ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Кафедра
: «Электроснабжение железнодорожного транспорта»
Дисциплина
: «Основы теории надёжности»
Курсовая работа
«
Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами»
Выполнил:
студент группы ЭНС-04-2
Иванов А. К.
Проверил:
канд. техн. наук, доцент
Герасимов Л. Н.
Иркутск 2008
Введение
Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Термины и определения».
Надежность
– свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения всех эксплуатационных параметров.
Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями
и событиями
:
· Исправность
– состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией.
· Работоспособность
– состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД.
· Предельное состояние
– состояние объекта, при котором его применение (использование) по назначению недопустимо или нецелесообразно.
· Повреждение
- событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении его работоспособного состояния.
· Отказ
– событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.
· Критерий отказа
– отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа.
Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других – определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим объекты могут быть разделены на два класса:
· невосстанавливаемые
, для которых работоспособность в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению, или по каким-либо причинам нецелесообразна;
· восстанавливаемые
, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены элементов.
К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, электронные и электротехнические детали (диоды, сопротивления, конденсаторы, изоляторы и другие элементы конструкций). Объекты, состоящие из многих элементов, например, трансформатор, выключатель, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или нескольких элементов, которые могут быть отремонтированы или заменены. В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым.
Введенная классификация играет важную роль при выборе моделей и методов анализа надежности.
Надежность является комплексным
свойством, включающим в себя, в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации, ряд
Составляющих (единичных) свойств,
в соответствии с ГОСТ 27.002-89:
· безотказность;
· долговечность;
· ремонтопригодность;
· сохраняемость.
Безотказность
– свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.
Долговечность
– свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.
Ремонтопригодность
– свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания.
Сохраняемость
– свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования.
В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их.
Наработка
– продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.).
Показатель надежности
количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обусловливающие надежность.
Задание на расчёт
Система электроснабжения, представленная на рис.1, включает в себя два энергорайона, питающихся от одного источника Г.
Второй энергорайон получает питание по воздушной ЛЭП.
|
|
||||
|
|||||
Первый энергорайон подключен через две подстанции А
и Б
, соединенные параллельно по низкой стороне. Каждая подстанций способна обеспечить питание данного энергорайона, поэтому нарушение электроснабжения наступает только при одновременном обесточивании подстанций А
и Б
.
Второй район имеет одну подстанцию В
и отключается при всех отказах, ведущих к обесточиванию этой подстанции.
Требуется
найти аналитическим методом и методом статистических испытаний (методом Монте-Карло)
· вероятность безотказной работы (показатель безотказности) системы, зная вероятности безотказной работы отдельных ее элементов
· абсолютную и относительную погрешности оценки искомого показателя надежности статистическим методом при разном числе испытаний.
Исходные данные
По результатам испытаний, или обработки статистики, получены вероятности
РГ
= 0.95; РТ
= 0.985; РВЛ
= 0.89;
Так же определены вероятности безотказной работы трансформаторов подстанций
РА
= РБ
= РВ
= 0.96.
Расчёт надёжности
Безотказная работа рассматриваемой части системы электроснабжения будет тогда, когда в соответствии с принятыми условиями в работоспособном состоянии находятся
· все подстанции А
и Б
и В
,
· одна из подстанций А
или Б
, и подстанция В
.
Одновременное обесточивание подстанций А
и Б,
или обесточивание подстанции В
, так же как и одновременное обесточивание всех трех подстанций является отказом системы
.
Для решения задачи требуется знать вероятности обесточивания подстанций. Подстанции обесточиваются, если повреждается (выходит из работы) хотя бы один из элементов системы в цепи, соединяющей соответствующую подстанцию (А
и Б,
или В
) с источником генерируемой мощности, а также при отказе самого источника Г
, или устройств подстанции.
Вероятности обесточивания подстанций могут быть вычислены по данным о надежности элементов цепи соединения, либо могут быть получены в результате обработки статистики (опытных данных) о функционировании подстанций в прошлом. Так, если за K
лет собрана статистика о числе случаев обесточивания nj
каждой j
-
ой подстанции и длительностях пребывания τ
i
их в таком состоянии при i
-
ом обесточивании (i
= 1..
nj
), то можно определить среднее время пребывания подстанций в обесточенном состоянии - τ
oi
по формуле
τ
oi
= , {часгод} (1)
Соответственно, среднее время пребывания подстанций в работоспособном состоянии T
0
j
определиться по формуле
T
0
j
= T
год
- τ
oi
,
(2)
где T
0
j
-
календарное число часов в расчетном периоде – в данном случае, это один расчетный год, равный 8760 час.
Параметры T
0
j
и τ
oi
можно использовать для определения других показателей надежности подстанции. Так, вероятность безотказной работы подстанции вычисляется по формуле
Pj
= T
0
j
/
T
год ,
, здесь
j
= {Г, Т, А, Б, ВЛ, В}
(3)
Определив по заданной статистике значения Pj
,
,
рассчитаем функцию надежности системы в целом, которая, как показатель безотказности, соответствует вероятности ее безотказной работы.
Аналитический метод
Из большого числа применяющихся аналитических методов воспользуемся вероятностными, основанными на теоремах сложения и умножения для групп совместных и несовместных событий. В соответствии с этими теоремами, на первом этапе решения данной задачи определяются вероятности бесперебойного электроснабжения каждой из подстанций по вероятностям безотказной работы элементов, образующих последовательные цепочки связей подстанции с источником питания Г
. Допустим, что по результатам испытаний, или обработки статистики, получены эти вероятности.
По вероятностям безотказной работы элементов из исходных данных найдём вероятности работоспособного состояния Vj
для каждой из подстанций по формулам:
| V
|
=
|
РГ
|
=
|
0.95 .
|
=
|
0.898
|
| V
|
=
|
РГ
|
=
|
0.95 .
|
=
|
0.898
|
| V
|
=
|
РГ
|
=
|
0.95 .
|
=
|
0.800
|
Полученные результаты показывают, что вероятность работоспособного состояния для подстанции В
ниже, чем для А
или Б
, так как в цепочке связи от Г
к В
имеется дополнительный элемент - ВЛ
, - надежность которого отражается на состоянии подстанции В
. Подстанции А
и Б
находятся в одинаковых условиях , поэтому V
А
= V
Б
.
По полученным значениям V
А,
V
Б,
V
В
вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов - V
№1
и V
№2
. Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2.
|
||
Для данной схемы вероятность V
№1
определиться как:
V
№1
= РГ
.
РТ
.
(1-(1- РА
)(1- РБ
)) = 0.95 .
0.985 .
(1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934.
Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому
V
№2
= V
В
= 0.8.
Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий
Vsys
=
V
№1
.
V
№2
= 0.934 ··
0.8 = 0.7472.
Метод статистических испытаний
Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v
с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями V
А ,
V
Б,
V
В
. Сформулируем решающее правило
:
если значение случайного числа
v
не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций
v
≤
Vj
, , j
{ А, Б, В },
(4)
то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе – в обесточенном состоянии.
На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае – отрицательным. Вероятность безотказной работы системы Usys
в этом методе определяется по формуле:
Usys
=
N
+
/
N
= 1 -
N
-
/
N
, (5)
где N
– общее число испытаний, N
+
- число положительных, N
-
- число отрицательных испытаний, N
=
N
+
+ N
-
.
Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной bj
,
принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае:
если
v
≤
Vj
то
bj
= 1 иначе
bj
= 0.
Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует:
bsys
= (
bA
+
b
Б
)·
b
В
,
(6)
где bsys
–
состояние системы.
Тогда, после N
испытаний, значение N
+
можно определить как
N
+
В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N
= 10.
По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений bsys
= 0
равно трем, то есть
N
-
= 3,
N
+
= 7,
Usys
= 7/10 = 0.7.
Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна
= | Usys
-
Vsys
| = 0.7- 0.7472 = 0.0472.
(7)
Относительная погрешность
= ( / Vsys
) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%.
(8)
В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel – таблице, снова подсчитать число значений bsys
= 0
и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы)
N
-
= 3+2,
N
+
= 20 – 5 = 15,
Usys
= 15/20 = 0.75.
Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна
= | Usys
-
Vsys
| = 0.75 - 0.7472 = 0.0028.
Относительная погрешность
= (/ Vsys
) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%.
Дополнительные замечания о методе Монте-Карло
1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N
для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997
, что соответствует диапазону ± 3σ для нормального распределения, где σ = √D
- с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы
| δ' =
|
(9) |
где δ' –
заданная погрешность определения искомой величины.
Для получения более точного результата число испытаний согласно (9), должно быть равно
N
= (0.675·
σ / δ' )2
Допустим, мы хотим иметь погрешность на уровне 0.001 (0.1%),
т.е. быть уверенными что при решении данной задачи методом статистического моделирования значение Usys
будет находится в диапазоне
0.7472 .
( 1 ± 0.001) = [0.7464, 0.7479]
.
Исходя из правила «три сигма», зададим величину σ как крайний возможный случай:
σ = ( 1-
Vsys
) / 3 = (1-0.7472)/3 = 0.084
.
Тогда требуемое число испытаний будет равно
N
= (0.675·0.084/0.001) = 3215.
2. В приведенных выше расчетах принята упрощенная модель статистических испытаний с использованием расчетных вероятностей безотказной работы подстанций, а не отдельных элементов системы, с целью сокращения размерности задачи. Не учитывались также вероятности одновременного отказа нескольких элементов, что необходимо для получения правдоподобных результатов.
3. Датчик случайных чисел с равномерным распределением используется при отсутствии каких-либо сведений о фактическом законе распределе
Таблица 1
Анализ надежности методом Монте-Карло
| Блок |
ВБР |
V
|
b |
Блок |
ВБР |
V
|
b |
| А |
0,898
|
0,144601
|
1 |
А |
0,898
|
0,722673
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,338975
|
1 |
Б |
0,898
|
0,580761
|
1 |
| В |
0,8
|
0,285878
|
1 |
В |
0,8
|
0,862889
|
0 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
1 |
SYS=(А+Б)*В |
0 |
||||
| А |
0,898
|
0,284892
|
1 |
А |
0,898
|
0,531509
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,133744
|
1 |
Б |
0,898
|
0,157723
|
1 |
| В |
0,8
|
0,710715
|
1 |
В |
0,8
|
0,206039
|
1 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
1 |
SYS=(А+Б)*В |
1 |
||||
| А |
0,898
|
0,621382
|
1 |
А |
0,898
|
0,344317
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,803256
|
1 |
Б |
0,898
|
0,752622
|
1 |
| В |
0,8
|
0,99176
|
0 |
В |
0,8
|
0,714726
|
1 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
0 |
SYS=(А+Б)*В |
1 |
||||
| А |
0,898
|
0,189668
|
1 |
А |
0,898
|
0,043997
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,943037
|
1 |
Б |
0,898
|
0,305982
|
1 |
| В |
0,8
|
0,774708
|
1 |
В |
0,8
|
0,26292
|
1 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
1 |
SYS=(А+Б)*В |
1 |
||||
| А |
0,898
|
0,647489
|
1 |
А |
0,898
|
0,523631
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,196592
|
1 |
Б |
0,898
|
0,788625
|
1 |
| В |
0,8
|
0,937071
|
0 |
В |
0,8
|
0,295981
|
1 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
0 |
SYS=(А+Б)*В |
1 |
Фрагменты модифицированной таблицы:
| А |
0,898
|
0,126677
|
1 |
А |
0,898
|
0,906062
|
0 |
| Б |
0,898
|
0,305332
|
1 |
Б |
0,898
|
0,644128
|
1 |
| В |
0,8
|
0,878459
|
0 |
В |
0,8
|
0,196328
|
1 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
0 |
SYS=(А+Б)*В |
1 |
| А |
0,898
|
0,308921
|
1 |
А |
0,898
|
0,804801
|
1 |
| Б |
0,898
|
0,823393
|
1 |
Б |
0,898
|
0,967697
|
0 |
| В |
0,8
|
0,749413
|
1 |
В |
0,8
|
0,964051
|
0 |
| (А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
(А+Б) |
ИСТИНА
|
1 |
||
| SYS=(А+Б)*В |
1 |
SYS=(А+Б)*В |
0 |
Заключение
В курсовой работе был произведён расчёт показателей надежности простейшей системы электроснабжения двумя вероятностными методами: аналитическим и методом статистических испытаний. Абсолютная погрешность результата, полученного методом Монте-Карло по сравнению с аналитическим методом равна 0.0028. Относительная погрешность составила 0.4%. Также была проведена оценка количества испытаний.
Литература
1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов жд транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин.- М: УМК МПС России, 2000. - 512с.
2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем: учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984. – 256с.
3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «Электроснабжение железнодорожного транспорта». – Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000. -15с.
4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. – Иркутск: ИрИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990. -34с.
5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог. – Екатеринбург: УЭМИИТ, 1993. - 120 с.
6. Шаманов В.И. Надежность систем железнодорожной автоматики и телемеханики: учебное пособие. Иркутск: ИрИИТ, 1999. 223с.
7. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988. – 224с.
8. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972. - 224с.
9. Надежность систем энергетики. Терминология: сборник рекомендуемых терминов. - М.: Наука, 1964. -Вып. 95. – 44с.