Приближенные решения задач математической физики
Предварительные понятия. 1
Некоторые сведения из функционального анализа. 1
Функционалы и операторы.. 2
Энергетическое пространство. 3
Краевая задача и ее оператор. 3
Формула интегрирования по частям и формулы Грина. 4
Положительные и положительно определенные операторы.. 5
Энергетическое пространство положительно определенного оператора. 6
Энергетическое пространство только положительного оператора. 7
Главные и естественные краевые условия. 7
Метод Ритца. 8
Применение собственных элементов сходного оператора. 9
Решение методом Ритца краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 10
Ортонормирование по Шмидту. 11
Метод Галеркина. 12
Метод наименьших квадратов. 13
Метод Куранта. 13
Метод Л.В.Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 14
Встречные методы.. 15
Метод Трефтца. 15
Метод ортогональных проекций. 17
Список литературы.. 19
Предварительные понятия
Приближенные методы решения задач УМФ можно разделить на две группы
1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме ( в виде отрезка некоторого функционального ряда). К таким методам можно отнести метод Фурье разделения переменных, вариационные методы, метод Галеркина.
2) методы, в результате которых получают таблицу приближенных значений в некоторых точках области (численные методы). К ним можно отнести метод сеток (метод конечных разностей), метод характеристик, при котором задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Некоторые сведения из функционального анализа
Линейное множество называется гильбертовым пространством, если для элементов этого множества приведено в соответствие число (скалярное произведение) , удовлетворяющее аксиомам:
- ,
-
- ,
- .
Норма элемента (метрика) в гильбертовом пространстве:
(1)
Примеры гильбертовых пространств:
(2)
(3)
Пусть – гильбертово пространство, - последовательность элементов в . Последовательность сходится к , если и при . В этом случае называется пределом последовательности .
. (4)
Гильбертово пространство называется полным, если всякая последовательность его элементов, удовлетворяющая условию (4), имеет предел. Пространства , - полные.
Система называется ортонормированной, если
(5)
Пусть – гильбертово пространство и - ортонормированная
в нем система. Будем называть эту систему полной в , если не существует элемента (кроме нулевого) который был бы ортогонален ко всем элементам системы. Обозначим - коэффициенты Фурье элемента по отношению к системе . Ряд Фурье разложения элемента по системе :
. (6)
Неравенство Бесселя:
(7)
Функционалы и операторы
На множестве определен функционал , если каждому элементу приведено в соответствие некоторое число . Множество называется областью определения функционала
и обозначается через .
Линейный функционал:
. (1)
Ограниченный функционал:
(2)
Наименьшее из чисел , удовлетворяющее (2), называется нормой ограниченного функционала и обозначается .
Непрерывный функционал:
(3)
Теорема Рисса:
Всякий ограниченный в гильбертовом пространстве функционал
имеет вид скалярного произведения
, (4)
где – фиксированный элемент пространства . Элемент определяется единственным образом.
– билинейный функционал, если
- при фиксированном функционал линеен,
- . (5)
Однородный квадратичный функционал (квадратичная форма):
, (6)
, (7)
. (8)
Для вещественного гильбертова пространства
, (5`)
, (7`)
. (8`)
На некотором множестве элементов гильбертова пространства определен оператор , если каждому элементу приведен в соответствие по некоторому закону один и только один элемент гильбертова пространства: .
Обратный оператор : .
- область определения оператора , - область значения (множество ). Оператор линеен, если:
Непрерывный оператор:
Линейный оператор является ограниченным, если
Норма оператора:
Теорема:
Для того, чтобы оператор имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело единственное решение .
Теорема:
Для того чтобы оператор был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная такая, что при всех : .
Симметричный оператор:
Энергетическое пространство
Краевая задача и ее оператор
Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два большие класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых искомые величины заметно меняются с течением времени, то есть являются функциями пространственных координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса – волновое уравнение, частным случаем которого является уравнение колебания струны. Другой важный пример – уравнение теплопроводности.
Уравнения второго класса описывают явления стационарные. Чаще всего эти уравнения принадлежат к эллиптическому типу. Одна из простейших стационарных задач – задача о распределении температуры в ограниченном теле с границей в случае отсутствия в теле источников тепла. Температура тела удовлетворяет уравнению Лапласа с тремя независимыми переменными
(1)
Принимаем, что на границе тела температура - известная функция координат (краевые условия 1 рода):
(2)
Задачу о распределении температур можно сформулировать так:
Найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (1) внутри области и принимает заданные значения (2) на ее границе (Задача Дирихле для уравнения Лапласа).
Условия на границе могут быть и другого типа. Если поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды и границы тела ( – внешняя нормаль к поверхности тела ), то получаем условия 3-ого рода:
или (3)
Если в условии (3) положить , то получаем краевое условие 2-ого рода
(4)
Задача интегрирования уравнения (1) с условием (4) называется задачей Неймана.
С краевой задачей математической физики можно связать некоторый оператор – «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве. При этом данная задача может быть записана в виде уравнения
(5)
где – оператор краевой задачи, и – элементы гильбертова пространства. Пример такой операторной задачи – однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа):
(6)
Решение задачи (6) ищем во множестве (линеале) функций, обладающих следующими свойствами: , . На множестве М оператор действует по формуле:
(7)
Формула интегрирования по частям и формулы Грина
При рассмотрении вариационных методов широко используются следующие соотношения.
Для функций в – мерной области с кусочно-гладкой границей (- вектор внешней нормали к поверхности ) справедлива формула интегрирования по частям:
(8)
Рассмотрим далее дифференциальный оператор:
(9)
Первая формула Грина
(10)
Вторая формула Грина
(11)
Третья формула Грина
(12)
Соответствующие формулы Грина для оператора Лапласа
(10`)
(11`)
(12`)
Положительные и положительно определенные операторы
Симметричный оператор называется положительным, если для
(1)
причем выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 1:
, , .
Докажем, что оператор положителен.
а) симметричность
б)
Если , (в соответствии с условиями на границе).
Пример 2:
, , .
а) симметричность
б) , . Докажем, что оператор С
– положительно определенный
.
, . Докажем, что оператор не является положительно определенным
. Если , то (не выполняется определение, хотя граничные условия выполняются).
Пример 3:
, ,
Рассмотрим задачу определения прогиба мембраны, закрепленной по краям:
,
– пропорционально потенциальной энергии мембраны.
Потенциальная энергия мембраны, изогнутой как угодно, положительна, иначе говоря, невозможно изогнуть мембрану, не затратив на это энергии.
Пусть некоторая физическая система под действием внешней причины , приобретает смещение и пусть
,
где – положительный оператор. Тогда величина пропорциональна величине энергии, которую необходимо затратить, чтобы сообщить системе смещение .
– энергия функции (для положительного оператора ).
Симметричный оператор называется положительно определенным
, если для справедливо неравенство
(11)
где – положительная постоянная.
Если оператор положительно определенный, то он положительный, обратное не всегда верно.
Пример 4:
, .
– положительный оператор. Докажем его положительную определенность.
(с учетом )
Неравенство Буняковского: . Примем , :
.
Энергетическое пространство положительно определенного оператора
Оператор - положительно определенный оператор, – линеал (область определения линейного оператора). Введем – энергетическое пространство
оператора (полное гильбертово пространство, совпадающее с ) с обозначениями:
. (1) - энергетическое произведение
, (4) - энергетическая норма .
. (5)
Теорема 1.
Все элементы пространства принадлежат также к пространству .
(Точнее: каждому элементу из можно привести в соответствие один и только один элемент из , причем разным элементам из соответствуют разные элементы из .)
Сходимость в энергетическом пространстве – сходимость по энергии ().
Теорема 2.
Если – положительно определенный оператор и по энергии, то одновременно в метрике исходного пространства :
Энергетическое пространство только положительного оператора
Оператор положительный, но не положительно определенный, называется только положительным
. Не все элементы энергетического пространства только положительного оператора принадлежат исходному пространству.
Элемент принадлежит исходному пространству тогда и только тогда, когда , что и 0. При этом последовательность стремится к тому же элементу в пространстве :
.
Теорема.
Для того, чтобы энергетическое пространство положительного оператора было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельным исходное гильбертово пространство.
(Сепарабельное пространство - плотное, счетное, – сепарабельное пространство).
Итак:
Положительный оператор
:
Положительно определенный оператор
: , что
Главные и естественные краевые условия
, , , (1)
, (2)
– оператор задачи (1), (2) в пространстве
– множество функций из и удовлетворяет (2) ( –порядок уравнения (1)).
Пусть – положительный оператор, – энергетическое пространство. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и необязательно – функции из энергетического пространства , называются естественными
для дифференциального оператора . Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства – главные
условия.
1) , ,
,
– главные (геометрические, кинематические)
2) , ,
,
– естественные (динамические)
Пример 5
(3)
, (4)
Докажем, что для уравнения (3) краевое условие (4) – естественное.
– симметрично относительно , .
– имеет смысл для любых , необязательно удовлетворяющих (3).
Построим функционал .
Покажем, что точное решение задачи (3), (4) – реализует . Используем принцип виртуальных перемещений с параметром .
– имеет при и фиксированном .
.
При (5)
По формуле Грина
, для
, ,
Метод Ритца.
Пусть – положительно определенный оператор на линеале в сепарабельном пространстве , и .
Пусть
– гильбертово пространство. Рассмотрим в базис
. (1)
Обобщенное решение уравнения – это элемент , который минимизирует в функционал
, (2)
т.е. элемент , для которого
. (3)
Выберем целое положительное число , и будем искать аппроксимацию элемента в виде
,
(4)
где элементы базиса (1) , а – неизвестные пока вещественные постоянные. Эти постоянные определяются из условия
Fun
= min, (5)
которое означает, что среди всех аппроксимаций вида
,
(6)
где bk
– произвольные вещественные постоянные (т.е. в n-
мерном подпространстве, порождаемом элементами j
1
, …, jk
,), функционал F
принимает минимальное значение в точности на аппроксимации (4). По предположению, (1) образует базис в HA
, так что обобщенное решение u
0
можно с произвольной точностью аппроксимировать соответствующей линейной комбинацией его элементов. Кроме того, условие (5) аналогично (3). Поэтому приближение (4) с постоянными, определенными в соответствии с (5), будет достаточно мало отличаться от искомого решения u
0
в HA
, если n
будет достаточно велико.
Постоянные bk
в (4) определяются подстановкой (6) вместо u
в (2):
F vn
=
(b
1
j
1
+…+ bn
j
n
, b
1
j
1
+…+ bn
j
n
)A
–
2(f
, b
1
j
1
+…+ bn
j
n
)=
=(j
1
, j
1
)A
b
1
2
+
(j
1
, j
2
)A
b
1
b
2
+…+
(j
1
, j
n
)A
b
1
bn
+
+(j
2
, j
1
)A
b
2
b
1
+
(j
2
, j
2
)A
b
2
2
+…
+ (j
2
, j
n
)A
b
2
bn
+…
+(j
n
, j
1
)A
bn
b
1
+
(j
n
, j
2
)A
bn
b
2
+…+
(j
n
, j
n
)A
bn
2
–
–2(f
, j
1
) b
1
–
2(f
, j
2
) b
2
–
…– 2(f
, j
n
) bn
, (7)
а с учетом симметрии скалярного произведения:
F vn
=
(j
1
, j
1
)A
b
1
2
+
2(j
1
, j
2
)A
b
1
b
2
+…+
2(j
1
, j
n
)A
b
1
bn
+
+
(j
2
, j
2
)A
b
2
2
+…
+ 2(j
2
, j
n
)A
b
2
bn
+…+ (j
n
, j
n
)A
bn
2
–
– 2(f
, j
1
)b
1
–
2(f
, j
2
)b
2
–
…– 2(f
, j
n
)bn
.
(8)
Скалярные произведения (j
i
,,
jk
)A
– это фиксированные числа, определяемые элементами заданного базиса. Следовательно, в результате подстановки функционал F
становится квадратичной функцией переменных b
1
,…,bn
. Необходимые условия существования минимума этой функции в точке (a
1
,…,an
) есть:
(9)
т.е. должны выполняться равенства
(10)
После простых преобразований эти уравнения можно записать в виде
(11)
Система (11) – это система n
уравнений для n
искомых постоянных a
1
,…,an
. Так как по предположению j
1
,…,jn
линейно независимы и определитель системы (11), являющийся определителем Грама, отличен от нуля, то существует единственное решение системы(11).
Замечание
. Базис в HA
можно выбрать из элементов линеала DA
, так как это множество плотно в HA
. Тогда мы имеем (j
i
,
jk
)A
= (A
j
i
,
jk
) для всех i
, k=
1,…,n
, и систему (11) можно записать в виде
(12)
Применение собственных элементов сходного оператора.
Понятие о невязке
Если дано уравнение
(1)
и - какое-либо его приближенное решение, то разность называется невязкой этого приближенного решения. Пусть - положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , и - приближенное решение уравнения (1) по Ритцу. Будем считать, что координатные элементы принадлежат области определения оператора , тогда и выражение - невязка – имеет смысл. В случае ограниченного оператора невязка стремится к нулю:
.
При некотором специальном выборе координатной системы невязка также может стремиться к нулю.
Сходные операторы
Самосопряженные положительно определенные операторы и , действующие в одном и том же гильбертовом пространстве, называются сходными, если .
Теорема о невязке
Пусть и - сходные положительно определенные операторы, действующие в с
(2)
есть -е приближение по Ритцу к точному решению уравнения (1), то невязка стремится к нулю при .
Примеры сходных операторов
| Краевые условия |
Дополнительные условия |
|||
| 1. |
. |
. |
. |
- невырожденный оператор |
| 2. |
. |
, . |
. |
|
Решение методом Ритца краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим краевую задачу
,
при условиях:
, .
Граничные условия определяют выбор последовательности координатных функций.
1.
, т.е. граничные условия имеют вид . Приближенное решение ищется в виде:
,
где - любая достаточно гладкая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, например . Координатные функции - любые достаточно гладкие линейно независимые функции, удовлетворяющие соответствующим однородным условиям . В качестве таких функций можно взять функции
или
.
2.
В случае граничных условий , можно взять в качестве координатных функции
,
,
Ортонормирование по Шмидту
Пусть
, (1)
- конечная или бесконечная последовательность элементов гильбертова пространства, и пусть при любом элементы линейно независимы. Положим
, .
Последовательность ортонормирована, при этом линейно выражается через , а - линейно выражается через .
Пример:
Провести ортогонализацию для базиса в случае интервала .
Ответ:
Вычисление скалярных произведений
(A
j
i
, j
k
) в случае уравнения для оператора
(13)
Если в первом интеграле провести интегрирование по частям, то получим эквивалентные соотношения:
Возможный выбор базиса
для оператора (13):
| Граничные условия |
Базис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Галеркина.
Рассмотрим H
– сепарабельное гильбертово пространство, M
– его плотное подмножество.
Известно, что если для некоторого u
ÎH
и "v
Î M
выполняется (u
, v
) = 0, тогда u
= 0 в H
.
Пусть {j
k
} – базис в H
, k
= 1, 2, ¼Тогда если (u
, j
k
) = 0, k
= 1, 2, ¼ то опять u
= 0 в H
.
По нашему предположению {j
k
} образует базис в H
, тогда множество N
всех элементов вида
(14)
( n
– произвольное целое положительное число, ak
– произвольные вещественные числа ) является плотным в H
. А так как для всех k
выполняется (u
, j
k
) = 0, то
(u
, ak
j
k
) = 0
для всех элементов (14) из N
,откуда следует (13).
Пусть Аu
= f
– уравнение в H
.
Если мы найдем элемент u
0
Î DA
такой, что выполняется условие:
(Au
0
– f
, j
k
) = 0 " k
= 1, 2, ¼, (15)
то из (13) следует, что
Au
0
– f
= 0 в H
, (16)
т.е. u
0
Î DA
– решение уравнения Аu
= f
в H
.
Это рассуждение, ведущее к утверждению, что из (15) следует (16), составляет идею метода Галёркина.
Пусть базис {j
k
} и область определения DA
оператора A
таковы, что любая линейная комбинация (14) элементов этого базиса принадлежит DA
, и пусть приближенное решение un
уравнения Аu
= f
ищется в виде
, (17)
где n
– произвольное, но фиксированное число, а ak
– пока неизвестные постоянные. В методе Галёркина эти постоянные определяются из условий
, " k
= 1, 2, ¼,n
, (18)
аналогичных (15). Условия (18) представляют собой n
уравнений для n
неизвестных постоянных a
1
, …, an
.
Преобразуем , k
= 1, 2, ¼ ,n
(подставив (17):
Если оператор A
линеен, то условия (18) принимают вид
, k
= 1,…, n
, (19)
Если оператор A
ещё и положителен (и поэтому симметричен), то систему (19) можно записать в виде
(20)
которая совпадает по форме с системой (12), полученной с помощью метода Ритца. Таким образом, выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Ритца, означает также выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Галёркина.
Замечание
. В случае положительно определённых операторов метод Галёркина не дает ничего нового по сравнению с методом Ритца; эти два метода ведут к решению одинаковых систем линейных уравнений и к одинаковым последовательностям приближенных решений. Однако возможности применения метода Галёркина существенно шире, чем у метода Ритца. В методе Галёркина, характеризуемом условием (18), заранее не налагается на оператор A
никаких существенных ограничений: не является необходимым, чтобы оператор A
был положительно определенным, а тем более симметричным, но самое главное то, что он может быть нелинейным. Поэтому метод Галёркина может применяться даже в случае очень общих операторов.
Метод наименьших квадратов
Рассмотрим оператор A
, положительно определенный на линеале DA
, который является плотным в сепарабельном гильбертовом пространстве H
, и уравнение
Аu
= f
,
где f
Î H
. Пусть j
1
, j
2
,…,j
k
Î DA
, k
= 1, 2,… образуют базис
в H
, т.е. такую последовательность, что A
j
1
, A
j
2
,… образуют базис в H
. Следовательно, для любого f
ÎH
и любого h> 0 можно найти положительное целое число m
и постоянные c
1
,…,cm
, что
,
или для линейного оператора :
.
Метод наименьших квадратов состоит в нахождении приближенного решения un
уравнения Аu
= f
в виде
, (22)
где постоянные ak
определяются из условия
. (23)
Если в (23) вместо подставить сумму (22), то выражение(23) станет квадратичной функцией переменных . Необходимым условием минимума квадрата нормы является удовлетворение в точке (a
1
,…, an
) равенств
.
Аналогично методу Ритца, получим систему
(25)
Система (25) имеет единственное решение, поскольку ее определитель представляет собой определитель Грама, соответствующий первым n
элементам последовательности (21), а эти элементы по предположению образуют базис в H
, так что они линейно независимы в H
.
Метод Куранта.
Метод Куранта представляет собой некоторое сочетание метода Ритца и метода наименьших квадратов. Пусть заранее известно, что обобщенное решение уравнения
принадлежит . Построим функционал
(1)
где . Функционал достигает минимума на в точности на , поскольку минимально на в точности при в соответствии с теоремой о минимуме квадратичного функционала; так же минимально при , так как при этом . Таким образом, нахождение решения уравнения
эквивалентно нахождению элемента , минимизирующего в функционал . Из формы функционала видно, что его минимизация в (например с помощью метода Ритца) труднее, чем минимизация исходного функционала или . В тоже время метод Куранта сочетает преимущества метода Ритца и метода наименьших квадратов, и это положительно влияет на скорость сходимости решения.
В случае функционала (1) система уравнений для нахождения коэффициентов в приближении решения
приводится к виду
(2)
Если мы строим минимизирующую последовательность для , например с помощью метода Ритца, то, очевидно, будем иметь сходимость в
при . (2)
Если и если известно, что как , так и – достаточно гладкие в функции, то вместо функционала можно рассматривать функционал
(3)
В этом случае вычисления, ведущие к нахождению (например, по методу Ритца), будут более трудоемкими, но с другой стороны, сходимость последовательности – очень быстрой. В частности из соотношений
(4)
которые аналогичны соотношению (2), можно сделать выводы, касающиеся равномерной сходимости не только последовательности , но также и ее производных в рассматриваемой области.
Метод Л.В.Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Найти решение уравнения (1) для положительного на оператора с краевыми условиями (2)
(1)
(2)
Граница области представляет собой криволинейную трапецию, заданную соотношениями
.
(3)
Решение задачи сведем к поиску минимума функционала:
(4)
Приближенное решение будем искать в виде
, (5)
где - заданные функции, удовлетворяющие условиям:
, , , , (6)
а – неизвестные функции, которые необходимо определить из условия минимума функционала (4). В качестве функций можно брать, например, такие функции, удовлетворяющие условию (6)
1) , 2)
.
Подставим (5) в (4) , тогда
,
Если оператор является дифференциальным оператором 2-ого порядка, то выражение под знаком интеграла преобразуется к виду
.
Выполняя интегрирование по переменной y
, получим
, (7)
где – известная функция своих аргументов. Для отыскания решаем вариационную задачу о минимуме однократного интеграла.
Выписывая систему уравнений Эйлера
,
и присоединяя краевые условия
, ,
получим краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, решая которую найдем ,, а следовательно и .
Встречные методы
Метод Трефтца.
Метод Трефтца позволяет оценивать снизу минимальное значение функционала энергетического метода. В методе Ритца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих краевым условиям, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. В противоположность этому в методе Трефтца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих уравнению, но не удовлетворяющих краевому условию.
Рассмотрим краевую задачу (1),(2) для конечной области с границей :
(1)
(2)
Обозначим через решение уравнения (1), и пусть – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е.
(3)
Тогда линейная комбинация
(4)
будет снова решением уравнения (1):
. Требуется так подобрать коэффициенты , чтобы функция в каком-то смысле наиболее точно удовлетворяла граничным условиям (2). Например, можно подобрать
так, чтобы интеграл
(5)
принимал наименьшее значение. В этом случае для отыскания получим систему линейных алгебраических уравнений
(6)
Пусть - точное решение задачи (1)–(2). Обозначим - разность между приближенным и точным решением задачи. В методе Трефтца для решения задачи от требуется, чтобы обращала в минимум функционал
.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу:
, .
Соответствующий функционал принимает вид
(7)
т. е. подбирают так, чтобы обращалась в минимум функция
(8)
Следовательно, должны являться решением системы (9):
Этот интеграл нужно преобразовать так, чтобы неизвестное решение в нем отсутствовало. Используя формулу Гаусса-Остроградского можно провести преобразования:
(2.2.10)
Так как Avk
= 0, а u
|S
= 0, то систему (2.2.9) можно переписать в виде
(2.2.11)
В эту систему u
(x
, y
) уже не входит. Решая ее, находим a1
,a2
,…,an
, а следовательно и un
(x
, y
).
Отметим, что если un
(x
, y
) – приближенное решение краевой задачи, полученное по методу Треффтца, а u
(x
, y
) – точное решение, то имеет место неравенство
F
(un
) £ F
(u
) = m, где F
(u
) = (Au
, u
) - 2(u
, f
),
т. е. метод Треффтца дает приближение к m снизу.
Метод ортогональных проекций.
Будем искать функцию u
(P
), которая внутри конечной области W удовлетворяет уравнению Пуассона
– Du
= f
(P
), (2.1.1)
а на границе S
области W – краевому условию
u
|S
= 0. (2.1.2)
Для определенности будем считать, что функция f
(P
) имеет конечную норму, а W – двумерная область, так что
.
Формула из векторного анализа Du
= div grad u
позволяет записать уравнение (2.1.1) в виде
– div grad u
= f
(P
).
Обозначим grad u =
v. Наша задача будет решена, если мы найдем вектор v , так как восстановление функции по ее градиенту – дело достаточно простое. Теперь задачу можно сформулировать так : требуется найти вектор v(P
), который удовлетворяет уравнению
– div v = f
(P
) (2.1.3)
и представляет собой градиент некоторой скалярной функции, равной нулю на S
.
Введем в рассмотрение пространство векторных функций, в котором скалярное произведение и норма определены формулами
Для краткости обозначим это пространство через Ђ
. Введем в Ђ
два подпространства, которые обозначим через Ђ
1
и Ђ
2
. За Ђ
1
примем подпространство векторов, которые являются градиентами скалярных функций, равных нулю на S
, за Ђ
2
— подпространство векторов, удовлетворяющих уравнению
div v = 0.
Дальнейшее основано на важной формуле
Ђ
= Ђ
1
Å Ђ
2
.
Эта формула содержит два утверждения:
1) Если вектор v1
есть градиент некоторого скаляра, равного нулю на S
, а вектор v2
имеет дивергенцию, равную нулю, то эти векторы ортогональны в том смысле, что
2) Всякий вектор с конечной нормой можно представить в виде суммы двух векторов, из которых один есть градиент скаляра, равного нулю на S
, а другой имеет равную нулю дивергенцию.
Теперь перейдем к изложению метода ортогональных проекций. Построим какой-либо вектор V(P), удовлетворяющий уравнению (2.1.3).
Положим V = v + w , где v – искомый вектор. Тогда
div w = div V – div v = 0,
так что w Î Ђ
2
. В то же время по условию задачи v Î Ђ
1
. Теперь ясно, что искомый вектор есть проекция вектора V на подпространство Ђ
1
– в этом и состоит метод ортогональных проекций.
Для построения проекции w выберем последовательность векторов yi
(P
), удовлетворяющих уравнению div yi
= 0; если эта последовательность ортонормированна и полна в Ђ
2
, то
и решение нашей задачи дается формулой
(2.1.4)
Проведем некоторый анализ формулы (2.1.4). Перепишем ее в виде
(2.1.5)
Все слагаемые справа (2.1.5) ортогональны: векторы yn
(P
) ортогональны по условию, кроме того, v(P
) и yn
(P
) ортогональны, так как они принадлежат ортогональным подпространствам Ђ
1
и Ђ
2
. По свойствам ортогональности получим
(2.1.6)
Если в ряде (2.1.6) сохранить только конечное число m
первых членов то правая часть равенства увеличится, и мы получим
(2.1.7)
Это соответствует замене точного решения (2.1.4) приближенным по формуле
По определению нормы векторной функции
Обозначая через u
0
(P
) функцию удовлетворяющую уравнениям (2.1.1) и (2.1.2), имеем v = grad u
0
и
(2.1.8)
С другой стороны
(2.1.9)
где F
(u
) = (–Du
, u
) - 2(u
, f
) – функционал, используемый в энергетическом методе. Теперь из формул (3.1.7)–(3.1.9) следует
(2.1.10)
Теперь мы видим, что метод ортогональных проекций позволяет оценить снизу погрешность приближенного решения, построенного по методу Ритца.
Список литературы
1. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, 2 том, М.: Физматгиз, 1962. 640с
2. Гавурин М.К.Лекции по методам вычислений. М. Наука.1971, 248с
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1962. 368с
4. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М. Мир, 1981. 216с.
5. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.- 424 с
6. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. Наука.1970, 512с
7. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М. Наука.1966, 432с
8. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М, Мир, 1985. 590с
9. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М, Мир, 1979. 392с
10. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.- 238 с.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Наука.1969, 424с