МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
" " 2005г.
Дипломная работа
Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Исполнитель
студентка группы М-51
Шутова И.Н.
Руководитель
Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Основные определения и используемые результаты
2. Свойство централизаторов универсальных алгебр
3. Мультикольцо
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа группы централизует подгруппу тогда и только тогда, когда конгруэнции,индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.
Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.
Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.
Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.
Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].
Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1.
[1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где - непустое множество, - (возможно пустое) множество операций на .
Определение 1.2.
[1] Конгруэнцией на универсальной алгебре называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .
Определение 1.3.
[1] Если и - алгебры сигнатуры , то отображение называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции и любых элементов выполняется равенство:
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Теорема 1.1.
[1] Пусть - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество
является конгруэнцией на алгебре и называется ядром гомоморфизма
Теорема 1.2.
[1] Пусть - гомоморфное наложение, тогда .
Теорема 1.3.
[1] Пусть - конгруэнции на алгебре и , тогда .
Определение 1.4.
[2] Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.
Многообразие называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из попарно перестановочны.
Теорема 1.4.
[2] Конгруэнции любой алгебры многообразия попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из справедливы тождества
Определение 1.5.
[3] Пусть и - факторы алгебры . Тогда они называются:
1) перспективными, если либо и , либо и ;
2) проективными, если в найдутся такие факторы , что для любого факторы и перспективны.
Теорема 1.5.
[4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в равны.
Теорема 1.6.
[2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества не пуст, то содержит максимальные элементы.
2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1.
Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:
1) из всегда следует ;
2) для любого элемента всегда выполняется
3) если , то .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1.
Пусть . Тогда:
существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
;
если , то .
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .
Лемма 2.2.
Пусть - конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:
;
, где ;
если, , либо
, либо
, то всегда ;
из всегда следует .
Доказательство. 1).
Очевидно, что - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .
2).
- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .
3).
Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4).
Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3.
Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4.
Пусть . Тогда для любой конгруэнции на
Доказательство.
Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем .
Пусть , т.е. , . Тогда и, значит, .
Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5.
Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, .
Доказательство.
Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана.
Если и - факторы на алгебре такие, что , то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .
Напомним, что факторы и на алгебре называются перспективными, если либо и , либо и .
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1.
Пусть - конгруэнции на алгебре . Тогда:
если , то ;
если , то ;
;
если , и факторы , перспективны, то
если - конгруэнции на и , то
Доказательство. 1).
Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то .
2).
Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что .
Пусть - изоморфизм . Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно, .
3).
Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:
а) если , то ;
б) для любого элемента , ;
в) если и , то .
Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:
Очевидно, что (, и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует .
Пусть
Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то , значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то , следовательно, .
Пусть имеет место (3) и . Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .
4)
Обозначим . Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3 Мультикольцо
Согласно [2] алгебра сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место =,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .
Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство.
Определение.
Подалгебра мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет место
В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2]
Пусть -идеал мультикольца и
Тогда -конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .
Доказательство.
Так как
то . Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем
т.е.
т.е.. Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем
т.е. . Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим
Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.
Следствие 3.2.
Решетка идеалов мультикольца изоморфна решетке его конгруэнций.
Определение 3.3
[3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал в такой,что для любого и любого выполняются следующие условия:
1) ;
2) для любой -арной операции ,любых различных ,произвольных справедливо
Теорема 3.4.
Пусть и -идеалы мультикольца и . Тогда и индуцируют на соответственно конгруэнции и , где
тогда
Доказательство :
Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы и ,что справедливы равенства
Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]
Пусть теперь --арная операция и Тогда
и
для любых Следовательно,
Подставляя в правую часть последнего равенства значения и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение
Так как -идеал,то
Итак,
тогда .
Теорема 3.5
Пусть и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда .
Доказательство :
Пусть -конгруэнции мультикольца и . Обозначим смежные классы по и ,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно и . Возьмем произвольные элементы , , . Тогда
Следовательно,для любой -арной операции , любых различных получаем
Из определения 2.1. следует,что
Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что ,то это означает, что .
Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кон П.М. Универсальная алгебра. - М.: Мир, 1968. - 351 с.
2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. - М.Наука, 1983. - 272 с.
3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
4. Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с -централизаторными рядами конгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. - 1994. - № 1. - с. 30--34.
5. Smith D.H. Mal'cev varieties // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 554. - 158 p.
6. Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. - Вып. 7. - с.76--85.
7. Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. - Минск, 1991. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 - В91.
8. Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель:Изд-во Гомельского ун-та,2002.-с.30
9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.:Наука,1973.-339с.
10. Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p. 366--416.
Отзыв
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Дипломная работа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойств подалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основным методом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основных является понятие централизуемости. Это связано с определением локальных формаций.
В дипломной работе ''Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр'' решена задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
В процессе работы над дипломной работой студентка Шутова И.Н. проявила способность к самостоятельным исследованиям, умение работать с научной литературой.
Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки "отлично", а студентка Шутова И.Н. заслуживает присвоения ей квалификации "Математик. Преподаватель математики."
Научный руководитель,
к.ф.-м.н., доцент А.Д.Ходалевич
Рецензия
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Теория универсальных алгебр вплоть до 70-х годов развивалась исключительно в рамках теории многообразий. Появление в свет книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы ''Формации алгебраических систем'' указало на новые возможности в исследовании универсальных алгебр. Особую значимость в указанной теории играет понятие локальных формаций, в основе которых лежит понятие централизуемости.
В рецензируемой дипломной работе решается проблема адаптирования понятия ''централизуемость идеалов мультиколец'' работы [3] с работой Смита [5] и получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа аккуратно оформлена. Полученные здесь результаты являются новыми и представляют научный интерес.
Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки ``отлично''.
Рецензент
к.ф.-м.н.,доцент Харламова В.И.
Название реферата: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
| Слов: | 2825 |
| Символов: | 22903 |
| Размер: | 44.73 Кб. |