МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1
Пусть --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени в себя, тогда называют -арной алгебраической операцией
.
Определение 1.2
Универсальной алгеброй
называют систему состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций .
Определение 1.3
Пусть --- некоторая универсальная алгебра и (), тогда называют подалгеброй универсальной алгебры
, если замкнута относительно операций из .
• Для любой операции , где и .
• Для любой операции элемент фиксируемый этой операцией в принадлежит .
Определение 1.4
Всякое подмножество называется бинарным отношением
на .
Определение 1.5
Бинарное отношение называется эквивалентностью
, если оно:
• рефлексивно
• транзитивно и
• симметрично
Определение 1.6
Пусть некоторая эквивалентность на , тогда через обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через и называют фактормножеством
множества по эквивалентности .
Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7
Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией
на , если выполняется следующее условие:
Для любой операции для любых элементов таких, что имеет место .
Определение 1.8
Если и --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором
на .
тогда и только тогда, когда .
или или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Лемма 1.1 (Цорна).
Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.
Определение 1.9
Пусть --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на
, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10
Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством
.
Теорема Мальцев А.И.
Конгруэнции на универсальной алгебре перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов выполняется равенство . В этом случае оператор называется мальцевским.
Определение 1.11
Алгебра называется нильпотентной
, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным
, что для любого .
Определение 1.12
Подалгебра алгебры называется собственной
, если она отлична от самой алгебры .
Определение 1.13
Подалгебра универсальной алгебры называется нормальной
в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .
Определение 1.14
Пусть и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом
, если
1) и имеет место ;
2) , где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.
Определение 1.15
Гомоморфизм называется изоморфизмом
между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах
Пусть - гомоморфизм, --- конгруэнция, тогда .
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах
Пусть --- есть -алгебра, --- подалгебра алгебры и --- конгруэнция на . Тогда является подалгеброй алгебры , --- конгруэнцией на и .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах
Пусть --- есть -алгебра и и --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то является конгруэнцией на и индуцирует такой изоморфизм .
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1
Пусть и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует
(записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1
Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2) ;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором
конгруэнции в и обозначается .
В частности, если , то централизатор в будем обозначать .
Лемма 2.2
Пусть , --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) , где ;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .
2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению
2.1. Значит
3) Пусть .
Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что
Тогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где --- мальцевский оператор.
Тогда
то есть .
Так как
то .
Таким образом . Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3
Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .
Доказательство:
Пусть
Тогда из
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4
Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре .
Доказательство:
Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре , причем
Пусть
то есть
Тогда
и, значит
Пусть, наконец, имеет место
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем
Из леммы 2.2 следует, что
Так как то
Значит,
Но , следовательно, .
Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5
Пусть , --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на .
Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .
В частности, .
Доказательство.
Очевидно, что --- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .
Так как
то определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что
для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .
Это и означает, что
Лемма доказана.
Определение 2.2
Если и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора
в .
Определение 2.3
Факторы и назыавются перспективными
, если либо либо
Теорема
Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:
1) если , то
2) если , то
3) если , и факторы , перспективны, то
4) если - конгруэнции на и , то
где , .
Доказательство.
1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что
а в силу леммы 2.4 получаем, что
Пусть - изоморфизм . Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно,
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство
Покажем вналале, что
Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:
а) если , то
б) для любого элемента ,
в) если
то
Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
Покажем, что --- конгруэнция на .
Пусть
для . Тогда
и
Так как --- конгруэнция, то для любой -арной операции имеем
Очевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары
Значит,
Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть
Тогда
Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то
значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда
Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .
Докажем обратное включение.
Пусть
Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , .
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .
Так как то
то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то
следовательно,
Пусть имеет место (3) и .
Так как
то
Из (4) следует, что , следовательно,
то есть
На основании леммы 2.2 заключаем, что
Следовательно, .
А так как , то , то есть
4) Обозначим . Пусть
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение на следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1
Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой
, если , для любой собственной подалгебры из ;
Определение 3.2
Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной
, если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо .
Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема
Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство .
Доказательство:
Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .
Так как и , то .
Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры .
Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но .
Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3
Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией
, если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .
Определение 3.4
Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры
назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .
Теорема
Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что
Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .
Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что .
Следовательно, .
Теорема доказана.
Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5
Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .
Лемма 3.1
Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .
Доказательство:
Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .
Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.
Определение 3.6
Подалгебра Фраттини
универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .
Теорема
Пусть --- алгебра. Тогда .
Доказательство:
От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.
Лемма 3.2
Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда .
Доказательство:
Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и .
Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре .
Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции .
Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что
Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем
Следовательно, .
Лемма доказана.
Лемма 3.3
Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры .
Теорема
Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .
Доказательство:
Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и .
По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .
Теорема доказана.
Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .
Список использованной литературы
Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.
Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34
Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.
Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.