Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§
I
. МЕТОД ЭЙЛЕРА

211. Предварительные замечания. В этой главе мы будем изучать линейные системы уравнений:

Или (1′)

Где коэффициенты akl
=(k, l=1,2,…,n) – постоянные вещественные числа, а fk
(x) (k=1,2,…,n) – функции от х, непрерывные в интервале (a,b).

Применяя общую теорию линейных систем уравнений, изложенную в предыдущей главе, мы покажем, что система
(1) всегда может быть проинтегрирована в конечном виде, т. е.
либо в элементар- ных функциях, либо в квадратурах.

Так как интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной си­стемы, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородной системы:

В силу теоремы о построении общего решения, для построения общего решения системы (2) достаточно построить хоть одну фундаментальную систему решений.

Применяя теорему о существовании фундаментальной системы решений, мы видим, что существует фунда­ментальная система решений, определенных и непрерывных в промежутке

Более того, согласно замечанию теоремы о существовании фундаментальной системы решений, существует фундаментальная система решений, голо­морфных в интервале .

Мы покажем, что фундаментальная система решений может
быть построена из
элементарных
функций, голоморфных
в интервале
.

212. Построение фундаментальной системы решений и об­щего решения однородной линейной системы в случае различ­
ных корней характеристического уравнения.
По аналогии с однородным линейным уравнением с постоянными коэффици­ентами будем искать частное решение системы (2) в виде

(3)

g1
, g2
, ..,gn
и l - некоторые постоянные числа, причем числа g1
, g2
, ..,gn
не равны нулю одновременно, ибо в про­тивном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фунда- ментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

Обратим особое внимание на то, что число l мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции (3) в систему (2), сокращая на е
l
x
и пере- нося все члены направо, получим для определения чи­сел gk
следующую систему:

(4)

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель си­стемы равен нулю, т. е. при условии

(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением
системы

(2), его корни— характеристическими числами,
а оп­ределитель D(l) -характеристическим определителем.

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа

l1
,l2
,...,ln
различны. В этом случае имеем: D(li
)=0, но Вследствие этого ранг матрицы

Составленной из коэффициентов системы

которая получается из системы (4) после замены в ней l на li
- равен n-1.

Действительно, вычисляя D’(l), имеем:

где Dll
(l) - алгебраическое дополнение элемента all
- l определителя D(l). Так как то из (8) видим, что хоть один из определи- телей (п
—1)-го порядка, именно один из Dll
(li
), отличен от нуля, так что ранг рассматриваемой матрицы ра­вен п
— 1.

Поэтому одно из уравнений системы (7) есть следствие осталь-ных и эта система имеет ненулевое решение, определен­ное с точ-ностью до произвольного множителя пропорциональ­ности Ai
:

gi1
= Ai
mi1
, gi2
= Ai
mi2
,…, gin
= Ai
min
(i
=1.2,…, n).
(9)

Например, в качестве gik
можно взять алгебраические до­полнения элементов любой строки определителя Dl
(li
), если не все они равны нулю. В самом деле, так как сумма произведе­ний элементов какой-либо строки определителя Dl
(li
) на алге­браические дополнения эле-ментов другой строки равна нулю, а сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения равна самому определителю D(li
) т. е. снова равна нулю, то ясно, что, заменив в системе (7) неизвестные gk
взя­тыми алгебраическими дополнениями, мы получим тождества.

Фиксируя в формулах (9) множитель Ai
, мы получим определен-ное решение системы (7).

Подставляя теперь в (3) вместо l последовательно характе­ристи-ческие числа li
,а вместо g1
, g2
,..., gn
— соответствующие им решения системы (7), определяемые формулами (9) при фиксированных множителях Ai
, получим п
решений:

Эти решения линейно независимы в интервале .

Если при этом все корни l1
, l2
,..., ln
вещественны, то все решения (10) тоже будут вещественными.

Таким образом, в случае различных вещественных корней
характеристического уравнения система
(2) имеет п веществен­
ных линейно независимых частных решений вида
(10), так что последние образуют
фундаментальную
систему решений.

Поэтому, в силу теоремы о построении общего решения,
формулы

Дают общее решение системы (2) в области

Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные,
то последние входят сопряженными парами. Пусть a
+
ib
и а
– ib
— простые корни характеристического уравнения. Корню a
+
ib
соответствует согласно формуле (3) решение

y1
=g1
e
(
a
+
ib
)
x
,
y2
=g2
e
(
a
+
ib
)
, … ,
yn
=gn
e
(
a
+
ib
)
.
(13)

здесь g1,g2, ...,gn
– комплексные числа. Полагая

g1
=g11
+i
g21
, g2
=g12
+i
g22
, … ,gn
=g1
n
+i
g2
n
,

Получаем решение

y1
=( g11
+i
g21
) e
(
a
+
ib
)
x
,
y2
=( g12
+i
g22
) e
(
a
+
ib
)
x
, … ,
yn
=( g1
n
+i
g2
n
) e
(
a
+
ib
)
x
.

Это решение комплексное. Отделяя в нем вещественные и мни­мые части, мы получим, согласно свойствам решений однородной системы,
два вещественных решения:

Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале . Нетрудно убедиться, что сопряженный корень а
—ib
не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Таким образом, если все характеристические числа
— раз­
личные и вещественные, то мы получаем соответствующие им
вещественные линейно независимые частные решения в виде
(10). Если же все характеристические числа
— различные, но
среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристиче­ских чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида
(15). Всего мы получим п вещественных частных
решений. Все эти решения линейно независимы в интервале
.

В самом деле, предположим обратное. Тогда, написав соответствующую систему соотношений между этими решениями и перейдя в ней от тригонометрических функций к 'показатель­ным, мы получили бы, что системы функций вида (10), где l1
,
l2
, … ,
ln
—различные числа, оказались бы линейно зависимы­ми.

Общее решение системы
(2) в области
(12) представляет собою линейные комбинации построенных п вещественных ли­
нейно независимых частных решений с произвольными посто­
янными коэффициентами.

Пример 1
. Найти общее решение системы:

Решая характеристическое уравнение

или l2
-10l+9=0;

находим: l1
=1, l2
=9, так что характеристические числа различные и ве­щественные.

Составляем систему для определения чисел g1
и g2
соответствующих характеристическому числу l1
= 1. Матрица коэффициентов этой системы получается из матрицы

5-l 4

4 5-l заменой l на l1
=1, так что искомая система будет иметь вид

Здесь, как и следовало ожидать, второе уравнение является следствием первого (оно даже совпадает с первым уравнением) и его можно было и не выписывать. Полагая , находим g1
=1, находим g2
= −1

Таким образом, характеристическому числу Х1
=1 соответствует реше­ние:

y
1
= ех
,
z
1
= −
ex
.
(20)

Аналогично, решая систему, соответствующую характеристическому числу l2
=9:

(21)

находим: g1
=1, g2
=1 так что этому характеристическому числу соот-ветствует решение:

y2
=e
9
x
, z
2
=
e
9
x
(22)

Мы получили фундаментальную систему решений:

(23)

Беря линейную комбинацию, получаем общее решение:

Пример 2
. Рассмотрим систему:

Характеристическое уравнение

Имеет комплексные сопряженные корни λ1
= 2 + i, λ2
= 2 – i. Найдем решение, соответствующее λ1.
Это решение имеет вид y = γ1
e(2+
i
)
x
,

z = γ2
e(2+
i
)
x
. Числа γ1
и γ2
ищем из системы

Полагая γ1
=1, находим γ2
= - i, так что искомым решением будет

Это решение комплексное. Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения

Эти решения составляют фундаментальную систему решений, так что общим решением будет

Пример 3
. Найти общее решение системы:

Характеристическое уравнение

Имеет различные и притом вещественные корни λ1
= 2, λ2
= 3, λ3
=6, так что фундаментальная система решений имеет вид (10). Найдем сначала частное решение вида

Соответствующее характеристическому числу λ1
= 2. В качестве чисел γ11,
γ22,
… , γ1
n
можно взять алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

который получается из характеристического определителя Δ (λ) заменой λ на λ1
=2. Получаем

или (деля на 2)

Подставляя эти значения γ1
k
в (33), получим

Аналогично найдем, что в качестве чисел γ2
k
, γ3
k
, соответствующих характеристическим числам λ2
= 3, λ3
=6, можно взять γ21
= 1, γ22
= 1, γ23
= 1, γ31
= 1, γ32
= -2, γ33
= 1. Фундаментальной системой решений будет

Так что общее решение имеет следующий вид

Случай наличия кратных корней характеристического
уравнения.

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то изложенный выше способ построе­ния фундаментальной системы решений, очевидно, не приме­ним.

Однако и в этом случае удается построить фундаменталь­ную систему решений в элементарных функциях.

Заметим, прежде всего, что если l1
есть простое характе­ристическое число, то независимо от того, будут среди осталь­ных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

y
1
=
g
1
e
l
1
x
, y
2
=
g
2
e
l
1
x
, … , yn
=
g
n
e
l
1
x
(38)

где g1
, g2
, … ,gn
— некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти част­ные решения, соответствующие кратному корню.

При этом, так же как и для линейного однородного урав­нения n-го порядка, оказывается, что одному характеристичес­кому числу кратности k
соответствует k
линейно независимых частных решений.

Теорема
. Если
l
1
есть характеристическое число крат­
ности
k
, то ему соответствует решение вида

y1
=P1
(x) e
l
1
x
, y2
=P2
(x) e
l
1
x
, … , yn
=Pn
(x) e
l
1
x
(39)

где
P
1
(
x
),
P
2
(
x
), … ,
Pn
(
x
)
суть полиномы от х степени не вы­
ше чем
k
−1
, имеющие в совокупности
k
произвольных коэф­фициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих поли­
номов
k
коэффициентов являются произвольными, а все осталь­
ные выражаются через них.

В частности может случиться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному харак­теристическому числу l1
будет соответствовать решение вида

y
1
=
g
1
e
l
1
x
, y
2
=
g
2
e
l
1
x
, … , yn
=
g
n
e
l
1
x
(40)

Однако здесь k из коэффициентов g
1
,
g
2
, … ,
g
n
являются про­извольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным является только один из них.

Практически при нахождении решения, соответствующего характеристическому числу l
1
нужно искать решение в виде (39), считая P
1
(х), Р2
(х),
..., Рп
(х)
полиномами (k−1)-й сте­пени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (39) в (2), выразить все коэффициенты через k из них, которые оста­ются произвольными.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффици­ентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k линейно независимых решений, соответствующих характеристическому числу l
1
.
Все эти частные решения будут состав­лены из произведений показательной функции e
l
1
x
на полино­мы от х,
степени которых не превышают k
−1.
Если же поли­номы в формулах (39) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k


линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

Если l
1
— вещественное характеристическое число, то по­строенные выше k
линейно независимых решений будут веще­ственными.

Если же система

(2) имеет комплексное характеристическое число a
+
ib
кратности k
,
то оно имеет сопряженное характери­стическое число а
—ib
той же кратности.

Построив k
линейно .независимых комплексных решений, со­ответствующих характеристическому числу a
+
ib
,
и отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k, веществен­ных линейно независимых частных решений.

В общем случае каждому простому вещественному характе­
ристическому числу соответствует одночастное решение, каждой
паре простых сопряженных комплексных характеристических
чисел соответствует два вещественных линейно независимых решения, вещественному характеристическому числу кратности
k
соответствует
k
вещественных линейно независимых частных
решений, а каждой паре сопряженных комплексных характе­
ристических чисел кратности
k
соответствует 2
k
вещественных
линейно независимых частных решений. Всего получается п
вещественных решений. Все эти решения линейно независимы
в интервале(-∞,+∞
), так что они образуют фундаменталь­
ную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой
фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же
произвольными постоянными
С1
, С2
,
..., Сп
, мы получим общее решение системы
(2) в области
(12).

Заметим, однако, что мы не можем ,на основании указанной теоремы выяснить до конца структуру фундаментальной систе­мы решений до тех пор, тюка не построим ее фактически.

Мы выясним эту структуру в следующей главе, где будет дан другой способ построения фундаментальной системы, при­чем в отличие от настоящего пункта там строится сразу вся фундаментальная система.

Указанный выше вид фундаментальной системы решений дает возможность сделать некоторые заключения об устойчи­вости нулевого решения однородной системы (2)* .

Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле
Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с
постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему:

где akl
— постоянные . вещественные числа, а х1
,
x
2
,
..., xn
— неиз­вестные функции от времени t
.

Теорема. Если все характеристические числа системы
(41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение

x
1
≡ 0, х2
≡ 0,
...,
хп

5≡ 0 (42)

асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при
t→+∞ причем начальные возмущения можно брать любыми.

Это утверждение непосредственно следует из вида фунда­ментальной системы решений и соответствующего ей общего ре­шения системы(41), установленного для общего случая харак­теристических чисел этой системы ранее.

Теорема о неустойчивости нулевого решения однород­ной линейной системы с постоянными коэффициентами.
Если
хоть одно из характеристических чисел системы
(41) положи­тельно или имеет положительную вещественную часть, то нуле­вое решение
(42) неустойчиво в смысле Ляпунова при
t
→+∞.

Приведение однородной линейной системы к системе
с постоянными коэффициентами при помощи замены незави­
симой переменной
. Рассмотрим систему:

Введем вместо х
новую независимую переменную t
по фор­муле

t
=
y(
x
).
(44)

Тогда получим систему:

(k=1, 2, … , n
). (45)

Предположим, что коэффициенты этой системы постоянны, т. е.

Тогда pkl
(х)
имеют вид

pkl
(x)=akl
ψ΄(x), (47)

т. е. рк1
(х)
представляют собой произведения постоянных чи­сел на одну и ту же функцию от х.

Обратно, если коэффициенты pkl
(
x
)
обладают этим свой­ством, т. е. если

pkl
(x)=akl
φ(x), (48)

то, положив

t=ψ(x)=∫φ(x)d
x, (49)

мы получим систему с постоянными коэффициентами akl
.

Пример 1
. Пусть дана система:

Здесь условие (48) выполнено, причем φ(x)=1/x

Поэтому подстановка

t=∫φ(x
)dx
=∫1/
xdx
=
ln
x
(
x
>0)
(51)

или

x
= e
t
(52)

приводит данную систему к системе с постоянными коэффициентами:

Интегрируя эту систему, получаем:

(54)

Поэтому общим решением системы (50) будет:

(55)

Отсюда видно, что решения системы (50) могут иметь особенность только в точке х=0,
которая является единственной особой точкой этой си­стемы. (В точке х=0
не выполнены условия теоремы существования). Наря­ду с такими решениями существует целое семейство решений y
1
=
Cx
2
,
y
2
=
Cx
2
,
y
3
=
Cx
2
голоморфных в окрестности особой точки х = 0.
Заме­тим, однако, что среди них (и вообще) нет решений, в которых функции у1
,
y
2
и
y
3
стремились бы к пределам, не равным одновременно нулю, когда х
стремится к особой точке х = 0.

Интегрирование неоднородной линейной системы с по­
стоянными коэффициентами методом вариации произвольных
постоянных.
Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами

Так как соответствующая однородная система всегда инте­грируется в элементарных функциях, то, применяя метод ва­риации произвольных постоянных, мы всегда можем получить
общее решение неоднородной системы
(56), по крайней мере, в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях.

Замечание. Если в системе (56) функции fk
(
x
)
представ­ляют собою произведения показательной функции (с вещест­венным или комплексным показателем) на полином от х,
то для построения общего решения этой системы можно вместо применения метода вариации произвольных постоянных найти частное решение методом неопределенных коэффициентов и прибавить его к общему решению соответствующей однородной системы. Тогда мы получим общее решение системы (56).

Интегрирование линейной системы
с постоянными ко­эффициентами при помощи приведения
ее к уравнению п-го

порядка
(метод
исключения).

Применим к системе

общий способ приведения нормальной системы n уравнении к одному уравнению n-го порядка.
Тогда мы получим либо одно линейное уравнение м-го порядка с по­стоянными коэффициентами, либо несколько таких уравне­ний более низких порядков, причем сумма порядков всегда равна п.
Найдя общее решение каждого из этих уравнений, мы получим общее решение системы (1) уже без дальнейших квадратур.

Пример
. Найти общее решение системы:

y
΄1
=
y
2
+
y
3
,

y΄
2
=
y
1
+
y
3
,
(2)

y΄
3
=
y
1
+
y
2
.

Дифференцируя первое уравнение и, пользуясь вторым и третьим, по­лучаем:

y
˝1
=2
y
1
+
y
2
+
y
3
.
(3)

Но y
2
+ у3
= у΄1
.
Поэтому

y
˝1
−
y΄
1
−2
y
1
=0;
(4)

Исключим у3
.
Из первого уравнения системы (2) имеем:

y
3
=
y΄
1
−
y
2
.
(5)

Подставляя во второе уравнение, получаем

y΄
2
=
y΄
1
−
y
2
+
y
1

(6)

или

y΄
2
+
y
2
=
y΄
1
+
y
1

(7)

Таким образом система (2) приводится к двум линейным уравнениям (4) и (7) с неизвестными функциями у1

и у2

второго и первого порядка. Интегрируя уравнение (4), находим:

y
1
=
C
1
e
−
x
+
C
2
e
2
x
(8)

Подставляя это значение у1

в (7), получаем:

y΄
2
+
y
2
=−
C
1
e
−
x
+2
C
2
e
2
x
+
C
1
e
−
x
+
C
2
e
2
x
,
(9)

или

y΄
2
+
y
2
=3
C
2
e
2
x

(10)

откуда

y
2
=
C
3
e
−
x
+
c
2
e
2
x
(11)

Теперь находим у3
:

y
3
=
y΄
1
−
y
2
=−
C
1
e
−
x
+3
C
2
e
2
x
−
C
3
e
−
x
−
C
2
e
2
x
.
(12)

Общее решение системы (2) имеет вид:

Метод Даламбера.
Знание k
(
k
<
n
)
независимых первых интегралов нормальной системы п-го
порядка дает возможность понизить порядок этой системы на k
единиц. Если же мы знаем п
независимых первых инте­гралов, то мы имеем общий интеграл.

Для линейной системы с по­стоянными коэффициентами Даламбер указал общий метод .нахождения первых интегралов.

Рассмотрим этот метод в случае линейной системы двух уравнений:

Умножим второе уравнение на некоторое число k
и сложим почленно с первым. Получим:

Или

Выберем k
так, чтобы

(17)

Или

a
12
+
ka
22
=
k
(
a
11
+
ka
21
).
(18)

тогда уравнение (16) можно переписать в виде

Это линейное уравнение первого порядка с искомой функцией y
+
kz
.
Интегрируя его, найдем:

y
+
kz
=
e
(
a11
+
ka
21
)
x
{
C
+∫[
f
1
(
x
)+
kf
2
(
x
)]
e
−(
a
11
+
ka
21
)
x
dx
}.
(20)

если корни уравнения (18)различные и вещественные, то, обозначив их через k
1
,
k
2
,
будем иметь два первых интеграла в неявной форме:

Разрешая систему (21) относительно С1

и С2
, найдем общий интеграл системы (14), а разрешая относительно y

и z
,
найдем общее решение этой системы.

Если корни уравнения (18) кратные: k
1
=
k
2
,
то формула (20) дает только один первый интеграл:

y+k1
z=e(a
11
+k
1
a
21
)x
{C+∫[f1
(x)+k1
f2
(x)]e−(a
11
+k
1
a
21
)x
dx}.
(22)

Подставляя значение г/, найденное отсюда, во второе уравнение системы (14), получим одно линейное уравнение первого по­рядка с неизвестной функцией z
.

Пример
1. Найти общее решение системы:

Составляем уравнение для k
:

4+5
k
=
k
(5+4
k
).
(24)

Отсюда k
1,2
=±1.
поэтому первыми интегралами будут:

Решая систему (25) относительно y
и z
,
получим общее решение системы (23).

Пример
2. Найти общее решение системы:

Здесь мы имеем:

4 — 2
k
=
k
{2
—
k
),
k
2
—
k
+ 4 = 0. (27)

Это уравнение имеет двукратный корень k
1,2
=2. Поэтому метод Даламбера дает возможность найти только один первый интеграл.

Умножая второе из уравнений (26) на 2 и складывая почленно с первым, получаем

Отсюда находим первый интеграл системы (26)

Используя этот первый интеграл, мы можем переписать второе из уравнений (26) в виде

Отсюда

Поэтому

Общее решение системы (26) имеет следующий вид

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Метод исключения.
Используя общий метод сведения любой кано-нической системы к уравнению более высокого порядка, мы, вообще говоря, всегда можем свести линейную систему, содержащую произ-водные выше первого порядка, к одному линейному уравнению более высокого порядка. Найдя решение этого уравнения, мы получим решение заданной си­стемы уже без дальнейших квадратур.

Пример.
Проинтегрировать систему :

Эта система приводится к одному уравнению четвертого порядка:

y
(4)
−
k
4
y
=0
(2)

Отсюда:

y
=
C
1
ekx
+
C
2
e
−
kx
+
C
3
coskx
+
C
4
sinkx
(3)

Поэтому: ввв

Метод Даламбера.

Метод Даламбера, изложенный ранее,
распространяется и на линейные системы уравнений, со­держащие производные выше первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений:

Умножая второе уравнение на k
,
складывая почленно с первым уравнением и выбирая k
из условия:

a12
+ka22
=k(a11
+ka21
)
(6)

получаем:

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно y
+
kz
.
Интегрируя его, найдем:

y
+
kz
=
φ
(
x
,
C
1
,
C
2
, … ,
Cn
).
(8)

если корни уравнения (6) различные относительно y
и z
, получим общее решение системы (5).

Укажем, в заключение, что линейная система с постоянны­ми коэффициентами так же, как и линейное уравнение с по­стоянными коэффициентами, может быть проинтегрирована операторным методом.