Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»
математический факультет
кафедра Алгебры.
РЕФЕРАТ
По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».
Выполнила:
Студентка
3
группы 6 курса
Браницкая Нина Анатольевна
Научный руководитель:
Ширшова Елена Евгеньевна.
Москва, 2010
Содержание:
Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4
Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3
1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 3
a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4
b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4
2. Множество квадратных матриц над полем 5
3. Тело кватернионов К
над полем 5
a. Основные свойства.......................................................................................................... 6
4. Алгебра Грассмана над полем 9
a. Следствия..................................................................................................... 10
5. Список литературы............................................................................................................ 11
1.
Основные понятия и определения.
Определение:
Пусть F
– поле, V
- некоторое множество, на котором заданы следующие операции:
1. операция сложения:
2. операция умножения:
Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F
, если выполняются следующие условия:
- абелева группа;
Элементы множества V называются векторами
, а элементы поля F – скалярами
.
Определение:
Векторное пространство А
над полем Р
называется алгеброй
, если выполняются следующие условия:
Определение (И.Л. Бухбиндер):
Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй
, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:
.
Определение:
Алгебра называется ассоциативной
, если .
Определение:
Алгебра называется коммутативной
, если .
Определение:
Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей
, а элемент - единицей алгебры
.
2.
Примеры некоммутативных алгебр.
1.
Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем
, в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.
Определение: Векторным произведением
вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:
1. ;
2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. , где ;
3. векторы , и образуют правую тройку векторов.
Обозначение:
, где .
Свойства векторного произведения.
1.
При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть
Доказательство:
Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .
2.
Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть .
Доказательство
: Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину ()
Поэтому . Аналогично доказывается при .
3.
Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть.
Доказательство:
. Следовательно, .
В частности, .
4.
Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть
Выражение векторного произведения через координаты.
Таблица векторного произведения векторов
Пусть заданы два вектора и , такие, что ,
Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: .
Проверим, является ли векторное пространство линейной алгеброй.
Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.
Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.
Следовательно, не является ассоциативной алгеброй.
Проверим, является ли коммутативной алгеброй.
, такие образом, .
Следовательно, не является коммутативной алгеброй.
Замечание:
является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.
2.
Множество квадратных матриц над полем
,
в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц
.
Замечание:
является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей .
3.
Тело кватернионов К
над полем
.
Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.
,
где - мнимые единицы со следующей таблицей умножения:
Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:
Определение:
Кватернион называется сопряженным
к .
Определение:
называется модулем
кватерниона .
Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.
Рассмотрим базис:
Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:
Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:
,
здесь - комплексно-сопряженные числа к .
Основные свойства.
1.
комплексному числу соответствует диагональная матрица;
2.
сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица .
3.
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы .
Докажем это свойство:
Следовательно, .
Проверим, является ли алгеброй.
1. - векторное пространство?
а). - абелева группа?
1).
2).
3).
4).
Из 1) - 4) следует, что
- абелева группа.
б).
в).
г).
д).
Из а) - д) следует, что - векторное пространство.
2.
Аналогично проверяется, что
3.
Аналогично проверяется, что .
Из 1-3 следует, что - алгебра над полем .
Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .
4.
Алгебра Грассмана над полем
.
Определение:
Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана
, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами:
(a) *свойство антикоммутативности* (1)
(b) любое другое соотношение между образующими элементами является следствием соотношения (1), в частности
Обозначение:
- алгебра Грассмана с образующими элементами.
Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.
Начнем с алгебры . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть .
Рассмотрим алгебру , содержащую два образующих элемента , причем .
Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: .
Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения .
Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:
(2)
где . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.
Следствия.
1
. Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению .
2
. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами
Подсчитаем число базисных элементов.
Число образующих равно , число мономов - числу сочетаний из элементов по 2, то есть , число мономов - числу сочетаний из элементов по 3, то есть , и так далее.
В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет
Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности .
Список литературы.
1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.
3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.
Название реферата: Некоторые примеры некоммутативных алгебр
| Слов: | 1316 |
| Символов: | 13047 |
| Размер: | 25.48 Кб. |