Задачи Циолковского

Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное дви­жение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.

Первая задача Циолковского

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолков­ского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо­положную скорости движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох
, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо­линейного движения точки переменной массы принимает вид

.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 1

,

где —
начальная скорость, направленная по реактивной силе; —
начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем

. (14)

Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) , то, обозначая через т
массу топлива, для скорости движения v
1 в конце горения имеем

.

Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m/
M
p
, получаем сле­дующую формулу Циолковского:

. (15)

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т. е. закона изменения массы.
Скорость в конце горения можно увеличить двумя путями. Одним из этих путей является увеличение относитель­ной скорости отделения частиц или для ракеты увеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать ско­рости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,

3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позво­лит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличе­ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструк­цией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М
0/М
р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке­ты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработав­ших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается М
р
за счет отброшенных масс баков и двигателей.

Для определения уравнения движения точки переменной массы из (14) имеем

,

или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х=
0 при t
=0, получаем

. (16)

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рас­сматривают два закона изменения массы: линейный и по­казательный. При линейном законе масса точки с течением времени изменяется так:

M=M
0
(1-
a
t),
(17)

где a=const (a—удельный расход), а М
0—
масса точки в начальный момент времени.

При показательном законе изменение массы

. (18)

Выполняя интегрирование в (16) при линейном законе изменения массы (17), получаем следующее уравнение движения:

. (19)

При показательном законе изменения массы (18) соответ­ственно

. (20)

Отметим, что при линейном законе изменения массы (17), если =const, секундный расход массы

(- dM
/dt
) =aM
0 = const

и реактивная сила

= const.

При показательном законе секундный расход массы и ре­активная сила являются переменными, но ускорение точки переменной массы , вызванное действием на точку одной реактивной силы , является постоянным, т. е.

=const.