	470,89	123,69	32,49	5,88501	0,03423	0,90569	0,58778	18,49
8	22,2	5,9	492,84	130,98	34,81	5,99567	0,00915	1,12857	0,93445	23,04
9	22,4	5,2	501,76	116,48	27,04	6,03994	0,705499	1,22459	0,07111	25
10	25,1	5,8	630,01	145,58	33,64	6,637502	0,70141	2,90420	0,75112	59,29
11	29	7,9	841	229,1	62,41	7,50065	0,15948	6,59113	8,80113	134,56
12	32,9	9,8	1082,41	322,42	96,04	8,363798	2,06268	11,76811	23,68448	240,25
	208,8	59,2	4686	1263,1	348,78	59,20005	5,12884	51,57274	56,72665	1052,88

Найдем оценки параметров , из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет следующий вид:

Отсюда можно выразить , [1]
:

Необходимые суммы рассчитаны в табл. 1 в столбцах 2 - 5.

Занесем полученные ответы в табл. 4.

Подставим рассчитанные значения , в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде:

. (2)

3
. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного линейного коэффициента корреляции:

.

Заполним столбец 6 и подставим рассчитанные суммы из табл. 1.

0,95348.

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу Н
0
об отсутствии линейной зависимости между признаками Х
и Y
, т.е.

Н
0
: r
г
= 0,

Н
1
: r
г
¹ 0.

Конкурирующая гипотеза Н
1
определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины

Т
=, которая имеет распределение Стьюдента с

k
= 12
– 2 = 10 степенями свободы.

По выборочным данным найдем

Т
н
== 10,00181.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t
кр.дв
(a; k
) = t
кр.дв
(0,1; 10) = 1,81

(на пересечении строки k
= 10 и уровня значимости a=
0,1).

Сравниваем Т
н
и t
кр.дв
(a; k
). Так как |Т
н
| > t
кр.дв
(a; k
), то Т
н
попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции отвергается при 10-процентном уровне значимости.

Справедлива конкурирующая гипотеза Н
1
: r
г
¹ 0,r
в
значим, признаки Х
и Y
коррелированы.

Коэффициент корреляции r
в
по модулю больше 0,7, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак r
в
указывает на прямую зависимость между темпом прироста капиталовложений и выпуском валовой продукции, что подтверждается экономической теорией.

4
. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции r
в
в квадрат:

= (r
в
)2
= (0,95348)2
= 0,909124.

Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака Y
, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 90,91% вариации выпуска валовой продукции объясняется вариацией темпа прироста капиталовложений, а 9,09% зависит от вариации не учтенных в модели факторов.

5
. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:

Н
0
: b
= 0,

Н
1
: b
0.

Конкурирующая гипотеза Н
1
определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза

Н
0
проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с k
= 12
– 2 = 10 степенями свободы.

Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти , надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2).

Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле

,

где – это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна

(табл. 1, столбец 8).

Тогда стандартная ошибка регрессии

(занесем этот результат в табл. 4).

Дисперсия объясняющего фактора Х
вычисляется по формуле

== 87,74.

Итак, 0,02207.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

= .

Заносим два последних ответа в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t
кр.дв
(a; k
) = t
кр.дв
(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t
кр.дв
(a; k
). Так как || > t
кр.дв
(a; k
), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н
1
: b
¹ 0,оценка параметра
статистически значима, признаки Х
и Y
взаимосвязаны.

Таким образом, если прирост капиталовложений увеличится на 1%, то выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,22132 млн.руб.

6
. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b
.

– t
кр.дв
(α; k
)+ t
кр.дв
(α; k
).

Подставляем значения из п. 5:

,

(заносим результат в табл. 4).

Таким образом, при увеличении темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем с 0,18 до 0,26 млн. руб.

7
. Проверим значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения.

Н
0
: а
= 0,

Н
1
: а
0.

Конкурирующая гипотеза Н
1
определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза Н
0
проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с k
= 12
– 2 = 10 степенями свободы.

Предварительно найдем стандартную ошибку по формуле

.

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента

= .

Заносим ответы и в табл. 4. По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим

t
кр.дв
(a; k
) = t
кр.дв
(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t
кр.дв
(a; k
). Так как || > t
кр.дв
(a; k
), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н
1
: а
¹ 0,оценка параметра
статистически значима.

8
. Построим доверительный интервал для свободного члена уравнения:

– t
кр.дв
.
(α; k
)+ t
кр.дв
.
(α; k
).

Подставляем значения из п. 7:

,

(вносим в табл. 4).

Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, поэтому линейную модель оставляем в общем виде[2]
: .

9
. Построим таблицу дисперсионного анализа по общей схеме (табл. 2).

Таблица 2
Источник вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F н
df	SS	MS	F – статистика
Регрессия	1	RSS =
Остаток	n – 2	ESS =
Итого	n – 1	TSS =

Сначала найдем среднее значение признака Y
:

=59,2= 4,93333(3).

Затем в табл. 1 заполним столбцы 9 и 10.

RSS
=– регрессионная сумма квадратов отклонений.

ESS
=– остаточная сумма квадратов отклонений.

TSS
=
RSS
+
ESS
– общая сумма квадратов отклонений.

F
– статистика рассчитана по формуле F
= .

Таблица 3
Источник вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F н
df	SS	MS	F – статистика
Регрессия	1	51,57274	0,512884	100,55439
Остаток	10	5,12884
Итого	11	56,7

10
. Оценим значимость линейной модели в целом при 10-процентном уровне значимости. Выдвигаем гипотезу о незначимости линейной модели.

Н
0
: модель незначима,

Н
1
: модель значима.

Конкурирующая гипотеза Н
1
определяет правостороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F
, которая имеет распределение Фишера – Снедекора с и степенями свободы.

Наблюдаемое значение критерия берем из схемы дисперсионного анализа (табл. 3): . Критическое значение критерия смотрим в таблице критических точек Фишера – Снедекора (прил. 2)

F
кр
(α; k
1
; k
2
) = F
кр
(0,1; 1; 10) = 3,29

(на пересечении строки k
2
= 10 и уровня значимости α = 0,1).

Сравниваем F
н
и F
кр
(α; k
1
; k
2).
Так как F
н
>> F
кр
(α; k
1
; k
2
), то F
н
попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости линейной модели отвергается при 10-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н
1
, следовательно, модель значима и ее можно использовать для прогноза.

11.
Спрогнозируем процент расходов на питание при темпе прироста капиталовложений =15%. Для этого подставим в уравнение регрессии (2):

.

Таким образом, если темп прироста капиталовложений будет равен 15%, выпуск валовой продукции составит в среднем 4,4 млн.руб.

Построим 90-процентный доверительный интервал прогноза:

– t
кр.дв
(α; k
)+ t
кр.дв
(α; k
).

Предварительно заполним столбец 11 (см. табл. 1) и найдем стандартную ошибку прогноза :

,

где

= – среднее значение дохода Х
.

Итак, (табл. 4).

Подставляем найденные значения в формулу доверительного интервала:

.

(табл. 4).

Таким образом, если темп прироста капиталовложений буде равен 15%, то выпуск валовой продукции будет колебаться в среднем от 3,04 до 5,76 млн.

12
. Найдем средний коэффициент эластичности:

.

Таким образом, с увеличением темпа прироста капиталовложений на 1% выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,7806 млн.руб.

13
. Проверим гипотезу о равенстве параметра b
некоторому теоретическому значению b
0
. Примем b
0
= 0,25, так как = 0,22 ≈ 0,25.

Н
0
: b
= 0,25,

Н
1
: b
0,25.

Конкурирующая гипотеза Н
1
определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины

=, которая имеет распределение Стьюдента с

k
=
n
– 2 = 10 степенями свободы.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии = 0,02207 (см. п. 5).

По выборочным данным найдем

= .

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 1) находим t
кр.дв
(a; k
) = t
кр.дв
(0,1; 10) = 1,81.

Сравниваем || и t
кр.дв
(a; k
). Так как || < t
кр.дв
(a; k
), то попало в область принятия гипотезы. Следовательно, нулевая гипотеза принимается при уровне значимости α = 0.1, Н
0
: b
=0,25
. Таким образом, b
0
и b
различаются несущественно.

14
. На поле корреляции построим график уравнения линейной регрессии (рис. 2). Графиком является прямая, которую можно построить по данным столбцов 2 и 7 (см. табл. 1).

Рис.2

y
=1,08+0,22
x

Коэффициент детерминации() – 0,909

Таблица 4
Показатели	Оценки	Стандартные ошибки (s )	Т н	Доверительные интервалы
				Нижняя граница	Верхняя граница
Свободный член а	1,08	= 0,44	2,48	0,29	1,87
Коэффициент регрессии b	0,22	= 0,02	10,0	0,18	0,26
Прогноз	4,4	= 0,75	3,04	5,76
Уравнение регрессии		= 0,72

[1]
Пределы суммирования постоянны, поэтому суммубудем обозначать знаком.

[2]
Если при сравнении || < t
кр.дв
(a; k
), то попадает в область принятия гипотезы и нулевая гипотеза Н
0
: а
= 0 принимается, аоценка параметра
считаетсястатистически незначимой. Тогда модель можно записать в виде.