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Аддитивные проблемы теории чисел

.


Ł


1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3


1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4


1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª -


) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


1.3 ˇ ƺ Ł - ¸Ł º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


1.5.1 ˆŁ —Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10


2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ . . . . . . . . . . . . . 11


2.2.1 º Æ ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


2.2.2 — ł æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


2.3 ˜Łæ æŁ ßØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


3 ˛æ ß ß ß. 15


Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII - XX .


´ Ł .


Ł Ł Ł Łæ º - º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł


º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł , Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı , æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-


æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.


1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.

















































˚ Œº ææŁ æŒŁ

ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ :

1. ˇ ƺ

´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł

æ ß s
= s
(k
)

Ł º ßı k
− ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k
> l
;

2. ˇ ƺ

ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5,

æ Ø ı

æ ßı Ł ƺ غ - ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º,

Æ º łŁı 2, æ

Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742);

˛æº ƺ

ƺ ˆ º Æ ı . ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ -

Ø ª Ł

ª Łæº æ ßı;

3. ˇ ƺ

Ł - ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº , Æ º ł ª 1,

Ł æ ß

æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .);

4. Ł Ł

ƺ ºŁ º Ø;

5. ˇ ƺ

ºŁ º Ø Ł ł ;

6. ˙ Ł

æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı

Łæ º æ ª Ł

ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø;

7. ˙ Ł

æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß -

ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł.


˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ , ºª Æ-


Ł æŒŁ , º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß -

æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł , Ł Ł ß Ł ı


æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º - ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.


1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .































ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ . ´

Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº -

ø Ł : æ Œ º Łæº æ æ

ß ı Œ , Ł Œ Æ ,

Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº

Ł:

º º Æ ª n
> 2 æ ø æ -

Πk
= k
(n
) , Łæ ø º Œ n
, º Æ

º Łæº æ æ A
: n
−

æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ

Æø

ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ

ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k
ŁæŁ æ Ł

n


1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D.

Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª

ß

æ ƺ Ø ˆŁº Æ - ´ -

Ł ª . ¯æºŁ Jk,n
(N
) Æ Ł Łæº ł


Ł

ŁØ

ºßı Ł º ßı Łæº ı









ˆŁº Æ


Ł º Æ N
> 1.

, æ ø æ K
= k
(n
), º Œ ª Jk,n
(N
) > 1

´ 1928 ª. ˆ. X.

Ł Ł ˜

. ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J . ¯. Littlewood), Ł Ł

Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø , Œ ºŁ, Ł k
> (n
− 2)2n
−1
+ 5 º Jk,n
(N
)


Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł


Jk,n
(N
) = AN
k/n
−1 + O
(N
k/n
−1−γ
)


ª A
= A
(N
) > c
0
>
0, c
0
Ł γ >
0 - Œ ß æ ß . º º , Ł


N
> N
0
(n
) Łæı Ł Ł ł Ł . ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ


Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G
(n
),g
(n
),k
0
− Ł łŁı ºßı


Łæ º, º Œ ßı:


) Łæı Ł łŁ Ł k
> G
(n
) Ł N
> N
0
(n
);


Æ) Łæı Ł łŁ Ł k
> g
(n
) Ł N
> 1;


) º ºŁ Ł ß Jk,n
(N
) Ł k
> k
0
(n
) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .


) ¨ æ , G
(n
) > n
+ 1


´ 1934 ª. ¨. . ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G
(n
) 6


3n
(lnn
+ 9)


˚ ª , Ł æ ª º æŁ º G
(n
) º Æ º łŁı ŁØ n
: G
(4) = 16 (X. ˜ , ˝. Davenport, 1939), G
(3) = 7 ( . ´. ¸Ł Œ, 1942).


Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ . ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -


, Œ ºŁ,



º æ ı n >
6, º Œ ßı



ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ


Æ º łŁı n
.


) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨. . ´Ł ª , Œ ßØ Œ º,


k
0
6 4n
2
lnn.


º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª . ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª


Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º


æ º ŁŁ Łæº n
ææ Ł æ ª º ß f
1
(x
1
),f
2
(x
2
),...,fk
(xk
); æ


Łæı ª Ł ææ Ł æ æ Ł Ł . .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł , Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.


1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .


˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª , æ Œ º Łæº , Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)


Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ , Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł


ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .


´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜ . ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ , æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº , æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.


´ 1937 ª. ¨. . ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -










































Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº , Œ æ Æ º ł


Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. - Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ.


¨. . ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı . ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł .


1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª )


˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨. . ´Ł ª ß . ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø


ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł

cosF
(x
1
,...,xn
) + i
sinF
(x
1
,...xn
),


ª F
(x
1
,...,xn
) Øæ

Ł º º Łæº Œ Ł . ŒŁ Æ ,

æ Ł Łı ƺ

æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, -

º Ł

Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ . ¨. . ´Ł ª ,

Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł

Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ , º Łº ŁæŒº -

Ł º æŁº ß ŒŁ

º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ . ºŁº

´Ł ª º Ł

º ß , ƺŁ ŒŁ Œ º ß º -

ß º æ

ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ

´ Ł ª , ƺ ˆŁº Æ

˚ Œ , ƺ Œ æ ´ غ . ˜ ªŁ æº æ Ł-

Œ Łª

Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ

æ æ ß Ł Łæº Ł Ł,

æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .

1.3 ˇ ƺ

Ł - ¸Ł º .

˙ ı Ł æŁ

Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q
(n
) ł ŁØ Ł

p
+ x
2
+ y
2
= n,


ª p
- æ , x
Ł - ºß , n
- º Łæº . º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł


p
− x
2
− y
2
= l,





























ª l
- ŁŒæŁ

º

Łæº , p
6 n
(n
→ ∞).
X. -¸.

. Æߺ

æ º ˆ.

-

Ł (G. Hardy) Ł ˜

. ¸Ł º

(J. Littlewood) 1923 Ł

ææ

Ł Ł æ

Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ

Ł

æŒŁı æ Æ ŁØ.

˜Łæ æŁ ßØ

,

Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ ,

ºŁº

Ø Ł æŁ

-

ŁŒ º ª

Ł :


,


ª





























¨

º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ

æ æ

æ ßı

Łæ º Ł = x
2
+ y
2
+ l
. ø Łæ æŁ ª

Ø æŁ

-

ŁŒ

º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł - ¸Ł º

p
+ ϕ
(x,y
) ª

p


- æ


.

, ϕ
(x,y
) - Ł Ł Ł º Ł º º

Œ Ł

— ææ

Ł º ªŁ ª Ł p
− ϕ
(x,y
) = l
Ł Ł

Œ Œ º æ

Æ æŒ

æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p
= ϕ
(x,y
) + l


´Ł ª - ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

.


ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł - ¸Ł º , Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .


1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł.


ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :


,


ª


ψ
(y,k,l
) = X
= X
λ
(n
).


n
6yn
≡lmodk


, æ ø æ æ ß c
1
>
0 Ł c
2
>
0 ŒŁ ,


,


√4
logx


ª k
0
< e
= z
1
− º , º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ


Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χk
0
Œ Ø, L
(s,χk
0
) Ł º Ł s
=


























































√ 11/
18 −A


∆(Q,x
) 6 c
(A
)( xQ
logx
+ x
logx
)

Ł º Æ A
.


1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø.

Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł :


,

º Ø - ƺ , Œº ø æ


X


τ
k
1τ
k
2(m
+ a
) m
6n


X


τk
1
τk
2
(n
− m
),
m<n


ŁæŒ

æŁ Ł

æŒ -

ª τk
(m
)− Œ ºŁ æ

ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº

k

Ł

º Ø, æ Ł

Ł

Πk
1
,
Ł k
2
> 2− -

º ß Łæº , a
- ŁŒæŁ

º

Łæº ,

ºŁ -

º , n
- æ

Æ º ł º Łæº . ´

æ

æ Ł, τ
2
(m
) = τ
(m
) -

Łæº ºŁ º Ø º Łæº


ŁØ

m
. ß ß , æ æ


x
1
x
2
...xk
2
− y
1
y
2
...yk
1
= a, x
1
x
2
...xk
1
− y
1
y
2
...yk
2
= n.


, Œ ºŁ æ

ł ŁØ

Ł Ł ƺ

ºŁ º Ø Ł k
1
= 2 Ł º Æ

º

k
2
Æߺ

ł æ

ø Łæ æŁ ª

. ´. ¸Ł ŁŒ .

Æ

ææ

º .

1.5 ˇ ƺ ºŁ

º Ø Ł ł .

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł

ł : ?= - æ , ? = xy, x, y

º ß ;

ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł :


p
− xy
= a,p < N, p
+ xy
= N,p < N,x,y
∈ N


ª p
− æ Łæº a
− ŁŒæŁ º .


Æø - ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł :

ł ŁØ

º… -

.
˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,


X


τ
(p
− 1),
p<N


ª τ
(p
)− Łæº ºŁ º Ø n
.


ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º . Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ) . ˜Łæ æŁ ßØ , Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ , º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :



















































p
−xy
= a,p < N,
Ł a
= 1, `. . ` ŁıŁ

łŁº

º º Æ ª ŁŒæŁ -

ª a
6= 0. ` ª ε >
0.


ŁıŁ Œ º æŁ

Ł

æŒ

º æ æ Œ O
(N/
(ln1+ε
N
)),


´Ł

ª - ` Æ Ł

æ

º ŁŁ

æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

ª ææŁ ı

æ Œ Ł Ł

Œ

ł Ł

ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł .

ˇ Ł

º Ł æ ºŁ

æ Ł

æłŁ

Ø ªŁ ß —Ł æ

Œ Ł æŒŁ


).

Ł Ł Æ º ł ª

ł

;"> ( Ł

ß Æ ææ ß Ł

1.5.1 ˆŁ

—Ł .

˜º º

æ Ł º Ł

- Œ ŁŁ. ˜ - Œ Ł ζ
(s
)− -

ºŁ Ł æŒ

Œ Ł Œ º Œæ ª

ª s
= σ
+ it,
Ł σ >
1 º æ

Ææ º Ł

æı øŁ æ

˜Ł Łıº :












































˙ Ł

- Œ ŁŁ

,

º

Łæº

ºŁ ßı ª ª

æ


Łæº .

: μ

æ

æ ß

Łæº ,

ª Œº

Ł ª æ ª

—Ł

1859 ª. ßæŒ

º

º

Ł

æ

Ł æ ßı

Łæ º æ Re
= 1/
2 -

Œ ŁŁ,

Œ º

Łº,

æ

Øæ

Ł

º ß ºŁ

- Œ ŁŁ æ º -

ß

Ø Re
= 1/
2.


¨ Œ,

Œ Ł ζ
(s
)

º

º æ ı Œ

º Œæ ßı s
6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł-

º ßı ºßı s
= −2,
−4,
−6...
¨ Œ Ł º ª Ł


s
)ζ
(1 − s
), Ł ª ß Ł Ł s >
1 æº , æ æ º ß


ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s
6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ" R. ˆŁ —Ł , :


´æ Ł Ł º ß ºŁ - Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,.













































˛Æ Æø…

ªŁ —Ł

æ æ

Ł Ł ª æ ª

Ł

º Æ Æø -

ŁØ -

Œ ŁØ, ß

ßı L-

Œ Ł Ł ˜Ł Łıº .

2 æ º.

ß ł

Ł

ƺ Ł Ł

Ø

ŁŁ Ł-

ˇ ß æŁæ

Ł æŒŁ

º ß

Ł Ł Ø ŁŁ

Łæ º ÆߺŁ

º ß ¸ -

غ

(1748), Œ

ßØ Łææº

º æ ø æ

ßı

º Ł

ºßı Łæ º

º Ł º

ß æº ª

ß , æ æ Ł, Ł Æߺ ææ

º ŁŁ

Łæº

Œ ºŁ

æ æº ª ßı.

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .


ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -


ºŁ Ł æŒŁı , Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜ . ¨. ¸Ł º (J. ¯.


Littlewood) Ł ¨. . ´Ł ª ß . ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :


Ai
= {ai
},ai
> 0,a
∈ Z,i
= 1,
2,
3,...
æ ßı : æ Ł ø Ø Œ Ł Ø


,


ª r
(n
) = rk
,A
(n
)
− Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :


n
= a
1
+ a
2
+ ...
+ ak
,ai
∈ Ai
,A
= {A
1
A
2
,...
}.


ˇ Ł r
(n
) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:


































¨ r
(n
) ß º æ ªº

æ , æ æ ø

Ł Ł º , æ æ ßı

Œ æ æ Ł Œ ßı Ł

º ßı Œ. ´

æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F
(z
), -

Æ øŁı Ł Ł

Ø ŁŁ Łæ º

Ł º Ł ªŁ , º ªŁ ßı ªŁ-

—Ł , º

º Ł ß Łæº

ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ

ŒŁ Łª Ł . æ

´Ł ª

Ł Œ ß æ º Ł æ ßı

Łæ º Ł Ł æŒŁı ª

ææŁ ı, º

ß æ ß Ł Ł -

ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº . æ

ºŁ æ ,

ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r
(n
) 6= 0 º

æ ı n
> 1, ºŁÆ r
(n
) 6= 0 º

æ Æ º łŁı n n
> n
0
(A
), ºŁÆ Ł º æ ı

ß º æ æ ł Ł r
(n
) 6= 0, . .


,






















ŁºŁ, Œ , º r
(n
) Ł æ æŁ Ł

æŒ

º . ˝ Ł

ł Łæº k, º -

ø Ł Łæº ßı æº

ŁØ, Æ

æ æ

æ g
(A
), G
(A
),


G
0
(A
), k
0
(A
).
´ æº {ai
} = {p
},
ª {p
}−

æº

º æ

æ ßı Łæ º, Ł k =

3 º æ ´Ł ª : æ Œ

æ

Æ º ł

Łæº

Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 - Œ : Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.


2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ .


˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ , º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai
ai
,


ßı ºŁł Łı º æ Ł,
ª Ai
(n
) = P
16
ai
6
n
1.
¨ º Ł º æ Ł dn
(Ai
) Ł A
1
= A
2
= ...
= Ak
= A
æº , g
(A
) <
∞. ˇ Ł Ł ª


Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ ßı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł ßı æº -


º æ Ø ßı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ . ´ ø º


Ł Łª ß ł , æ ø Œ ßı Œ ß æ º Ł º æ


d
(Ai
).
ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł -


º ßı Łæ º Ł æ ß ª Ł ª Łæº æ ßı æº ª ßı, . ´. ¸Ł ŁŒ


Ø º ł Ł ƺ ß ´ Ł ª .


º ß ß ł , Ł º øŁ ´. ´ Ł . º Æ ª , Ł


Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º , æ ß Œ æ ß


ºŁ Ł æŒŁ æ æ . ˛ Œ ŁÆ º Œ ß ł Ł Œ ßı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º ßı . ´ ı ł Ł Ł ßæ Ł Ł æ ßı Łæ º Ł º ª


( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, ßæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł


{2n - m} æ ßı Łæ º, 6 nθ
1
Ł, æ æ 6 nθ
2
ª (θ
1
<
1 Ł θ
2
<
1 º øŁ


Æ ßÆ ß º Ł º ß Œ æ ß), Ł Ł Œ ł Ł Œ ß Ø


Œ Ł ƺ ß ˆ º Æ ı - غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ ßı Ł Æ º k
1
,
ª - Æ º k
2
æ ßı Ł º Ø.


2.2.1 º Æ ª .


º Æ ª - æ Ł º ßØ Ł æ Ł æ º ßØ ł -


, æ ßØ º º Æ ª . — ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S
(;,z
), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª -


æ A
ºßı Łæ º, Œ ß º æ æ ß Łæº p < z
Ł Ł º Œ æ P
æ ßı Łæ º.


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0V
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V
0
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( X
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0
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0
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¸Ł


1. http://dic.academic.ru - Ł æŒ ŁŒº Ł .


2. www.mathnet.ru/rus - æ Ø " Ł æŒŁ ŒŁ".


3. ˝. . Ł , "˛ ´Ł ª ` Æ Ł", Ł æŒŁ ŒŁ, .38,


6 (1985).


4. . . ˙ ŒŁ , "ˇ ƺ ´ Ł ª º æ Œ º Ł º ßı Łæ º", -


Ł æŒŁ ŒŁ, .54, 5 (1993).
















5. . ˚. ˚ łŁ , . ´. Œ º æŒŁØ "˛Æ Æø… Ł æŒŁ ŒŁ, .3, 2 (1968).


6. http://mirslovarei.com - æ Ø " Ł æº Ø".

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ł ",

7. ˝. . Ł , . `. Ł "ˇ ƺ

Ł ł

æ Łæº Ł, Ł

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Łæº ºŁ º Ø", Ł æŒŁ

ŒŁ, .59,

4 (1996).
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Название реферата: Аддитивные проблемы теории чисел

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