Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)
Гуманитарный факультет
Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика
на тему
Дискретное преобразование Фурье |
Выполнил: студент
| Рогов Ш.В., группа 4071 |
| Руководитель: Коростелева Т.А. |
Санкт – Петербург
2010
Дискретное преобразование Фурье
Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)
и
(2),
которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование
(3),
которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X(
f)
, так и x(
t)
дискретны и пределы суммирования конечны:
(4)
Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x(
iT)
используется обозначение x(
i)
. Точно также вместо X(
bk)
записано X(
k)
. Величина b
зависит от интервала дискретизации: b=(
NT)Г1
.
К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x(
i)=0
для i<0
и i>(
N-1)
, а также определяя дискретные значения частот следующим образом: fk
=
bk
. Покажем это.
Укажем некоторые особен
1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста Fn
=(2
T)Г1
, поэтому соответствующее значение k
в формуле (4) определяется из условия fk
=
Fn
:
Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X(
k)
. Это означает, что значениям индексов k
в промежутке 0,…,
N/2
соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X(
k)
при k>
N/2
? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k
на -p
:
Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :
т.е. X(-p)=X(N-p)
. Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N
значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.
2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i=
pN+
q
; p,
q
, - целые числа, причем 0 ≤
q≤
N-1
. Подставим новое значение i
в выражение обратного преобразования Фурье:
Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X(
k)
. Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k>
N
, то полученные значения X(
k)
полностью повторят уже имеющиеся: X(
k+
N) =
X(
k)
. Поэтому для вычисления функций x(
i)
и X(
k)
вне множества 0,…,(
N-1)
следует брать значения их индексов по модулю N
.