КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент СМИРНОВА А.И.
"МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 3
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2003г.
Протокол № ___________
Кострома, 2003
C
одержание
Введение
1. Действия над матрицами.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.
1-ый учебный вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Прямоугольная таблица из
m
,
n
чисел, содержащая
m
– строк и
n
– столбцов, вида:
называется матрицей размера
m
´
n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента а
i
j
в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i
– номер строки;
второй j
– номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е.
m
=
n
, называется квадратной.
Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.
ПРИМЕР.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
Матрица размера
1 ´ n
, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.
Матрица размера т
´ 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей
называют матрицу, все элементы которой равны нулю.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n
:
побочная диагональ
главная диагональ
Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется главной диагональю матрицы
(на главной диагонали стоят элементы вида а
i
i
).
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы
.
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1) Квадратная матрица называется диагональной
, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.
2) Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной
. Обозначается:
3) Квадратная матрица называется треугольной,
если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
верхняя нижняя
треугольная матрица треугольная матрица
Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы
. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:
Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е
½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ. Неквадратная матрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной
, если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.
Матрица, полученная из данной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной.
Матрицу, транспонированную к А
, обозначают АТ
.
ПРИМЕР.
2 3 3 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Две матрицы одного и того же размера называются равными,
если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим действия над матрицами.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммой двух матриц А = (а
i
j
) и В = (
bi
j
) одинакового размера
называется матрица С = (с
i
j
) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. с
i j =
a i j
+ b i j
Обозначается сумма матриц А + В.
ПРИМЕР.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.
Чтобы умножить матрицу на число
k
, надо умножить на это число каждый элемент матрицы
:
если
А=
(а
i
j
), то
k
· A
=
(k
· a
i
j
)
ПРИМЕР.
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО
1. Переместительное свойство: А + В = В + А
2. Сочетательное свойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С )
3. Распределительное свойство: k
· (
A
+
B
) =
k
A
+
k
B
, где k
–
число
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Матрицу А
назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В
, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В
, т.е. для согласованных матриц матрица А
имеет размер m
´ n
, матрица В
имеет размер n
´ k
.
Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.
Произведением матрицы А размера
m
´ n
на матрицу В размера
n
´ k
называется матрица С размера
m
´ k
, элемент которой а
i
j
, расположенный в
i
–ой строке и
j
– ом столбце, равен сумме произведений элементов
i
– о
j
– столбца матрицы В, т.е.
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+……+
a
i
n
b
n
j
Обозначим: С = А
· В.
Если то
Произведение В
´ А
не имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А
´ В
имеет смысл, то В
´ А
может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А
´ В
и В
´ А
, то, вообще говоря
А
´ В
¹ В
´ А
, т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А
– квадратная матрица и Е
– единичная матрица того же порядка, то А
´ Е
= Е
´ А = А
.
Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ
. Найти , если можно, А
´ В
и В
´ А
.
1.
Решение
: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А
´ В
и В
´ А
существуют.
2.
Решение
: Матрицы А
и В
согласованы
Матрицы В
и А
не согласованы, поэтому В
´ А
не имеет смысла.
Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое
и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель
.
СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1. Сочетательное свойство: А
´ ( В
´ С ) = (А
´ В )
´С
2. Распределительное свойство: (А
+ В)
´ С = А
´ С + В
´С
Можно показать, что , если А
и В
– две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А
½ и ½ В
½, то определитель матрицы С
= А
´ В
равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.
½С
½ = ½ А
½ ½ В
½
Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице
.
Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.
2 – ой учебный вопрос РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.
Система т
линейных уравнений с п
неизвестными имеет вид:
x
1
, x
2
, …, xn
– неизвестные.
ai
j
- коэффициенты при неизвестных.
bi
- свободные члены (или правые части)
Система линейных уравнений называется совместной
, если она имеет решение, и несовместной
, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной
, если она имеет единственное решение и неопределенной
, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными
, если они имеют одно и то же множество решений.
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1. перемена местами двух любых уравнений;
2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
( 1 )
1-ый шаг метода Гаусса.
На первом шаге исключим неизвестное х1
из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11
.
Получим уравнение:
( 2 )
где
Исключим х1
из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1
(соответственно а
21
и а
31
).
Система примет вид:
( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
2-ой шаг метода Гаусса.
На втором шаге исключим неизвестное х2
из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
( 4 )
где
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим
В результате преобразований система приняла вид:
(5)
Система вида (5) называется треугольной
.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса
.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3
подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2
. Затем х2
и х3
подставляют в первое уравнение и находят х1
.
В общем случае для системы т
линейных уравнений с п
неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 =
b
, где b
¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т
линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному
или к ступенчатому
виду.
Треугольная система
имеет вид:
Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.
Ступенчатая система
имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х
k
+1
, … , xk
переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х
1
, … , xk
, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.
доцент Смирнова А.И.