ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАНИЕ
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
ВЫВОД
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.
Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.
Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X1
, X2
,…Xk
), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.
Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.
Предмет исследования– процесс функционирования двигателя.
Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональнойзависимости
ЗАДАНИЕ
Область планирования фактора X: Xmin
= 0,012 м, Xmax
= 0,055 м.
План проведения эксперимента:
| № опыта | xj
|
| 1 | -1 |
| 2 | -0,8 |
| 3 | -0,6 |
| 4 | -0,4 |
| 5 | -0,2 |
| 6 | 0 |
| 7 | 0,2 |
| 8 | 0,4 |
| 9 | 0,6 |
| 10 | 0,8 |
| 11 | 1 |
Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Хmin
, Хmax
), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
где - интервал (шаг) варьирования фактора;
-натуральное значение основного уровня фактора;
- кодированное значение фактора x;
- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.
В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.
Табл. 1
| № опыта | Xj
|
Yj
|
| 1 | 0,012 | 3601,8348 |
| 2 | 0,0163 | 2712,4310 |
| 3 | 0,0206 | 2195,4343 |
| 4 | 0,0249 | 1855,3637 |
| 5 | 0,0292 | 1626,8644 |
| 6 | 0,0335 | 1461,2450 |
| 7 | 0,0378 | 1339,577 |
| 8 | 0,0421 | 1250,5135 |
| 9 | 0,0464 | 1173,9877 |
| 10 | 0,0507 | 1126,4606 |
| 11 | 0,055 | 1092,5573 |
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a0
+ a1
X) и квадратичную зависимости (Y = a0
+ a1
X + a2
X2
). Посредством МНК значения a0
, a1
и a2
найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj
от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:
.
Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a0
, a1
и a2
.
Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a0
+ a1
X. Получим:
;
.
Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
Решая эту систему, найдем коэффициенты a1
и a0
:
; .
Для квадратичной зависимости Y = a0
+ a1
X + a2
X2
система нормальных уравнений имеет вид:
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.
Табл. 2
| № опыта | Xj
|
Yj
|
Xj
2 |
Xj
Yj |
Xj
2 Yj |
Xj
3 |
Xj
4 |
| 1 | 0,012 | 3601,8348 | 0,000144 | 43,222017 | 0,5186642 | 0,0000017 | 0,000000020736 |
| 2 | 0,0163 | 2712,4310 | 0,0002656 | 44,212625 | 0,7204216 | 0,0000043 | 0,0000000705433 |
| 3 | 0,0206 | 2195,4343 | 0,0004243 | 45,225946 | 0,9315227 | 0,0000087 | 0,0000001800304 |
| 4 | 0,0249 | 1855,3637 | 0,00062 | 46,198556 | 1,1503254 | 0,0000154 | 0,0000003844 |
| 5 | 0,0292 | 1626,8644 | 0,0008526 | 47,50444 | 1,3870645 | 0,0000248 | 0,0000007269267 |
| 6 | 0,0335 | 1461,2450 | 0,0011222 | 48,951707 | 1,6398091 | 0,0000375 | 0,0000012593328 |
| 7 | 0,0378 | 1339,577 | 0,0014288 | 50,63601 | 1,9139876 | 0,000054 | 0,0000020414694 |
| 8 | 0,0421 | 1250,5135 | 0,0017724 | 52,646618 | 2,2164101 | 0,0000746 | 0,0000031414017 |
| 9 | 0,0464 | 1173,9877 | 0,0021529 | 54,473029 | 2,52747781 | 0,0000998 | 0,0000046349784 |
| 10 | 0,0507 | 1126,4606 | 0,0025704 | 57,111552
|
2,8954543 | 0,0001303 | 0,0000066069561 |
| 11 | 0,055 | 1092,5573 | 0,003025 | 60,090651 | 3,3049858 | 0,0001663 | 0,000009150625 |
| Σ | 0,3685 | 19436,266 | 0,0143782 | 550,27311 | 19,206122 | 0,0006174 | 0,0000282173998 |
Для уравнения регрессии вида Y = a0
+ a1
X найдем коэффициенты a1
иa0
:
.
.
Для уравнения регрессии вида
Y =
a0
+ a1
X + a2
X2
найдем коэффициенты a1
, a2
иa0
:
Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:
.
.
.
Найдем определитель (
det) матрицы:
.
;
;
.
; ; .
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
Построим графики функций Y = a0
+ a1
X ; Y = a0
+ a1
X + a2
X2
:
| X | 0,012 | 0,0163 | 0,0206 | 0,0249 | 0,0292 | 0,0335 | 0,0378 | 0,0421 | 0,0464 | 0,0507 | 0,055 |
| Y=ao
+a1 X |
2833,143 |
2619,9 | 2406,658 | 2193,415 | 1980,172 | 1766,929 | 1553,686 | 1340,443 | 1127,2 | 913,9573 | 700,7144 |
| Y=a0
+a1 X+a2 X2 |
3215,923 | 2748,207 | 2330,714 | 1963,444 | 1646,397 | 1379,574 | 1162,973 | 996,5962 | 880,4424 | 814,5117 | 798,8043 |
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
Для проверки адекватности модели определим абсолютные DYj
и относительные погрешности в каждом из опытов.
DYj
= - Yj
; ,
где – расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.
Данные представим в виде таблицы 3.
Табл. 3
| j | Y = a0
+ a1 X |
Y = a0
+ a1 X + a2 X2 |
||
| DYj
|
DYj
|
|||
| 1 | -768,6918 | -0,21342 | -385,9118 | -0,10714 |
| 2 | -92,531 | -0,03411 | 35,776 | 0,01319 |
| 3 | 211,2237 | 0,09621 | 135,2797 | 0,06162 |
| 4 | 338,0513 | 0,1822 | 108,0803 | 0,05825 |
| 5 | 353,3076 | 0,21717 | 19,5326 | 0,012 |
| 6 | 305,684 | 0,20919 | -81,671 | -0,05589 |
| 7 | 214,109 | 0,15983 | -176,604 | -0,13183 |
| 8 | 89,9295 | 0,07191 | -253,9173 | -0,20305 |
| 9 | -46,7877 | -0,0398 | -293,5453 | -0,25004 |
| 10 | -212,5033 | -0,1886 | -311,9489 | -0,27693 |
| 11 | -391,8429 | -0,35865 | -293,753 | -0,26887 |
Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.
С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R2
вычисляется по формуле:
где – общее среднее значение функции отклика.
.
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.
Табл. 4
| Y = a0
+ a1 X |
Y = a0
+ a1 X + a2 X2 |
||
| j | |||
| 1 | 3366863,62479 | 1136803,18835 | 1952571,23764 |
| 2 | 893965,95743 | 727552,24249 | 853898,13319 |
| 3 | 183613,13271 | 409247,73017 | 312848,71152 |
| 4 | 7819,94095 | 181886,66602 | 37616,467 |
| 5 | 19619,28834 | 45470,75597 | 14328,99238 |
| 6 | 93445,31841 | 0,00002 | 147047,20405 |
| 7 | 182633,3815 | 45474,39816 | 359786,00774 |
| 8 | 266689,37885 | 181893,9504 | 589419,20142 |
| 9 | 351584,44898 | 409258,65674 | 602866,06259 |
| 10 | 410205,24101 | 727568,0054 | 801506,847 |
| 11 | 454782,94891 | 1136822,67874 | 759273,70255 |
| Σ | 6231222,66188 | 5001978,27246 | 5732724,84892 |
Для уравнения регрессии Y = a0
+ a1
X:
Для уравнения регрессии Y = a0
+ a1
X + a2
X2
:
Т.к. в уравнениях регрессии оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a0
+ a1
X + a2
X2
, а в уравнении регрессии вида Y = a0
+ a1
X. Из этого следует, что в уравнении вида Y = a0
+ a1
X + a2
X2
найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a0
+ a1
X.
ВЫВОД
В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:
-
разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;
-
проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;
-
обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);
-
графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);
-
вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972.
2.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск, 1982.
3.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. – М.: Наука, 1971.