МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Исполнитель:
студент группы H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Основные обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
4. Биекторы и их свойства
Заключение
Список использованных источников
Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.
Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.
Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.
В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов, -биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой.
В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).
При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.
1. Основные обозначения
|
|
группа |
|
|
класс всех разрешимых групп |
|
|
класс всех нильпотентных групп |
|
|
является подгруппой группы |
|
|
является нормальной подгруппой группы |
|
|
прямое произведение подгрупп и |
|
|
подгруппа Фраттини группы |
|
|
фактор-группа группы по |
|
|
множество всех простых делителей натурального числа |
|
|
множество всех простых делителей порядка группы |
|
|
коммутант группы |
|
|
индекс подгруппы в группе |
2. Используемые результаты
Лемма
Если --- класс Шунка, то .
Лемма
Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.
Лемма
Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.
Теорема
Если --- класс Фиттинга и --- гомоморф, то .
Следствие
Если и --- радикальные формации, то .
Теорема
Если --- разрешимый класс Шунка, а --- разрешимая насыщенная формация, то --- разрешимый класс Шунка.
Следствие
Если и --- разрешимые насыщенные формации, то --- разрешимая насыщенная формация.
Теорема
Если и --- классы Фиттинга, то --- класс Фиттинга и .
Лемма
Пусть --- разрешимая группа, тогда
1) если , то ;
2) если , то ;
3) если , то .
В частности, если и --- разрешимые группы ;
4) .
Теорема
Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы сопряжены между собой.
Лемма
Пусть --- разрешимая группа. Тогда:
1) ;
2) .
Лемма
Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:
1) если - -проектор группы и максимальна в , то - -покрывающая подгруппа группы ;
2) если - -покрывающая подгруппа в группе и , то - -покрывающая подгруппа в ;
3) если - -покрывающая подгруппа группы и , то - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;
4) если и --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .
Теорема
Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Тогда является -инъектором группы тогда и только тогда, когда будет -максимальной в и --- -инъектор коммутанта .
Следствие
Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Если --- -инъектор группы и , то --- -инъектор в .
Теорема
Если --- максимальная подгруппа разрешимой группы , то ,где .
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Определение.
Пусть --- группа и --- класс групп. Если и , то --- -подгруппа группы
.
Определение.
-максимальной подгруппой группы
называется такая -подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.
Определение.
-проектором группы
называется такая подгруппа группы , что , является максимальной в .
Определение.
Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -инъектором
, если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .
Определение.
Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -биектором
, если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .
Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .
Пример
Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса всех -групп.
Пример
В группе силовская 2-подгруппа является -биектором.
Пример
Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.
4. Биекторы и их свойства
Для локальной формации каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в коне
В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.
Пусть --- класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса
.
Для любого множества простых чисел через обозначается класс всех нильпотентных -групп.
Лемма
Если --- класс Шунка, то .
Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.
Следствие
Если --- локальная формация, то .
Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.
Лемма
Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме подгруппа является -подгруппой. Пусть --- -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то --- -подгруппа и .
Обратно, пусть --- -холловская подгруппа и пусть --- -проектор в . Так как , то --- -подгруппа и .
Лемма
Если --- радикальныи класс, то .
Доказательство. Если , то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .
Обратно, пусть , тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.
Лемма
Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть --- -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если --- -холловская в подгруппа, то и --- -подгруппа. Поэтому .
Обратно, если --- -холловская подгруппа в , то . Если --- -инъектор, то и --- подгруппа, поэтому . Лемма доказана.
Пусть , где --- пробегает все группы из . Если --- разрешимый радикальный класс, то .
Следствие
Пусть --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .
Доказательство получаем из лемм и .
Следствие
Пусть --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .
Обозначим через совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.
Теорема
Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .
Пусть --- подгруппа Фиттинга. Так как --- -инъектор в , то по лемме подгруппа является -холловской подгруппой в .
Так как нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме . Поскольку , то - -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, --- -холловская подгруппа.
Следствие
Пусть --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Замечание.
Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .
Теорема
Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .
Доказательство. Предположим, что не содержится в , и пусть --- группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и --- -подгруппа в , то и .
Пусть --- -биектор в . Тогда --- -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как --- гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .
Следствие
Если --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .
Следствие
Если --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .
Для натурального числа через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при --- класс всех метанильпотентных групп.
Лемма
Для любого натурального числа , класс является радикальной насыщенной наследственной формацией.
Доказательство. Применим индукцию по . При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)
Но класс состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому
Согласно следствию (2) класс насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.
Лемма
Пусть --- разрешимая группа и . Если --- -проектор группы , то .
Доказательство. Поскольку --- насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию . Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.
Теорема
Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .
Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме и следствию . По индукции ,следовательно, --- максимальная подгруппа группы .
Так как -- -инъектор группы , то -радикал и . По теореме ,
(2)
Поскольку - -проектор группы , то и согласно лемме . Следовательно,
(3)
Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.
Заметим что в условии этой теоремы требование не является лишним. Для в симметрической группе силовская -подгруппа является -биектором.
Заключение
В данной курсовой работе было показано, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема1
Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Теорема2
Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .
Теорема 3
Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .
Список использованных источников
Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156
Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.
Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.
W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.