Решение систем линейных алгебраических уравнений для больших разреженных матриц

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГO

ОБРАЗОВАНИЯ

“ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

В.А.Еремеев

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ БОЛЬШИХ РАЗРЕЖЕННЫХ МАТРИЦ

(учебно-методическое пособие)

Ростов-на-Дону

2008

В.А.Еремеев. Решение систем линейных алгебраических уравнений для больших разреженных матриц: Учебно-методическое пособие. – г.Ростов-на-Дону, 2008 г. – 39 с.

В данном пособии в концентрированном виде содержится информация о решении систем линейных алгебраических уравнений для разреженных матриц большой размерности. Пособие состоит из четырех основных модулей:

1. задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона;

2. векторные и матричные нормы;

3. итерационные методы;

4. методы подпространств Крылова.

Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы “Математическое моделирование и компьютерная механика”.

Пособие также предназначено для студентов и аспирантов факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области математического моделирования, вычислительной математики и механики твердого деформируемого тела.

Пособие подготовлено в рамках гранта ЮФУ K-07-T-41.

Содержание

1 Задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона 4

1.1 Решение уравнения −x
00
= f
(t
) . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Решение уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Векторные и матричные нормы 11

2.1 Векторные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Матричные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Связь векторных и матричных норм . . . . . . . . . . . 15

3 Итерационные методы 19

3.1 Определения и условия сходимости итерационных методов 19

3.2 Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Метод Гаусса-Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Метод последовательной верхней релаксации (SOR) . . . 26

3.6 Метод симметричной последовательной верхней релак-

сации (SSOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Методы подпространств Крылова 30

4.1 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Степенная последовательность и подпространства Кры-

лова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Итерационные методы подпространств Крылова . . . . . 33

Заключение 38

Литература 38

Дополнительная литература 39

1 Задачи линейной алгебры с разреженными матрицами на примере дискретизации уравнения Пуассона

Основным источником задач линейной алгебры для матриц большой размерности являются задачи, получаемые в результате дискретизации краевых задач математической физики. Далее рассмотрим два примера, иллюстрирующих особенности получаемых матричных задач.

1.1 Решение уравнения −x
00
= f
(t
)

Рассмотрим простейшую краевую задачу

−x
00
= f
(t
), x
(0) = x
(1) = 0.

Для дискретизации этой краевой задачи воспользуемся методом конечных разностей. Введем равномерную сетку на единичном отрезке

ti
= hi, i
= 0,...n
+ 1, h
= 1/
(n
+ 1)

так, чтобы t
0
= 0, tn
+1
= 1. Используем обозначения

xi
= x
(ti
), fi
= f
(ti
).

Для дискретизации второй производной воспользуемся центральной конечной разностью

,

которая аппроксимирует x
00
(ti
) c точностью O
(h
2
). Тогда исходная краевая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно

−xi
−1
+ 2xi
− xi
+1
= h
2
fi
(i
= 1,...,n
)

или c учетом краевых условий x
0
= xn
+1
= 0

2x
1
− x
2
= = h
2
f
1
,

−x
1
+ 2x
2
− x
3
= h
2
f
2
,

,

.

Эту СЛАУ можно записать также в матричном виде

A
x = b,

где

 2  −1   A =  0  

−1 0 2 −1 −1 2

... ... ... ...

0 0 0

 0 0  0 ,  

0 0 0 ...
−1 2

  x 1  x 2    x 3 , x =   ...  xn

  b 1  b 2    b 3  b =   ...   b n

Обратим внимание на следующие свойства матрицы A
.

• A
– разреженная матрица, она трехдиагональная;

• A
– симметричная и, более того, положительно определенная. Это свойство она унаследовала от свойств оператора исходной краевой задачи;

• Структура A
достаточно простая, ее элементы вычисляются по простым формулам. Следовательно, для ее хранения в памяти компьютера нет необходимости использовать типы данных, предназначенные для хранения заполненных матриц.

Обсудим размерность полученной СЛАУ. Предположим, что требуемая точность аппроксимации равна ²
= 10−6
. Поскольку ²
∼ h
2
, то

−3
, т.к. h
∼ √²
. Т.е. требуемый шаг сетки нужно выбрать порядка 10 мы имеем матрицу размерности 103
× 103
. На практике, размерность должна быть выше, чтобы удовлетворить большей точности.

0 1

Рис. 1: Конечно-разностная сетка. Естественная нумерация узлов.

1.2 Решение уравнения Пуассона Рассмотрим более сложную краевую задачу

−∆u
(x,y
) = f
(x,y
), u
|Γ
= 0,

где u
= u
(x,y
) – неизвестная функция, f
(x,y
) – известная, заданные на единичном квадрате (x,y
) ∈ Ω = [0,
1]×[0,
1]}, Γ = ∂
Ω – граница Ω. Введем на Ω равномерную сетку, так что координаты узлов даются формулами xi
= hi, yi
= hi, i
= 0,...N
+ 1, h
= 1/
(N
+ 1).

Используем обозначения

u
i,j
= u
(x
i
,y
j
), f
i,j
= f
(x
i
,y
j
).

Для дискретизации вторых производных в операторе Лапласа ∆ воспользуемся формулами для центральной конечной разности

,

Таким образом, исходная краевая задача сводится к СЛАУ

−u
i
−1,j
+ 4u
i,j
− u
i
+1,j
− u
i,j
−1 − u
i,j
+1 = h
2f
i,j
(1) относительно ui,j
. Для того, чтобы свести ее к стандартному виду A
x = b, необходимо преобразовать ui,j
к выражению с одним индексом, т.е. перенумеровать каким-то образом. Выбор нумерации влияет, вообще говоря, на структуру матрицы A
.

Рассмотрим случай N
= 3.
Соответствующая сетка показана на рис. 1, где использована естественная нумерация внутренних узлов. Полые кружки соответствуют граничным узлам, в которых известно значение функции, а сплошные – внутренним.

Если преобразовать конечно-разностное уравнение (1) в матричное уравнение A
x = b, вводя вектор неизвестных по правилу u
1,
1 = x
1, u
1,
2 = x
2, u
1,
3 = x
3, u
2,
1 = x
4,..., u
3,
3 = x
9,

то матрица A принимает вид
			−1 0 0 4 −1 0 −1 0 0	0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0	0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1	0 0 0 −1 0 0 4 −1 0	0 0 0 0 −1 0 0 4 −1	 0 0  0  0   0   −1   0   −1  4
4  −1   0   −1   A =  0   0   0   0 0	−1 4 −1 0 −1 0 0 0 0	0 −1 4 0 0 −1 0 0 0

Видно, что A
является симметричной ленточной разреженной матрицей с диагональным преобладанием.

В результате нужно отметить, что в целом, матрица A
обладает теми же свойствами, что и в случае одномерной, задачи, хотя ее структура может не быть ленточной, что зависит от способа нумерации узлов сетки

Обсудим размерность полученной СЛАУ. Предположим как и ранее, что требуемая точность аппроксимации равна ²
= 10−6
. Поскольку ²
∼ h
2
, то требуемый шаг сетки нужно выбрать порядка 10−3
, т.к.

√ 3
× 103
= 106
. Таh
∼ ²
. Число узлов здесь оказывается равным 10 кому же числу равно число неизвестных n
. Таким образом, мы имеем матрицу размерности 106
× 106
.

Нетрудно догадаться, что если рассмотреть, не квадрат, а куб, то число неизвестных будет примерно равно n
= 109
. В расчетной практике встречаются задачи, где нужно определять не одну функцию, а несколько. Например, в гидродинамике при учете теплопереноса имеем четыре скалярных неизвестных (три компоненты поля скорости и поле температуры). Если рассматривать конечно-разностную аппроксимацию этой задачи с точностью ²
= 10−6
, то получим размерность n
= 4 · 109
.

Рассмотренные выше два примера показывают характерные источники задач линейной алгебры, приводящие к СЛАУ с большими разреженными матрицами. Естественно, что при решении таких СЛАУ необходимо развивать специальные методы вычислительной алгебры.

Рассмотрим другую нумерацию узлов, показанную на рис. 2. Здесь использовано так называемое красно-черное разбиение (или чернобелое). Вначале нумеруются узлы, сумма индексов которых – четное число, а потом узлы, сумма индексов которых дает нечетное число. Таким образом, вектор переменных вводится по правилу вектор неизвестных по правилу

u
1,
1 = x
1, u
1,
3 = x
2, u
2,
2 = x
3, u
3,
1 = x
4, u
3,
3 = x
5

– это красные неизвестные, а

u
1,
2 = x
6, u
2,
1 = x
7, u
2,
3 = x
8, u
3,
2 = x
9

– черные неизвестные.

0 1

Рис. 2: Конечно-разностная сетка. Красно-черное разбиение.

Соответствующая красно-черному разбиению матрица дается формулой

 4 0 0 0  0 4 0 0   0 0 4 0   0 0 0 4   A =  0 0 0 0   −1 −1 −1 0   −1 0 −1 −1   0 −1 −1 0	0 0 0 0 4 0 0 −1	 −1 −1 0 0 −1 0 −1 0   −1 −1 −1 −1   0 −1 0 −1    0 0 −1 −1   4 0 0 0   0 4 0 0   0 0 4 0  0 0 0 4
0 0 −1 −1 −1

Видно, что A
является симметричной блочной (состоящей из четырех блоков) разреженной матрицей с диагональным преобладанием.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 1

1. Если исходная краевая задача порождает самосопряженный оператор, то какого вида матрицу следует ожидать после дискретизации? (выберите один из ответов)

(a) диагональную;

(b) верхнюю треугольную;

(c) трехдиагональную; (d) симметричную.

2. Зависит ли структура матрицы от способа нумерации узлов (выберите один из ответов)

(a) зависит;

(b) не зависит;

(c) не зависит, если оператор краевой задачи самосопряженный; (d) не зависит, если матрица ленточная.

3. Выберите из списка все разреженные матрицы

(a) диагональная;

(b) ленточная;

(c) нижняя треугольная; (d) теплицева.

4. При аппроксимации конечными разностями второго порядка двумерного уравнения Лапласа потребовалась точность 10−10
. Каков порядок матрицы соответствующей СЛАУ получится, т.е. размерность n
? (выберите один из ответов)

(a) 10−10
;

(b) 1010
;

(c) 105
;

(d) 10100
.

2 Векторные и матричные нормы

Напомним некоторые основные определения и утверждения из линейной алгебры. В данном пособии мы будем иметь дело с квадратными вещественными матрицами размерности n
× n
.

2.1 Векторные нормы

Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем F (R или C). Функция k · k: V → R является векторной нормой, если для всех x, y ∈ V выполняются следующие условия:

(1) kxk ≥ 0 (неотрицательность);

(1a) kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительность);

(2) kc
xk = |c
|kxk для всех чисел c
∈ F (абсолютная однородность);

(3) kx + y| ≤ kxk + kyk (неравенство треугольника).

Это привычные свойства евклидовой длины на плоскости. Евклидова длина обладает и другими свойствами, независимыми от приведенных аксиом (например, выполнено тождество параллелограмма). Подобные дополнительные свойства оказываются несущественными для общей теории норм и поэтому не причисляются к аксиомам.

Функцию, для которой выполнены аксиомы (1), (2) и (3), но не обязательно (1а), называют векторной полунормой. Это более общее понятие, чем норма. Некоторые векторы, отличные от нулевого, могут иметь нулевую длину в смысле полунормы.

Определение 2. Пусть V – векторное пространство над полем F (R или C). Функция (x,
y): Vx
V → F является скалярным произведением, если для всех x, y, z ∈ V следующие условия:

(1) (x,
x) ≥ 0 (неотрицательность);

(1a) (x,
x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0
(положительность);

(2) (x + y,
z) = (x,
z) + (y,
z) (аддитивность); (3) (c
x,
y) = c
(x,
y) для всех чисел c
∈ F (однородность);

(4) (x,
y) = (y,
x) для любых x,
y (эрмитовость).

Примеры векторных норм. В конечномерном анализе используются так называемые `p
-нормы

.

Наиболее распространенными являются следующие три нормы

;

(евклидова норма);

Естественно, что существует бесконечно много норм. Например, нормой также является выражение max{kxk1
+ kx||2
} или такое

kxkT
= kT
xk,

где T
– произвольная невырожденная матрица.

Имеет место теорема, с теоретической точки зрения показывающая достаточность только одной нормы

Теорема 1. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, т.е. для любых двух норм k · kα
, k · kβ
и для любого x выполняется неравенство

kxkα
≥ C
(α,β,n
)kxkβ

где C
(α,β,n
) – некоторая постоянная, зависящая от вида норм и от размерности матрицы n
.

Для норм k · k1
, k · k2
, k · k∞
константа C
(α,β,n
) определяется таблицей

α β	1	2 √	∞
1	1	n	n √
2	1	1	n
∞	1	1	1

Проверим выполнение некоторых из неравенств.

Очевидно, что kxk1
≤ n
kxk∞
. Это следует из неравенства

,

которое получается, если в kxk1
заменить компоненты на максимальное значение. Неравенство достигается, если xi
= xm
ax
, т.е. все компоненты равны друг другу. Тем самым это неравенство является точным, поскольку иногда становится равенством.

Проверку остальных неравенств оставляем читателю (см. также

[10]).

Несмотря на теоретическую эквивалентность норм, с практической точки зрения норма вектора большой размерности n
может отличаться от другой нормы того же вектора в n
раз. Поэтому выбор нормы при больших n
имеет значение с практической точки зрения.

Геометрические свойства норм k·k1
, k·k2
, k·k∞
могут быть прояснены в случае R2
. Графики уравнений kxk1
= 1, kxk2
= 1, kxk∞
= 1 показаны на рис. 3. .

2.2 Матричные нормы

Обозначим пространство квадратных матриц порядка n
через Mn
.

Определение 3. Функция k·k, действующая из Mn
в Rn
, называется матричной нормой, если выполнены следующие свойства

Рис. 3: Графики уравнений kxk1
=1, kxk2
=1, kxk∞
=1.

1. kA
k ≥ 0, kA
k = 0 ⇔ A
= 0;

2. kλ
A
k = |λ
|kA
k;

3. kA
+ B
k ≤ kA
k + kB
k (неравенство треугольника);

4. kAB
k ≤ kA
kkB
k (кольцевое свойство).

Если последнее свойство не выполнено, то такую норму будем называть обобщенной матричной нормой.

Приведем примеры наиболее распространенных матричных норм.

1. – максимальная столбцовая норма;

2. – максимальная строчная норма;

3. kA
kM
= n
max |aij
|;

i,j
=1..n

4. kA
k2
= max νi
– спектральная норма. Здесь νi
– сингулярные i
=1..n

числа матрицы A
, т.е. νi
2
– собственные числа матрицы AA
T
;

5. – евклидова норма;

6. норма.

Как и в случае векторных норм, все матричные нормы эквивалентны. Использование различных норм связано с удобством использования, а также с тем фактом, что матриц большой размерности значения нормы могут отличаться весьма значительно.

2.3 Связь векторных и матричных норм

Выше были даны примеры векторных и матричных норм, введенные независимо друг от друга. Вместе с тем, эти два понятия могут быть связаны при помощи двух понятий.

Определение 4. Матричная норма k · k называется согласованной с векторной нормой k · k, если для любой A
∈ Mn
и любого x ∈ V выполняется неравенство

kA
xk ≤ kA
kkxk.

Заметим, что в этом неравенстве знак нормы относится к разным нормам – векторным и матричной.

Определение 5. Матричная норма называется подчиненной (операторной, индуцированной) соответствующей векторной норме, если она определена равенством

kA
k = max kA
xk.

kxk=1

Понятие операторной матричной нормы является более сильным, чем подчиненной:

Теорема 2. Операторная норма является подчиненной соответствующей матричной норме.

Доказательство. Действительно, из определения следует,

kA
xk ≤ kA
kkxk.

Следствие 2.3.1. Операторная норма единичной матрицы равна единице:

kE
k = 1.
Доказательство. Действительно, kE
k = max kE
xk = 1.
kxk=1

Существует ряд утверждений, связывающих введенные матричные и векторные нормы.

1. Матричная норма k · k1
являются операторной нормой, соответствующей векторной норме k · k1
.

2. Матричная норма k · k∞
являются операторной нормой, соответствующей векторной норме k · k∞
.

3. Спектральная матричная норма k·k2
являются операторной нормой, соответствующей евклидовой векторной норме k · k2
.

4. Матричные нормы k·kE
, k·kM
, k·k`
1
не являются операторными.

5. Матричная норма k · k2
согласована с векторной нормой k · k2
.

6. Матричная норма k·kM
согласована с векторными нормами k·k1
, k · k∞
, k · k2
.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 2

1. Вычислите нормы k · k1
, k · k∞
, k · kM
, k · k`
1
матриц

(a) 

...
0 0

...
0 0 


A
...
0 0 
;

.. 

0 0 0−1 2

(b) 

41 0 1 0 0 0 0 0


 −1 4 −1 0 1 0 0 0 0 



 01 4 0 01 0 0 0 



 −1 0 0 4 1 0 −1 0 0 


 A
=  01 01 0 −1 0 ;

  0 01 0 1 4 0 0 −1 

  0 0 0 1 0 0 4 0 0 



 0 0 0 0 1 0 −1 4 −1  0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

(c) 

4 0 0 0 0 −1 −1 0 0


 0 4 0 0 0 −1 0 −1 0 



 0 0 4 0 0 −1 −1 −1 −1 



 0 0 0 4 0 0 −1 0 −1 


 A
=  0 0 0 0 4 0 0 −1 −1 .

  −1 −11 0 0 4 0 0 0 

  −1 01 0 0 4 0 0 



 0 −11 0 1 0 0 4 0 

0 01 0 0 0 4

2. Если матричная норма является согласованной, то можно ли построить соответствующую ей векторную норму, чтобы она стала операторной? (выберите один из ответов)

(a) нельзя;

(b) можно;

(c) можно, если матрица симметрична; (d) можно для евклидовой нормы.

3. Если матричная норма k · k является операторной, то (выберите правильные ответы)

(a) она согласована;

(b) положительна;

(c) kE
k = 1;

(d) kE
k = n
.

4. Операторная норма единичной матрицы равна (выберите один из ответов)

(a) чему угодно;

(b) единице; (c) n
;

(d) n
2
.

5. Согласованная норма единичной матрицы равна (выберите один из ответов)

(a) чему угодно;

(b) единице; (c) n
;

(d) n
2
.

3 Итерационные методы

3.1 Определения и условия сходимости итерационных методов

Различают прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые методы получают решение за конечное число шагов, причем, если предположить, что это решение может быть получено в точной арифметике (когда нет ошибок округления), то это решение является точным. Итерационные методы, вообще говоря, всегда дают приближенное решение, для получения точного решения необходимо бесконечное число шагов. Интерес к итерационным методам связан как раз с решением СЛАУ с матрицами большой размерности. Прямые методы для таких матриц не дают требуемой точности. В случае разреженных матриц большой размерности итерационные методы дают заметный выигрыш в точности, быстродействии и экономии памяти.

Определение 6. Итерационный метод дается последовательностью

x(k
+1) = G
k
x(k
) + gk

или

³ ´

x(k
+1) = x(k
) + Q
−k
1 b − A
x(k
) .

G
k
называется матрицей перехода, а Q
k
– матрицей расщепления, x(0)
предполагается известным начальным приближением.

Определение 7. Метод называется стационарным, если матрица перехода G
k
(матрица расщепления Q
k
) и не зависят от номера итерации k
.

Далее ограничимся рассмотрением стационарных итерационных методов

x(k
+1) = G
x(k
) + g,
G
= E
− Q
−1A
,
g = Q
−1b.
(2)

В результате выполнения итерационного метода по начальному приближению строится последовательность

x(0),
x(1),
x

Рассмотрим погрешность k
-й итерации. Пусть x(∞)
– точное решение исходной задачи, т.е.

A
x(∞) = b.

С другой стороны, x(∞)
должно удовлетворять уравнению

x

(∞) = G
x(∞) + g.

Тогда погрешность k
-й итерации дается формулой εk
= x(k
)
−x(∞)
.

Установим для εk
итерационую формулу. Имеем соотношения

x(1) = G
x(0) + g,
x(2) = G
x(1) + g,
x(3) = G
x(2) + g,

x G
x(k
)
+ g,

...

Вычтем из них уравнение x(∞)
= G
x(∞)
+ g.
Получим

ε(1)	=	G ε(0),
ε(2)	=	G ε(1),
ε(3)	=	G ε(2),

,

...

Выражая все через погрешность начального приближения ε(0)
, получим

ε(1)	=	G ε(0),
ε(2)	=	G ε(1) = G 2ε(0),
ε(3)	=	G ε(2) = G 2ε(1) = G 3ε(0),

,

...

Таким образом, получаем формулу для погрешности на k
-й итерации, которой будем пользоваться в дальнейшем:

ε(k
) = G
k
ε(0).
(3)

Рассмотрим сходимость итерационного метода (2). Поскольку сходимость метода состоит в том, чтобы погрешность убывала, нужно исследовать сходимость к нулю последовательности ε(k
)
. Для анализа сходимости нам потребуется понятие спектрального радиуса.

Определение 8. Спектральным радиусом матрицы G
называется максимальное по модулю собственное число матрицы G
:

ρ
(G
) = max |λi
(G
)|.
i
=1...n

Обратим внимание, что в этом определении участвуют все собственные числа, т.е. вещественные и комплексные.

Теорема 3 (Достаточное условие сходимости). Для сходимости итерационного метода достаточно выполнения неравенства

kG
k <
1.

Доказательство. Доказательство повторяет доказательство принципа сжимающих отображений, поскольку эта теорема является частным случаем этого принципа.

Отметим, что для сходимости достаточно выполнение неравенства для какой-то одной нормы. Это условие является легко проверяемым, хотя лишь достаточным. Необходимое и достаточное условие сходимости является проверяется более сложным образом и дается следующим утверждением.

Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие сходимости). Для сходимости итерационного метода необходимо и достаточно выполнения неравенства

ρ
(G
) <
1.

Доказательство. Из соображений краткости, ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы G
образуют базис в Rn
. Это всегда так, например, если G
– симметрична. Очевидно, что сходимость итерационного метода эквивалентная сходимости к нулю последовательности {ε(k
)
}.

1. Докажем достаточность. Пусть ρ
(G
) <
1.
Рассмотрим произвольное начальное приближение и разложим его по базису собственных векторов

.

Тогда

.

По условиям теоремы все собственные числа по модулю меньше единицы, поэтому c учетом |λi
|k
| → 0 при k
→ ∞ (i
= 1,
2,...,n
) выполняются соотношения kε(k
)k = kλ
k
1ε
(0)1 e1 + ...
+ λ
kn
ε
(0)n
en
k ≤

≤ |λ
1
|k
|ε
(0)
1
| + ...
+ |λn
|k
|ε
(0)
n
| → 0, k
→ ∞.

2. Докажем необходимость. Пусть итерационный метод сходитсяпри любом начальном приближении. Предположим противное, т.е. что ρ
(G
) ≥ 1.
Это значит, что существует как минимум один собственный вектор e, такой, что G
e = λ
e c |λ
| ≡ ρ
(G
) ≥ 1. Выберем начальное приближение так: ε(0)
= e. Тогда имеем

ε(k
) = G
k
ε(0) = λ
k
e.

Поскольку |λ
| ≥ 1, последовательность {ε(k
)
} не сходится к нулю при данном начальном приближении, т.к. kε(k
)
k = |λ
|k
≥ 1. Полученное противоречие и доказывает необходимость.

Важным свойством итерационного метода является его симметризуемость. В частности, она используется для его ускорения (т.е. модификации, позволяющей достичь той же точности за меньшее число итераций).

Определение 9. Итерационный метод является симметризуемым, если существует такая невырожденная матрица W
(матрица симметризации), что W
(E
− G
)W
−1
является симметричной и положительно определенной.

Для симметризуемого метода выполняются свойства:

1. собственные числа матрицы перехода G
вещественны;

2. наибольшее собственное число матрицы G
меньше единицы;

3. множество собственных векторов матрицы перехода G
образует базис векторного пространства.

Для симметризуемого метода всегда существует так называемый экстраполированный метод, который сходится всегда, независимо от сходимости исходного метода. Он дается формулой x(k
+1)
= G
γ
x(k
)
+ gγ
,
G
γ
= γ
G
+ (1 − γ
)E
,
gγ
= γ
g.

Оптимальное значение параметра γ
определяется соотношением

,

где M
(G
) и m
(G
) – максимальное и минимальное собственные числа G
.

Рассмотрим далее классические итерационные методы.

3.2 Метод простой итерации

Метод простой итерации является простейшим примером итерационных методов. Он дается формулой x(k
+1)
= (E
− A
)x(k
)
+ b,
G
= E
− A
,
Q
= E
.

Сходится при M
(A
) <
2.

Для симметричной положительно определенной матрицы A
) симметризуем и экстраполированный метод имеет вид

x.

3.3 Метод Якоби

Метод Якоби определяется формулой

.
(4)

Запишем его в матричных обозначениях (в безиндексном виде). Представим матрицу A
в виде

A = D − CL
− CU
,

где D
– диагональная матрица, C
L
– верхняя треугольная, а C
U
– нижняя треугольная. Если A
имеет вид

  a
11 a
12 a
13 ... a
1n

 a
21 a
22 a
23 ... a
2n


A
=  a
31 a
32 a
33 ... a
3n
,

 ...
... 

a
n
1 a
n
2 a
n
3 ... a
nn

то D
, C
L
и C
U
даются формулами

D,

 ...
.. 

0 0 0 ... ann

   

0 0 0 ...
0 0 a
12
a
13
... a
1n

 a
21 0 0 ...
0   0 0 a
23 ... a
2n


C
.

Используя матричные обозначения, формулу метода Якоби можно записать так: x(k
+1) = B
x(k
) + g,

где матрица перехода B
дается формулой

B = D−1
(CU
+ CL
) = E − D−1
A

а g = D
−1
b.

Достаточным условием сходимости метода Якоби является диагональное преобладание. Если A
– положительно определенная симметричная матрица, то метод Якоби симметризуем.

3.4 Метод Гаусса-Зейделя

Запишем последовательность формул метода Якоби более подробно

	,
	,
	= −a 31x (1k ) − a 32x (2k ) − ... − a 3n x (2k ) + b 3, ...
	.

Если посмотреть внимательно на них, то видно, что при вычислении последних компонент вектора x(k
+1)
уже известны предыдущие компоненты x(k
+1)
, но они не используются. Например, для последней компоненты имеется формула

.

В ней в левой части присутствует n
− 1 компонент предыдущей итерации, но к этому моменту уже вычислены компоненты текущей итерации . Естественно их использовать при вычислении . Перепишем эти формулы следующим образом, заменяя в левой части уравнений компоненты x(k
)
на уже найденные компоненты x(k
+1)
:

a 11x (1k +1)	,
	,
	= −a 31x (1k +1) − a 32x (2k +1) − ... − a 3n x (2k ) + b 3, ...
	.

Эти формулы лежат в основе метода Гаусса–Зейделя:

.
(5)

В матричном виде метод Гаусса–Зейделя записывается таким образом:

x(k
+1) = Lx(k
) + g,

где L = (E
− L
)−1
U
, g = (E
− L
)−1
D
−1
b, L
= D
−1
C
L
, U
= D
−1
C
U
.

В общем случае метод несимметризуем.

Есть интересный исторический комментарий [Д2]: метод был неизвестен Зейделю, а Гаусс относился к нему достаточно плохо.

Замечание. Хотя для положительно определенных симметричных матриц метод Гаусса-Зейделя сходится почти в два раза быстрее метода Якоби, для матриц общего вида существуют примеры, когда метод Якоби сходится, а метод Гаусса-Зейделя расходится.

3.5 Метод последовательной верхней релаксации (SOR) Дается формулами

Здесь ω
– параметр релаксации, ω
∈ [0,
2]. При ω >
1 говорят о верхней релаксации, при ω <
1 – о нижней, а при ω
= 1 метод SOR сводится к методу Гаусса–Зейделя. Удачный выбор параметра релаксации позволяет на порядки понизить число итераций для достижения требуемой точности.

Матричная форма (6) имеет вид

x(k
+1) = Lω
x(k
) + gω
,

где Lω
= (E
− ω
L
)−1
(ω
U
+ (1 − ω
)E
), gω
= (E
− ω
L
)−1
ω
D
−1
b.

В общем случае метод несимметризуем. Сходимость гарантирована для положительно определенной симметричной матрицы.

3.6 Метод симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR)

Этот метод по числу итераций сходится в два быстрее, чем предыдущий, но итерации являются более сложными и даются соотношениями

;

1;

Здесь ω
– параметр релаксации, ω
∈ [0,
2].

Если A
– положительно определенная симметричная матрица, то метод SSOR симметризуем.

Упражнение. Найдите матрицу перехода.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 2

1. Проверьте сходимость предыдущих методов для матриц

(a)

A
;

	0 0 0 0	−1 0 0 0	0 −1 0 0	−1 0 −1 0	4 0 0 4 0 −1 −1 0	0 0 4 −1
(c)		0 4	0 0	0 0	0 0	−1 −1 −1 0	0 −1

0 0 0

(b) 

41 0 −1 0 0 0 0 0

 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0



 01 4 0 01 0 0 0



 −1 0 0 4 −1 0





A
=  01 0 −1 41 0 ;



0 0 4 0 0 −1 −1 −1 −1 
 0 0 0 4 0 0 −1 0 −1 




A
0 0 0 0 4 0 0 −1 −1 .



−1 −1 0 0 4 0 0 0 



1 0 −1 −1 0 0 4 0 0 



−1 −1 0 −1 0 0 4 0 

0 0 −1 −1 −1 0 0 0 4

2. A
является симметричной и положительно определенной. Какие из методов являются симметризуемыми?

(a) простой итерации;

(b) Якоби;

(c) Гаусса–Зейделя;

(d) SOR;

(e) SSOR.

3. Необходимым и достаточным условием сходимости итерационного метода является

(a) положительная определенность матрицы перехода G
;

(b) симметричность матрицы перехода G
;

(c) неравенство kG
k <
1;

(d) неравенство ρ
(G
) <
1.

4. Матрица симметризации – это

(a) симметричная матрица;

(b) единичная матрица;

(c) такая матрица W
, что W
(E
−G
)W
−1
– положительно определенная и симметричная матрица;

(d) такая матрица W
, что W
(G
−E
)W
−1
– положительно определенная и симметричная матрица.

5. При ω
= 1 метод SOR переходит в метод (выберите один из ответов)

(a) Якоби;

(b) SSOR;

(c) простой итерации; (d) Гаусса–Зейделя.

6. Параметр релаксации ω
лежит в диапазоне (выберите один из ответов)

(a) [0,
1];

(b) [0,
2]; (c) (0,
2);

(d) [−1,
1].

4 Методы подпространств Крылова

4.1 Инвариантные подпространства

Для понижения размерности исходной задачи воспользуемся понятием инвариантного подпространства.

Определение 10. Подпространство L инвариантно относительно матрицы A
, если для любого вектора x из L вектор A
x также принадлежит L.

Примером инвариантного подпространства, является подпространство, образованное линейными комбинациями нескольких собственных векторов A
.

Предположим, что нам известен базис L, образованный векторами q1
, q2
, ..., qm
, m
≤ n
. Образуем из этих векторов матрицу Q
= [q1
,
q2
,...,
qm
] размерности n
×m
. Вычислим AQ
. Это матрица также размерности n
×m
, причем ее столбцы есть линейные комбинации q1
, q2
, ... qm
. Другими словами, столбцы AQ
принадлежат инвариантному подпространству L. Указанные столбцы удобно записать в виде

QC
, где C
– квадратная матрица размерности m
×m
. Действительно,

AQ
= A
[q1
,
q2
,...
qm
].

Вектор A
qi
∈ L, следовательно, A
qi
представим в виде линейной комбинации q1
, q2
, ... qm
:

A
qi
= ci
1
q1
+ ci
2
q2
+ ...
+ cim
qm
, i
= 1,...,m.

Таким образом, выполняется равенство

AQ
= QC
.
(8)

Матрица C
называется сужением A
на подпространстве L. Более наглядно (8) можно представить в виде

n m m m

A

Q

=

Q

C
m

n

Рассмотрим случай, когда q1
, q2
, ..., qm
– ортонормированы. Тогда

QT
Q = Em
,

где E
m
– единичная матрица размерности m
×m
. Из (8) вытекает, что

C
= Q
T
AQ
.

Рассмотрим решение СЛАУ

C
y = d,

где d ∈ Rm
. Умножая это уравнение на Q
слева получим, что

QC
y = AQ
y = Q
d.

То есть вектор Q
y является решением исходной задачи, если b = Q
d. Таким образом, знание инвариантного подпространства позволяет свести решение СЛАУ для матрицы A
к двум СЛАУ меньшей размерности, которые могут быть решены независимо друг от друга. Проблема состоит в том, что априори инвариантные подпространства матрицы A
неизвестны. Вместо инвариантных подпространств можно использовать “почти” инвариантные подпространства, например, подпространства Крылова.

4.2 Степенная последовательность и подпространства Крылова

Определение 11. Подпространством Крылова Km
(b) называется подпространство, образованное всеми линейными комбинациями векторов степенной последовательности

b,
A
b,
A
2
b, ...,
A
m
−1
b,

то есть линейная оболочка, натянутая на эти векторы

Km
(b) = span(b,
A
b,
A
2
b, ...,
A
m
−1
b).

Рассмотрим свойства степенной последовательности

b,
A
b,
A
2
b,
A
3
b,...
A
k
b,...,

где b – некоторый произвольный ненулевой вектор.

Рассмотрим случай, когда A
– симметричная матрица. Следовательно, ее собственные векторы ek
образуют базис в Rn
. Соответствующие собственные числа A
обозначим через λk
:

A
ek
= λk
ek
.

Для определенности примем, что λk
упорядочены по убыванию:

|λ
1
| ≥ |λ
2
| ≥ ...
≥ |λn
|.

Произвольный вектор b можно представить в виде разложения по ek
:

b = b
1
e1
+ b
2
e2
+ ...
+ bn
en
.

Имеют место формулы:

b = b
1
e1
+ b
2
e2
+ ...
+ bn
en
,

A
b = λ
1
b
1
e1
+ λ
2
b
2
e2
+ ...
+ λn
bn
en
,
A
,

...

A,

...

Сделаем дополнительное предположение. Пусть |λ
1
| >
|λ
2
|. Другими словами, λ
1
– максимальное собственное число по модулю: λ
1
= λ
max
. Тогда A
k
b можно записать следующим образом:

A
.
(9)

Поскольку все , то если b
1
6= 0, то все слагаемые в скобках в уравнении (9) кроме первого будут убывать при k
→ ∞:

при k
→ ∞.

Кроме того, также выполняется соотношение

||A
k
b|| → |λ
1
|k
|b
1
| при k
→ ∞.

Таким образом, при возрастании k
члены степенной последовательности поворачиваются таким образом, что оказываются параллельными собственному вектору emax
≡ e1
, соответствующему максимальному по модулю собственному значению λ
max
.

4.3 Итерационные методы подпространств Крылова

Подпространства Крылова обладают замечательным свойством: если A
– симметрична и если последовательно строить ортонормированный базис в Km
(b) m
= 1,
2,...n
, то вектора базиса для Kn
(b) образуют такую ортогональную матрицу Q
, что выполняется равенство

Q
T
AQ
= T
,
(10)

где T
является трехдиагональной матрицей

  α
1
β
1
0 ··· 0

 β
1 α
2 β
2 ... 

T
=  0... β
1 α
3 ... 

... ... βn
−1


0 ··· β
n
−1 α
n

Если A
– несимметричная матрица, то вместо (10) получаем

Q
T
AQ
= H
,
(11)

где H
– матрица в верхней форме Хессенберга, т.е. имеет структуру

 ×  ×   H =  0  ...  0

× × × × × × ... ···

 ··· × ...  ...  ... ×  × ×

(крестиком помечены ненулевые элементы).

Ясно, что если построено представление (10) или (11), то решение СЛАУ A
x = b можно провести в три шага. Например, если выполнено

(10), то решение A
x = b эквивалентно трем СЛАУ

Q z = b,	(12)
T y = z,	(13)
Q T x = y,	(14)

причем системы (12) и (14) решаются элементарно, поскольку обратная к ортогональной матрице Q
является транспонированная Q
T
. Система (13) также решается гораздо проще исходной, поскольку T
– трехдиагональная матрица, для которых развиты быстрые и эффективные методы решения СЛАУ.

Рассмотрим алгоритм, приводящий симметричную матрицу A
к трехдиагональному виду.

Алгоритм Ланцоша. v = 0; β
0
= 1; j
= 0;

while βj
6= 0 if j
6= 0

for i
= 1..n

t
= wi
; wi
= vi
/βj
; vi
= −βj
t
end

end

v = +A
w

j
= j
+ 1; αj
= (w,
v); v = v − αj
w; βj
:= kvk2
end

Для приведения матрицы к трехдиагональному виду нужна только процедура умножения матрицы на вектор и процедура скалярного произведения. Это позволяет не хранить матрицу как двумерный массив.

Алгоритм Ланцоша может быть обобщен на случай несимметричных матриц. Здесь матрица A
приводится к верхней форме Хессенберга H
. Компоненты H
обозначим через hi,j
, hi,j
= 0 при i < j
− 1.

Соответствующий алгоритм носит названия алгоритма Арнольди.

Алгоритм Арнольди. r = q1
; β
= 1; j
= 0;

while β
6= 0

h
j
+1,i
= β
; qj
+1 = rj
/β
; j
= j
+ 1 w = A
qj
; r = w for i
= 1..j

hij
= (qi
,
w); r = r − hij
qi

end

β
= krk2
if j < n

h
j
+1,j
= β

end

end

Определенным недостатком алгоритмов Ланцоша и Арнольди является потеря ортогональности Q
в процессе вычислений. СУществет ряд реализаций этих алгоритмов, преодолевающих этот недостаток, и делающих эти методы весьма эффективными для решения СЛАУ с большими разреженными матрицами.

ТЕСТ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ № 4

1. Что такое инвариантное подпространство? (выберите один из ответов)

(a) линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы A
;

(b) подпространство, не изменяющееся при действии на него матрицы A
;

(c) нульмерное-подпространство; (d) подпространство Крылова.

2. Что такое степенная последовательность? (выберите один из ответов)

(a) последовательность E
, A
, A
2
, A
3
, ...;

(b) последовательность b, A
b, A
2
b, A
3
b, ...;

(c) последовательность 1, x
, x
2
, x
3
, ...; (d) последовательность 1, 2, 4, 8, ....

3. Недостатком метода Ланцоша является (выберите один из ответов)

(a) медленная сходимость;

(b) потеря ортогонализации;

(c) невозможность вычисления собственных векторов; (d) необходимость вычисления степеней.

4. В методе Ланцоша используются

(a) подпространства Крылова;

(b) линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы A
;

(c) подпространство, образованное собственными векторами матрицы A
;

(d) подпространство, образованное собственными векторами матрицы Q
T
AQ
.

5. Метод Ланцоша приводит матрицу к

(a) диагональной;

(b) трехдиагональной;

(c) верхней треугольной;

(d) верхней треугольной в форме Хессенберга.

6. Метод Ланцоша применим для матриц

(a) диагональных;

(b) трехдиагональных;

(c) симметричных; (d) произвольных.

7. Метод Арнольди приводит матрицу к

(a) диагональной;

(b) трехдиагональной;

(c) верхней треугольной;

(d) верхней треугольной в форме Хессенберга.

8. Метод Арнольди применим для матриц

(a) диагональных;

(b) трехдиагональных;

(c) симметричных; (d) произвольных.

Заключение

Выше дано описание некоторых методов решения систем линейных алгебраических уравнений для симметричных разреженных матриц большой размерности.

При написании данного пособия в основном использовались материалы [3, 4, 7, 9, 10]. Более подробные сведения о можно получить в приведенной ниже основной и дополнительной литературе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. В. Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 304 с.

[2] В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

[3] Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

[4] Дж. Деммель. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 430 с.

[5] Х. Д. Икрамов. Численные методы для симметричных линейных систем. М.: Наука, 1988. 160 с.

[6] Б. Парлетт. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

[7] C. Писсанецки. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 410 с.

[8] Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

[9] Л. Хейнгеман, Д. Янг. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448 с.

[10] Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[Д1] Х. Д. Икрамов. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991. 240 с.

[Д2] Дж. Райс. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. 264 с.

[Д3] Y. Saad. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Halsted Press: Manchester, 1992. 347 p.

[Д4] Дж. Форсайт, К. Молер. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 167 с.