Случайные события
Оглавление
Опыт со случайным исходом.. 2
Статистическая устойчивость. 2
Понятие вероятности.. 3
Алгебра событий.. 4
Основная терминология в алгебре событий.. 8
Принцип двойственности для событий.. 10
Условные вероятности.. 12
Формула сложения вероятностей.. 12
Формула умножения вероятностей.. 13
Обобщение формулы сложения вероятностей.. 14
Обобщение формулы умножения вероятностей.. 15
Формула полной вероятности.. 16
Формула Байеса. 17
Пространство элементарных событий.. 17
Аксиомы теории вероятностей.. 19
Дискретное вероятностное пространство.. 20
Примеры
- алгебр.. 21
Условная вероятность и вероятностное пространство.. 23
Основные формулы комбинаторики.. 25
Системы частиц в статистической физике. 28
Последовательность независимых испытаний.. 29
Наивероятнейшее число в распределении Бернулли.. 32
Полиномиальное распределение. 33
Гипергеометрическое распределение. 34
Асимптотика Пуассона. 35
Поток случайных событий на оси времени.. 37
Локальная теорема Муавра-Лапласа. 38
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. 40
Опыт со случайным исходом
Пусть
- множество условий, при которых выполняется эксперимент
. Будем предполагать, что при фиксированном
эксперимент
может быть выполнен неограниченное число раз, причем при повторении опыта
его результаты могут быть различными. Таким образом, речь идет об эксперименте со случайным исходом (или результатом). Основная особенность такого эксперимента состоит в том, что его результат невозможно точно предсказать, а также в том, что наблюдаются нерегулярные изменения результатов в последовательности опытов, хотя каждый из них выполняется при одинаковом комплексе условий
.
Очевидно, что множество условий
не содержит все факторы, влияющие на исход опыта
. Поскольку иначе при каждом повторении опыта
(для фиксированного
) был бы получен один и тот же результат. Множество
- это комплекс контролируемых условий. Кроме них на исход опыта влияет множество неконтролируемых факторов, учесть которые в принципе невозможно.
Теория вероятностей изучает математические модели экспериментов со случайным исходом. Рассмотрим примеры таких опытов.
1. Бросание монеты. Здесь результат каждого опыта - это выпадение герба, или обратной стороны монеты - «решетки». Таким образом, всего имеется два возможных исхода опыта.
Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей принято называть событием (или случайным событием). Поэтому в данном эксперименте результатами являются случайное событие
- выпадение герба при бросании монеты и событие
- выпадение «решетки».
2. Бросание игральной кости. Игральная кость - это кубик из однородного материала, шесть граней которого перенумерованы числами от 1 до 6. Здесь в качестве результата эксперимента можно рассматривать шесть случайных событий:
- выпадение грани с номером 1, ... ,
- выпадение грани с номером 6. Однако в данном случае не обязательно исходом эксперимента считать выпадение одной из шести граней. Можно, например, условиться, что эксперимент имеет не шесть, а лишь три исхода: событие
- это выпадение любой из грани с номером 1,2 или 3,
- выпадение одной из граней с номером 4 или 5 и, наконец,
- выпадение грани с номером 6. Но и в этом случае удобно выделить события
- выпадение грани с номером
, а все остальные события описывать через
. Дело в том, что события
в данном опыте являются самыми простыми или, как говорят, элементарными. Кроме того, ни один из элементарных исходов
,
=1, ... , 6, нельзя считать более предпочтительным или более вероятным, чем другой. Поэтому каждому элементарному исходу естественно приписать одинаковую вероятность 1/6.
3. Стрельба по мишени. Пусть мишень состоит из центрального круга и 9 концентрических колец. В данном случае результат опыта - это одно из событий: попадание в круг, попадание в любое из 9 колец или мимо мишени; всего 11 случайных событий.
4. На отрезок
, длины
наугад случайным образом бросается точка. В качестве исхода опыта можно взять событие
, состоящее в том, что точка попадет на отрезок
, содержащийся в
.
5. На отрезок
, длины
наугад случайным образом бросаются 2 точки. Такой опыт эквивалентен тому, что на квадрат
бросается наугад одна точка. В данном случае результат опыта - это попадание точки в заданную область
из квадрата
.
Статистическая устойчивость
В последовательности экспериментов со случайным исходом невозможно точно предсказать результаты отдельных опытов, так как в этих результатах обнаруживаются нерегулярные случайные колебания, не поддающиеся точному учету. Однако, если рассматривать последовательность в целом, а не отдельные результаты, то можно обнаружить чрезвычайно важное явление: несмотря на нерегулярное изменение результатов в отдельных опытах, средние результаты в достаточно длинной последовательности экспериментов со случайным исходом обнаруживают устойчивость.
Пусть в результате эксперимента
событие
может произойти или не произойти. Если выполнено
экспериментов
, в которых событие
произошло
раз, то число
(2.1)
называется частотой появления события
.
Экспериментально установлено, что при увеличении
частота
имеет тенденцию сходиться к некоторому постоянному значению. Об этом экспериментальном факте говорят как об устойчивости частоты, или о статистической устойчивости. Однако, не следует думать, что всякий эксперимент со случайным исходом обладает свойством устойчивости частоты. В теории вероятностей речь идет только об экспериментах, обладающих этим свойством. В качестве иллюстрации свойства статистической устойчивости рассмотрим график зависимости частоты
появления герба при бросании монеты от числа
опытов, представленный на рис.2.1. Для построения этого графика выполнялось бросание монеты 30 раз, в каждом опыте фиксировался исход и вычислялась частота
по формуле (2.1), где
- число опытов, из которых в
опытах появился герб.
Рис. 2.1. График частоты появления герба как функции числа
бросаний монеты.
Естественно выдвинуть предположение о существовании предела,
, (2.2)
к которому стремится частота с увеличением числа
опытов. Однако, это предположение не может быть доказано или отвергнуто опытом. Но опыт подтверждает более слабое утверждение об устойчивости частоты появления события. Факт статистической устойчивости и является эмпирической основой теории вероятностей и математической статистики.
Понятие вероятности
Теория вероятностей - это математическая теория, которая дает описание экспериментов со случайными исходами, обладающих свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей строится как аксиоматическая теория, то есть в ее основу положена система аксиом. В свою очередь аксиомы сформулированы на основе экспериментальных данных, а именно на свойствах частоты и, в частности, на факте статистической устойчивости, состоящем в тенденции частоты
появления события
стать постоянной и равной некоторому числу
при большом числе повторений
эксперимента
.
Таким образом, при построении теории необходимо ввести число
называемое вероятностью события
, что реализуется с помощью одной из аксиом, которая называется аксиомой существования вероятности. Далее необходимо рассмотреть основные свойства частот и выразить эти свойства как утверждения относительно свойств вероятностей. Эти утверждения вместе с постулатом существования вероятности образуют систему аксиом теории вероятностей.
Частоту
можно рассматривать как результат измерения (оценивания) вероятности
по экспериментальным данным. Таким образом, равенство
означает, что при большом числе
опытов
, а ошибка
имеет тенденцию снижаться с увеличением
. Поскольку
, то частота
появления события
в серии из
опытов удовлетворяет условию
. (3.1)
Аналогичному условию должна удовлетворять и вероятность:
. (3.2)
Рассмотрим значения вероятности на границах интервала
. Пусть
, тогда событие
называется невозможным и обозначается символом
. Для невозможного события его частота
и имеет тенденцию приближаться к нулю с увеличением числа
опытов. Если
, то событие
называется достоверным и обозначается символом
. Частота достоверного события
и с увеличением числа
опытов имеет тенденцию приближаться к единице.
Алгебра событий
Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть
- некоторое событие.
1. Дополнением события
называется событие
, состоящее в том, что событие
не произошло.
Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий
таково, что исход каждого опыта – это попадание точки в область
плоскости, рис.4.1. Реализовать такой опыт можно,
Рис. 4.1. Событие
и его дополнение
.
бросая шарик радиуса
в сосуд с плоским дном. При этом область
– это та часть дна сосуда, в которую может попасть центр шарика, то есть области
не принадлежит только полоса шириной
около стенки сосуда. Пусть
– подобласть области
. Множества
и
точек плоскости можно рассматривать как события:
– событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попадет в область
; и событие
– это попадание точки в область
. По условию событие
появляется в каждом опыте, его вероятность
, следовательно,
– достоверное событие. По определению
– это событие, состоящее в том, что
не произошло. Поэтому в данной интерпретации
– это непопадание точки в область
, то есть
– попадание точки в заштрихованную область, рис.4.1.
2. Объединением (или суммой) двух событий
и
называется третье событие
, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий
или
. Для объединения будем использовать обозначение
или
. (4.1)
Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть
– событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также
, рис. 4.2. Аналогично событие
– это попадание точки в область
Рис. 4.2. События
,
и их объединение
.
. Тогда событие
– это попадание точки в заштрихованную область, рис. 4.2.
Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.2)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий
,
… . Событие
(4.3)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий
…
. Очевидно операция объединения коммутативна по определению:
(4.4)
и ассоциативна, что также следует из определения:
. (4.5)
3. Пересечением (или произведением) двух событий
и
называется третье событие
, состоящее в том, что произошли оба события
и
. Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения
или
. (4.6)
Геометрическая интерпретация операции пересечения представлена на рис. 4.3., где
и
– события и
– их пересечение – заштрихованная область.
Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.7)
состоит в том, что происходят все события
Событие
(4.8)
состоит в том, что происходят все события
. (4.9)
По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие:
, (4.10)
а также ассоциативна:
. (4.11)
Рис. 4.3. События
,
и их пересечение
.
Операции объединения
и пересечения
взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:
. (4.12)
На рис. 4.4,а представлены события
горизонтальной штриховкой и вся левая часть (4.12) – вертикальной штриховкой. Аналогично на рис. 4.4, б представлены: событие
– горизонтальной штриховкой, событие
– вертикальной штриховкой, вся правая часть (4.12) – штриховкой "в клеточку".
а б
Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности объединения относительно пересечения.
Аналогично (4.12) операция пересечения дистрибутивна относительно
объединения:
. (4.13)
На рис. 4.5, а представлены: событие
– горизонтальной штриховкой и левая часть соотношения (4.13) – штриховкой "в клеточку". На рис. 4.5,б: событие
– горизонтальной штриховкой, событие
– вертикальной штриховкой и вся правая часть (4.13) – это вся заштрихованная область.
а б
Рис. 4.5. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности пересечения относительно объединения.
Отметим, что если в (4.13) для операции объединения использовать знак "+", а для пересечения – отсутствие знака, то (4.13) принимает хорошо знакомый вид:
(4.14)
– закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности (4.12) сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.
4. Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.
Система событий
называется алгеброй событий, если для любой пары событий
и
из условий
(4.15)
следует, что события
,
,
,
содержатся в
.
Говорят, что алгебра событий – это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.
Основная терминология в алгебре событий
Событие
называется невозможным, если
. Для обозначения невозможного события будем использовать символ Æ.
Событие
называется достоверным, если
. Обозначается достоверное событие символом
. Очевидно Æ
=Æ,
.
События
и
называются противоположными. Имеют место равенства
,
,
.
События
и
называются несовместными, если
. Поскольку
, то события
и
– несовместные.
События
образуют полную группу, если
. (5.1)
Это означает, что в результате опыта появится хотя бы одно из событий, образующих полную группу.
События
и
называются независимыми, если
не зависит от того произошло событие
или нет, и наоборот,
не зависит от того произошло или нет событие
.
Если событие
происходит всякий раз, когда происходит событие
, то
называется следствием события
, это записывается в виде соотношения
или
, (5.2)
что читается как "из
следует
" и "
есть следствие
". Отношению следствия можно дать геометрическую интерпретацию, рис. 5.1.
Рис. 5.1. Событие
и его следствие
.
Если
и
, то события
и
называются эквивалентными, это записывается в виде
.
Событие
, состоящее в том, что событие
произошло, а событие
не произошло, называется разностью событий
и
и обозначается
. (5.3)
Из определения следует
, таким образом,
. (5.4)
Если в первом равенстве (5.4) положить
, то
.
Геометрическая интерпретация разности двух событий
и
представлена на рис. 5.2.
Рис. 5.2. События
,
и их разность
.
Принцип двойственности для событий
В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:
, (6.1)
. (6.2)
Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1)
,
, тогда (6.1)
или
, что совпадает с (6.2).
Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда
, (6.3)
теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события
и
заменить на противоположные
и
, объединение на пересечение и наоборот – пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.
К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:
, (6.4)
геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где
отмечено горизонтальной штриховкой и
– вертикальной штриховкой.
Рис. 6.1. События
,
и их дополнения.
Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события:
– горизонтальной
Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий
и
.
штриховкой,
– вертикальной штриховкой и
– штриховкой "в клеточку".
Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий
и
.
Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.
Условные вероятности
Пусть события
и
имеют вероятности
и
. Рассмотрим вероятность события
, если известно, что произошло событие
. При этом в общем случае вероятность события
изменяется и становится отличной от
. Эта вероятность обозначается
и называется условной вероятностью события
при условии, что
произошло, или просто – вероятностью
при условии
.
Следует различать две ситуации. 1). Если
, то события
и
зависимые. 2). Если
, то события
и
независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие
- это выпадение единицы,
- выпадение нечетного числа. Тогда
=1/6, а
=1/3, следовательно
и
- зависимые события.
Если
- результат опыта, то
называют доопытной или априорной вероятностью события
, а условную вероятность
- послеопытной или апостериорной вероятностью события
.
Формула сложения вероятностей
Образуем из событий
и
с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:
. (8.1)
Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий:
. Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):
где
- достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).
Пусть эксперимент
выполнялся
раз, и в качестве его исхода событие
наблюдалось
раз, событие
наблюдалось
раз, событие
-
раз и событие
-
раз. Очевидно,
. (8.2)
Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:
. (8.3)
Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):
. Поэтому частота
. (8.4)
Аналогично
и частота
события
имеет вид:
. (8.5)
Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):
. (8.6)
Отсюда:
. (8.7)
Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:
, (8.8)
которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.
Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):
. (8.9)
Если события
и
несовместны, то
=0 и формула сложения вероятностей принимает вид:
. (8.10)
Формула умножения вероятностей
Объединение первых двух событий системы (8.1)
. В последовательности из
опытов событие
появилось
раз, а событие
-
раз. Поэтому событие
появилось
раз. Определим число появлений события
при условии, что событие
произошло. Событие
происходит, если происходит
или
, число таких исходов равно
, при этом событие
происходит, если происходит
, число таких исходов равно
. Таким образом, условная частота появления события
при условии, что
произошло
. (9.1)
Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:
(9.2)
- формула умножения частот.
Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)
, (9.3)
поскольку событие
и появляется
раз в последовательности из
опытов, при этом событие
происходит
раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:
(9.4)
- второй вариант формулы умножения частот.
Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:
. (9.5)
Если события
и
независимые, то условные вероятности равны безусловным:
, тогда (9.5) принимает вид:
. (9.6)
Обобщение формулы сложения вероятностей
Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий
равна
. (10.1)
Здесь, например
, означает тройную сумму по индексам
,
и
, которые пробегают значения
и удовлетворяют условию
. Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом
слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как
- кратную сумму по индексам
при условии на индексы:
, что и приводит к вырождению
- кратной суммы до одного слагаемого (10.1).
Пусть события
являются несовместными, тогда из (10.1) следует
(10.2)
- вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Обобщение формулы умножения вероятностей
Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий
равна
. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События
называются независимыми в совокупности, если события
и
- независимые при любом выборе событий
из данной совокупности и любом
.
Для независимых
и
условные вероятности
и формула (11.1) принимает вид
. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный (
), зеленый (
) и синий (
) цвета, а четвертая - в три цвета (
). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна
. Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна
. Таким образом, события
и
независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события
,
и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна
. Отсюда следует, что события
,
и С не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из
параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна
. Разрыв цепочки из
параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий
,
,
- разрыв
-го элемента. Таким образом, необходимо определить
. Согласно формуле (11.2)
.
(11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из
последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна
. В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий
,
. Следовательно, необходимо определить
. Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие
, которое состоит в том, что
-й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно
, откуда
- вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента
. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при
и
получаем
и
Формула полной вероятности
Пусть
- полная группа несовместных событий. Тогда выполняются условия:
(12.1)
- достоверное событие и для любых
пересечение
- невозможное событие. Представим некоторое событие
в виде
. (12.2)
Далее используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения, тогда
. (12.3)
Отметим, что при любых
события
и
несовместны. Действительно,
. Поэтому из (12.3) следует
(12.4)
или, выражая вероятность пересечения через произведение вероятностей согласно (9.5),
. (12.5)
Равенство (12.5) называется формулой полной вероятности.
В частном случае попарно независимых событий
и
условные вероятности
и преобразуется следующим образом:
.
Таким образом, для независимых событий
и
формула (12.5) вырождается в равенство
.
Формула Байеса
Пусть также как в п.12 несовместные события
образуют полную группу и
- некоторое событие. Согласно формуле умножения вероятностей (9.5)
. (13.1)
Отсюда
. (13.2)
Здесь знаменатель
можно представить по формуле полной вероятности (12.5). Тогда
. (13.3)
Формулы (13.2) и (13.3) называются формулами Байеса.
Формулам Байеса может быть дана следующая интерпретация. Пусть событие
- это исход опыта. Тогда вероятности
можно назвать априорными или доопытными, а вероятности
- апостериорными или послеопытными. Таким образом, формула (13.3) связывает между собой априорные и апостериорные вероятности событий
, т.е. позволяют учесть информацию, полученную в результате опыта и ее влияние на вероятность событий
.
Для независимых событий
и
условные вероятности
, тогда правая часть (13.3) преобразуется следующим образом:
,
и формула (13.3) принимает вид
.
Пространство элементарных событий
14.1 В общей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие двум условиям: 1) в результате эксперимента происходит один и только один из этих исходов, 2) по смыслу элементарный исход неразложим на «более элементарные». Каждый такой исход принято называть элементарным событием и обозначать символом . Рассмотрим примеры элементарных исходов.
1. В опыте с бросанием монеты элементарными событиями являются: - выпадение герба, - выпадение «решетки». При этом считается, что стать на ребро монета не может.
2. В эксперименте с игральной костью элементарные события - это появление грани соответственно с номерами 1,...,6.
3. Последовательность из бросаний монеты. Здесь элементарными событиями являются последовательности вида: , где - появление герба или - появление «решетки». Число элементарных событий (разных последовательностей) равно .
4. В эксперименте с бросанием точки на отрезок элементарное событие - это попадание точки в некоторую координату отрезка , что принято изображать точкой, расположенной в данной координате отрезка . Поэтому говорят, что элементарное событие в данном случае - это точка отрезка .
5. В эксперименте с бросанием двух точек на отрезок элементарное событие - это пара точек на или одна точка в квадрате .
14.2. Множество всех элементарных событий в теории вероятностей принято называть пространством элементарных событий и обозначать буквой . Элементарные события называют точками пространства элементарных событий .
14.3. Всякий результат эксперимента со случайным исходом принято называть событием. Для каждого события и каждого элементарного события известно, влечет наступление или нет, т.е. выполняется условие или нет. Тем самым совокупность тех , которые влекут , полностью определяют . Обратно: произвольное множество точек можно рассматривать как событие , которое происходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет множеству элементарное событие , представляющее данный исход опыта. Таким образом, событие можно считать подмножеством , состоящим из точек , представляющих те исходы эксперимента, при которых происходит . По этой причине нет различия между событием и соответствующим подмножеством .
14.4. Рассмотрим примеры пространств элементарных событий. 1). В эксперименте с бросанием монеты пространство элементарных событий , где - появление герба, - появление «решетки». 2). При бросании игральной кости пространство элементарных событий , где - выпадение грани с номером . 3). Если опыт состоит в бросании монеты раз, то пространство элементарных событий состоит из всех последовательностей вида , где - появление герба или - появление «решетки». Число всех последовательностей (или точек пространства) равно . 4). В опыте с бросанием точки на отрезок пространство элементарных событий - это отрезок . 5). Наконец, при бросании двух точек на отрезок пространство элементарных событий - это квадрат .
Аксиомы теории вероятностей
Пусть
- пространство элементарных событий,
- алгебра событий (алгебра подмножеств множества
). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.
1. Алгебра событий
является
- алгеброй событий.
Система событий
называется
- алгеброй, если для всякой последовательности событий
,
, их объединение
, пересечение
и дополнения
, также принадлежат
, т.е.
,
,
являются также событиями. Таким образом,
- алгебра
- это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.
2. На
- алгебре событий
для любого
определяется функция
, называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала [0,1] :
.
Данная аксиома - это аксиома существования вероятности
- как функции на
со значениями из интервала
. Следующие три аксиомы определяют свойства функции
.
3. Для любых двух событий
, таких, что
(15.1)
- аксиома сложения вероятностей.
Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий
. (15.2)
4. Пусть
,
, - попарно несовместные события:
и пусть
. Тогда
. (15.3)
Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие
следует понимать как предел последовательности
. (15.4)
При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции
:
или
(15.5)
- которое позволяет операцию предела вынести за функцию
. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):
. (15.6)
5.
. (15.7)
Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий
- есть достоверное событие. Таким образом,
содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.
Пространство элементарных событий
,
- алгебра событий
и вероятность
на
, удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать
.
Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют
, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность
можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.
Дискретное вероятностное пространство
Вероятностное пространство
называется дискретным, если
конечно или счетно,
-
- алгебра всех подмножеств
(включая
), вероятность
определена для каждого одноточечного подмножества
пространства элементарных событий
:
,
, (16.1)
. (16.2)
Для любого события
его вероятность
определяется равенством
. (16.3)
Примеры
- алгебр
17.1. Пусть
- произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения
- алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в
- алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие
, то возможно построить только его дополнение
. Теперь имеется система из двух событий {
}. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере
- алгебра
.
17.2. Пусть
- пространство элементарных событий и
- некоторое событие, не совпадающее с
, т.е.
. Таким образом, имеется система из двух событий
. Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями
. Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется
- алгеброй, порожденной системой событий
.
Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат
,
- это новые события, не содержащиеся в исходной системе
, включение которых дает новую систему событий
. (17.1)
Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является
- алгеброй, порожденной системой
.
17.3. Усложним пример. Пусть
- пространство элементарных событий,
- два несовместных события, таких что
. Таким образом, имеется система трех событий
. Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события
. Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий
(17.2)
является
- алгеброй, порожденной системой событий
.
17.4. Рассмотрим
- пространство элементарных событий и два произвольных события
, рис. 17.1. Для построения
- алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.
На
выделим все несовместные события
, рис. 17.1. При этом
,
,
,
,
и т.д.
- алгебра будет содержать все события
, все объединения событий
, а также невозможное событие
. Действительно, операция пересечения любых событий из множества
порождает единственное событие
. Операция дополнения над событиями из множества
порождает событие, которое выражается через объединение событий
. Следовательно, над событиями
достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий
.
Теперь для построения
- алгебры рассмотрим события
, все их объединения и выразим полученные события через исходные
. Очевидно:
,
,
,
<
,
,
;
,
;
. Тройные объединения:
,
,
,
.
Таким образом,
- алгебра содержит события:
,
,
,
;
,
,
,
,
,
;
,
,
,
, а также
и
- всего 16 событий.
Отметим, что при определении
- алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.
Отметим, что события
совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно,
,
,
и наконец, по формуле (6.1)
.
17.5.
Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий
- содержит
произвольных событий
. Для построения
- алгебры, подобно примеру 4, введем события вида
, (17.3)
где каждое
или
, причем
и
. Поскольку каждое
может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида
равно
. Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события
на
- алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие
через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события
. В теории множеств множества вида
называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий
- алгебры не превышает
(включая
и
), причем число событий достигает максимального значения, когда все
отличны от
(как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в
- алгебре в зависимости от
- числа событий в исходной системе. Для примера 4 число
, следовательно, число событий в
- алгебре равно
.
Условная вероятность и вероятностное пространство
18.1. Пусть
- вероятностное пространство. Рассмотрим интерпретацию условной вероятности
события
, если известно, что произошло событие
, причем
. При этих условиях пространством элементарных событий естественно считать не
, а
, поскольку тот факт, что
произошло, означает, что речь идет лишь о тех элементарных событиях
, которые принадлежат множеству
. Среди элементарных событий
, только те из них влекут событие
, которые принадлежат
. Поскольку событие
отождествляется с множеством элементарных событий, влекущих
, то теперь (при условии, что
- произошло) событие
следует отождествлять с множеством
. Можно сказать, что множество
есть событие
, рассматриваемое с точки зрения, согласно которой пространством элементарных событий объявлено событие
.
18.2. На новом пространстве элементарных событий
- алгебра событий
определяется, или, как говорят, индуцируется
- алгеброй событий
, а именно
состоит из событий вида
, где
. Проверим, что
действительно
- алгебра. Пусть
- события из
, где
. Необходимо показать, что их объединения, пересечения и дополнения также принадлежат
.
Рассмотрим объединение
. (18.1)
Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны, в частности, пересечение дистрибутивно относительно объединения:
, (18.2)
где
- события. Пусть
,
,
, тогда из (18.1) следует
. (18.3)
Поскольку
,
, а
-
- алгебра, то и объединения
. Поэтому
, а согласно (18.3)
. Аналогично
. (18.4)
Следовательно,
. Проверить факт
не составляет труда, действительно,
. (18.5)
Наконец, рассмотрим дополнение
, (18.6)
откуда следует
. Таким образом,
является
- алгеброй событий вида
.
18.3. На
- алгебре
вводится вероятность
,
. (18.7)
Отметим, что если положить
, то
,
,
. Поэтому в (18.7) знаменатель
выполняет нормировку на новое пространство элементарных событий
.
Теперь тройка
является новым вероятностным пространством, построенным в связи с поставленной задачей, в которой событие
обычно рассматривается как результат опыта. Причем вероятность
на
(18.7) можно рассматривать и на
, при этом
также является вероятностью и обозначается
. Поэтому (18.7) можно представить:
,
. (18.8)
Вероятность
как функция на
называется условной вероятностью события
при условии, что событие
произошло.
18.4. Отметим, что свойства условной вероятности аналогичны соответствующим свойствам безусловной вероятности. В частности, имеют место соотношения:
, (18.9)
, (18.10)
Для несовместных событий
, (18.11)
, (18.12)
где событие под знаком вероятности можно преобразовать:
. Поэтому в (18.12)
. (18.13)
Подставим (18.13) в (18.12), тогда
. (18.14)
Это соотношение полностью аналогично формуле сложения безусловных вероятностей.
Основные формулы комбинаторики
Имеется большое число задач, в которых вычисление вероятностей выполняется с помощью комбинаторных формул. Рассмотрим основные комбинаторные формулы.
19.1. Перестановки. Пусть имеется
различных объектов
. Эти объекты перенумерованы, и следовательно, образуют последовательность (или упорядоченное множество). Поменяем местами два объекта
и
. Тогда получим новую последовательность
. Затем можно в исходной последовательности на первое место поставить
, а объект
соответственно на третье и т.д., получая каждый раз новую последовательность из
объектов. Разные последовательности отличаются только порядком следования объектов, поэтому в общем случае последовательность, полученная при перестановке объектов, имеет вид:
.
Возникает вопрос, чему равно число разных последовательностей
? (Или просто чему равно число перестановок?) Ответ может быть получен путем следующих рассуждений. Объект
можно выбрать
способами, то есть в качестве
можно взять любой объект среди
. Если
выбран, то
можно выбрать
способом, поскольку в исходной последовательности осталось
объектов, каждый из которых может быть выбран в качестве второго объекта
новой последовательности и т.д. Всего, таким образом, существует
способов образовать последовательность
, выбирая объекты из совокупности
. Число
называется числом перестановок
разных объектов.
19.2. Размещения. Усложним условие задачи. Пусть имеется
различных объектов
. Чему равно число разных последовательностей вида
,
, полученных при извлечении
объектов из исходной последовательности
разных объектов?
Аналогично как и в первой задаче, в данном случае объект
можно выбрать
способами. Если
выбран, то объект
можно выбрать
способом и т.д. Наконец, объект
можно выбрать
способом. Таким образом, всего существует
(19.1)
способов образовать последовательность из
объектов, выбирая объекты из совокупности
. Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: сколько существует способов размещения
из
различных объектов по
местам. Число
(19.1) называется числом размещений из
по
. Отметим, что при
из (19.1) следует
.
19.3. Сочетания. Пусть имеется
различных объектов
, из которых выбирается
объектов
, образующих множество
. Сколькими способами можно образовать множество
?
В отличие от размещений результатом извлечений объектов из совокупности
является не последовательность, а множество
. В последовательности важен порядок расположения элементов, так две последовательности
и
— разные, они различаются расположением элементов
и
. Если рассматривать два множества
и
, то эти множества одинаковые:
, поскольку порядок расположения элементов
на множестве не имеет значения. Важен только вопрос: содержится элемент
в данном множестве или нет? Таким образом, данная задача отличается от задачи на число размещений тем, что извлекаемые
объектов образуют множество
, на котором не важен порядок расположения объектов, а важен только факт наличия или отсутствия элемента
в множестве
.
Сочетанием из
элементов по
называется любое подмножество из
элементов множества, содержащего
элементов. Число всех сочетаний обозначается записью
. Наша задача сводится к нахождению числа
. Если, извлекая объекты из совокупности
, строить из них последовательность
, то есть учитывая расположение объектов, то число разных последовательностей равно числу
- размещений из
по
. В данной задаче интерес представляет множество
, для которого разный порядок расположения
заданных элементов
дает одно и то же множество. Число перестановок
разных элементов равно
. Поэтому число размещений
в
больше числа сочетаний
. Из (19.1) следует
(19.2)
19.4. Перестановки с повторениями. Имеется
объектов, но не все эти объекты разные, среди них имеются одинаковые объекты или неразличимые. Пусть среди
объектов
объектов 1-го типа,
объектов 2-го типа, …,
объектов
-го типа. Других объектов нет, так что
. (19.3)
Чему равно число
разных последовательностей из
объектов, которые можно образовать, извлекая их из совокупности в
объектов?
Если все
объектов были бы разными, например пронумерованы от 1 до
, то число разных последовательностей было бы равно
. Поскольку имеются
неразличимых объектов 1-го типа, то перестановка двух объектов 1-го типа между собой не дает новой последовательности. Это следует учесть. Число перестановок между объектами 1-го типа равно
Поэтому за счет неразличимости перестановок между объектами 1-го типа, общее число разных последовательностей уменьшается в
раз. Аналогично следует учесть неразличимые перестановки между объектами 2-го типа, их
и т.д. Таким образом, число
разных перестановок совокупности из
объектов, среди которых
объектов 1-го типа,
объектов 2-ого типа, …,
объектов
-го типа, равно
. (19.4)
Из (19.4) следует при
, то есть при условии что все объекты разные,
(19.5)
- число перестановок
разных объектов (или без повторения).
Из (19.4) можно получить другой частный случай при
,
,
:
, (19.6)
что позволяет интерпретировать
как число перестановок
объектов, среди которых
объектов 1-го типа и
объектов 2-го типа.
19.5. Размещения с повторениями. Пусть имеется
разных объектов
, из которых выбирается объект, фиксируется и возвращается обратно. Таким образом извлекается
объектов
. (19.7)
Последовательность (19.7) называется размещением с повторениями из
(элементов) по
(местам). Таким образом, в последовательности (19.7) могут встречаться одинаковые объекты, в отличие от размещения (без повторения), когда объекты извлекаются из исходной совокупности без возвращения.
Сколькими способами может быть образована последовательность (19.7) при извлечении с возвращением? Поскольку первый объект
может быть выбран
способами, второй объект
-также
способами и т.д., то существует
(19.8)
размещений из
по
с повторениями.
Системы частиц в статистической физике
20.1. Система Максвелла-Больцмана. Характеризуется как система
разных частиц, каждая из которых может находиться в одной из
ячеек (состояний) вне зависимости от того, где при этом находятся остальные частицы. Чему равно число различных размещений
частиц по
ячейкам в этой системе? Первую частицу можем поместить в любую из
ячеек, то есть
способами. Вторую частицу также можно поместить в любую из
ячеек и т.д. Таким образом, имеется всего
разных размещений
частиц по
ячейкам. Если при этом все размещения (состояния системы) считаются равновероятными, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Максвелла-Больцмана. Вероятность каждого состояния равна
.
20.2. Систем Бозе-Эйнштейна. Определяется как система
неразличимых (тождественных, одинаковых) частиц, каждая из которых независимо от остальных может находиться в одной из
ячеек (состояний частицы). Поскольку частицы неразличимы, каждое состояние такой системы задается "числами заполнения"
, где
— число частиц в
ячейке. Подсчитаем число разных состояний системы, то есть число размещений частиц, различающихся лишь числами заполнения.
20.2.1. Состояние системы удобно представить рис.20.1, где черточкой изображается граница ячейки, а точкой — частица.
Рис. 20.1. Состояние системы частиц.
Конфигурация (состояние) из
точек и
границы полностью определяется положениями внутренних
черточек. Две крайние черточки закреплены и перемещаться не могут. Отметим, что если поменять местами любые две или несколько частиц, то конфигурация (состояние) не изменится ввиду неразличимости частиц. Точно также конфигурация не изменится, если поменять местами две внутренние черточки. Однако каждый раз, когда меняются местами частица и черточка будет получено новое состояние системы. Число черточек и частиц равно
, а общее число перестановок черточек и частиц равно
. Из них существует
перестановок черточек межу собой, которые не приводят к новому состоянию, а также существует
перестановок частиц между собой, не приводящие к новым состояниям. Поэтому число разных состояний системы равно:
. (20.1)
Это число в комбинаторике называют числом сочетаний с повторениями из
по
. Если все состояния системы равновероятны, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. При этом вероятность каждого состояния равна
. (20.2)
20.2.2. Если число частиц
— не меньше числа ячеек, то можно дополнительно потребовать, чтобы в каждом состоянии ни одна ячейка не оставалась пустой. При этом число возможных состояний уменьшится по сравнению с (20.1). Определим это число. Для этого "приклеим" к каждой из
черточек справа по одной точке, исключив последнюю
-ю (правую) черточку. Теперь, переставляя границу ячейки в виде "черточка + частица", будем получать состояния, когда в каждой ячейке будет не менее одной частицы. Всего имеется, как и в первом случае,
границ, которые можно переставлять, а также
— число границ плюс свободных частиц, поскольку
частиц "приклеены". Общее число перестановок границ и свободных частиц равно
. Среди них
перестановок между собой границ, которые не приводят к новым состояниям, а также
перестановок между собой свободных частиц, которые также не дают новых состояний. Поэтому число разных состояний системы равно
,
. (20.3)
20.3. Система Ферми-Дирака. Определяется как система Бозе-Эйнштейна, в которой дополнительно действует принцип запрета (принцип Паули), требующий, чтобы в каждой ячейке находилось не более одной частицы. Частицы и в этом случае неразличимы, поэтому состояние системы характеризуется числами заполнения
для
. Очевидно, в данном случае число частиц
— числа ячеек (состояний частицы). Состояние системы можно задать, выбирая
заполненных ячеек из общего числа
ячеек. Число разных способов выбора равно
. Если все состояния равновероятны, то говорят о статистике Ферми-Дирака. При этом вероятность каждого состояния равна
. (20.4)
Статистике Максвелла-Больцмана подчинены системы молекул газа в классической статистической физике. Системы частиц с целым и полуцелым спином подчиняются соответственно статистикам Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.
Последовательность независимых испытаний
21.1. Пусть эксперимент
может быть повторен
раз. Тогда говорят о последовательности (или серии) испытаний (опытов, экспериментов). Пусть последовательность опытов характеризуется тем, что результат любого опыта не зависит от результатов остальных опытов данной последовательности. Тогда говорят о последовательности независимых испытаний. Пусть опыт
имеет два исхода - событие
или
. Тогда последовательность независимых испытаний называется вероятностной схемой Бернулли. Обычно исход
условно называют успехом, а исход
- неудачей. Обозначим вероятность успеха
и вероятность неудачи
. Очевидно
.
В качестве примеров схемы Бернулли можно привести опыт с бросанием монеты или игральной кости. В первом примере успех
- это выпадение герба и неуспех
- выпадение решетки, при этом
. Во втором примере в качестве успеха
можно рассматривать выпадение грани с номером 1, тогда
- невыпадение номера 1, при этом
и
.
Определим в схеме Бернулли вероятность
того, что в серии из
испытаний успех наступит
раз. Очевидно
. Рассмотрим последовательность
опытов и будем фиксировать результат каждого опыта, то есть событие
или
. Тогда последовательность исходов может иметь, например, вид
, (21.1)
то есть ее первые
элементов - это события
и последующие
элементов - события
. Другими словами, в первых
опытах наступает успех и в последующих
опытах - неуспех. По условию исходы в последовательности (21.1) - это независимые события, поэтому по формуле умножения вероятность
появления последовательности вида (21.1) равна
. (21.2)
При подсчете вероятности
следует учесть все возможные последовательности, состоящие из
событий
и
событий
. Вероятность появления любой их этих последовательностей одинакова и равна
. Кроме этого последовательности являются несовместными событиями, поскольку в каждой серии опытов реализуется только одна из этих последовательностей. Поэтому по формуле сложения вероятностей:
, (21.3)
где суммирование ведется по всем последовательностям, содержащим
событий вида
и
событий
. Число этих последовательностей равно
, поскольку может быть определено как число различных перестановок элементов последовательности (21.1), содержащей
элементов 1-го типа (событий
) и
элементов 2-го типа (событий
) по формуле (19.6). Таким образом, из (21.3) следует
. (21.4)
Это соотношение называется формулой Бернулли или биномиальным распределением вероятностей. Последнее связано с тем, что
равно общему члену бинома
.
Рассмотрим пример. Бросается монета. Какова вероятность выпадения 0,1,2,3,4 раз герба при 4 бросаниях? Здесь вероятность успеха (появления герба) в одном опыте равна
,
,
По формуле (21.4) вычисляются вероятности
,
,
,
,
. На рис. 21.1 представлен график зависимости
.
Рис. 21.1. График зависимости вероятности от числа успехов в опыте с бросанием монеты.
21.2. Вычислим вероятность
того, что в серии из
независимых опытов число успехов
будет лежать в интервале
. В соответствии с формулой сложения вероятностей
. (21.5)
Определим, какова вероятность появления хотя бы одного успеха в серии из
опытов. Очевидно, речь идет о вероятности того, что число успехов
будет лежать в интервале
. Таким образом, искомая вероятность определится формулой (21.5) при
и
:
. (21.6)
Это выражение можно преобразовать, если учесть равенство
. (21.7)
Левая часть (21.7) согласно формуле сложения вероятностей представляет собой вероятность события, состоящего в том, что число успехов
принимает значение из интервала
. Это событие является достоверным, поэтому его вероятность равна единице. Теперь (21.6) можно представить в виде:
. (21.8)
Наивероятнейшее число в распределении Бернулли
Число
, для которого
(21.4) достигает максимального значения, называется наивероятнейшим числом в распределении Бернулли. Очевидно, наивероятнейшее число
определяется двумя условиями:
, (22.1)
. (22.2)
Для нахождения числа
решим систему двух неравенств (22.1), (22.2) относительно
. Подставим в первое неравенство формулу (21.4), тогда
. (22.3)
После сокращения в левой части неравенство принимает вид:
,
откуда
или
. (22.4)
Аналогично решим второе неравенство:
. (22.5)
После сокращения
,
откуда
или
. Что сводится к выражению:
. (22.6)
Таким образом, наивероятнейшее число
в распределении Бернулли определяется двумя условиями (22.4) и (22.6):
. (22.7)
По условию задачи число
– целое по условию задачи и лежит в единичном интервале (22.7). Поэтому решение (22.7) может быть единственным, если
– дробное число. Это реализуется в примере с бросанием монеты, где
,
, тогда
. В соответствии с (22.7)
, поэтому существует единственное наивероятнейшее число
, что иллюстрирует график, представленный на рис.21.1.
Возможна иная ситуация, если
– целое число. Тогда единичный интервал (22.7) содержит два целых числа, следовательно, имеется два наивероятнейших числа в распределении Бернулли. Эту ситуацию можно рассмотреть также на примере с бросанием монеты. Пусть
, тогда
, следовательно (22.7) имеет вид:
, то есть имеется два наивероятнейших числа
и
. При этом
и график
имеет плоскую вершину.
Полиномиальное распределение
Рассмотрим обобщение схемы независимых испытаний, состоящее в том, что исходом каждого опыта является одно из
несовместных событий
, образующих полную группу. Пусть вероятность
,
, тогда
. (23.1)
Определим вероятность
события
, состоящего в том, что в серии из
независимых опытов событие
произойдет
раз, ..., событие
произойдет
раз. Поскольку исходом каждого опыта является одно и только одно из событий
, то справедливо равенство:
. (23.2)
Рассмотрим следующую последовательность
исходов в серии из
опытов. Пусть в первых
опытах исходом было событие
, в последующих
опытах исходом было событие
, ... , в последних
опытах исходом было событие
. Вероятность
появления этой последовательности определяется по формуле умножения:
. (23.3)
Если в последовательности
поменять местами первый исход
и
исход
, то получим новую последовательность
, которая также состоит из
событий вида
, ... ,
событий
. Вероятность
появления этой последовательности
и определяется также формулой (23.3). В общем, каждая последовательность
, полученная из
путем перестановок между событиями
, появляется с одинаковой вероятностью
. Событие
означает, что происходит событие
или
, ... . Таким образом,
. (23.4)
Теперь вероятность
по формуле сложения вероятностей для несовместных событий
определяется соотношением:
, (23.5)
где суммирование по
ведется по всем последовательностям
. Число таких последовательностей - это число перестановок с повторениями из
по
:
. (23.6)
Поэтому из (23.5) следует
. (23.7)
Эта формула называется полиномиальным распределением вероятности. Такое название объясняется тем, что вероятность (23.7) является общим членом полинома
.
Отметим, что при
,
,
,
,
из формулы (23.7) следует распределение Бернулли:
.
Рассмотрим пример вычисления вероятности выпадения чисел
при шести бросаниях игральной кости. Здесь имеется последовательность из шести опытов, в каждом опыте возможно шесть исходов. Таким образом, вероятность вычисления по формуле (23.7) при
,
,
:
Этот же результат может быть получен с использованием формулы умножения вероятностей (11.1), действительно, здесь первый множитель
- это вероятность того, что в первом опыте исходом будет любое число из шести возможных
(достоверное событие). Второй множитель
- это условная вероятность того, что при втором бросании появится любое число кроме того, что выпало в первом опыте и т.д.
Гипергеометрическое распределение
Пусть дана совокупность
объектов, среди которых
отмеченных (например, бракованных изделий, белых шаров, выигрышных билетов и т.п.). Извлекается наугад
объектов. Определить вероятность
того, что среди них окажется
отмеченных.
Постановка задачи требует уточнения. Можно рассматривать два следующих варианта дополнительных условий. 1). Извлечение с возвращением. При этом извлечение каждого объекта - это отдельный опыт, после которого объект возвращается в исходную совокупность с последующим перемешиванием всех объектов. Таким образом, задача укладывается в вероятностную схему Бернули с вероятностью успеха в одном опыте
и числом опытов
. Вероятность
можно вычислить по формуле Бернули. 2). Извлечение без возвращения. Этот вариант приводит к новой задаче. Рассмотрим ее решение.
Поскольку порядок расположения извлекаемых объектов не имеет значения, то число способов выбора
объектов из совокупности
различных объектов равно
, (24.1)
и представляет собой общее число возможных исходов опыта. Из
отмеченных объектов можно выбрать
объектов
способами, причем каждому такому способу соответствует
способов добрать еще
объектов до общего числа
, выбирая их из
неотмеченных. Следовательно, число способов, благоприятствующих появлению
отмеченных объектов среди
выбранных, равно
. Поэтому
. (24.2)
Формула (24.2) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.
Рассмотрим пример вычисления вероятностей выигрыша в игре «спортлото». В данном случае
(число номеров на карточке),
- число выигрышных номеров (т.е. отмеченных). По условию игрок выбирает
номеров из
номеров. При этом игрок может угадать
выигрышных номеров,
.
Вероятность этого события
можно вычислить по формуле (24.2). При
получим вероятность максимального выигрыша
.
Отметим, что результат в виде произведения чисел 6/49, ... , 1/44 может быть получен из формулы умножения вероятностей.
Асимптотика Пуассона
25.1. Формула Бернули приводит при больших
к очень громоздким вычислениям. Поэтому важное значение имеют приближенные, но более простые формулы, которые можно получить из биномиального распределения. Часто встречаются задачи, в которых рассматривается большое число независимых опытов, причем вероятность успеха в каждом отдельном опыте мала. В этом случае вероятности
того, что в серии из
опытов число успешных опытов будет равно
могут быть вычислены по формуле Пуассона, которая получается как асимптотика биномиального распределения, при условии, что число опытов
, а вероятность успеха в отдельном опыте
, так что параметр
. (25.1)
Рассмотрим вывод формулы Пуассона. Из (25.1) выразим
и подставим в формулу Бернули, тогда
. (25.2)
При
наивероятнейшее число
распределения Бернули равно
, а согласно (25.1)
. Это означает, что
имеет существенные значения только при
, а с увеличением
вероятность
. Поэтому, полагая в (25.2)
, получаем
. (25.3)
Разложим в ряд Тейлора функцию
при малом
:
. (25.4)
Используем эту формулу для преобразования выражения
. (25.5)
Оставляя здесь только первое слагаемое, получим
. (25.6)
Аналогично рассмотрим
. (25.7)
Подставим (25.6), (25.7) в формулу (25.3), тогда
,
,
. (25.8)
Это равенство называется асимптотической формулой Пуассона или распределением Пуассона.
Отметим, что асимптотику (25.8) можно рассматривать в пределе при
и
, где
не зависит от
. Тогда
,
. (25.9)
Распределение вероятностей (25.9) удовлетворяет условию
. (25.10)
25.2. Определим наивероятнейшее число
распределения Пуассона (25.9). Очевидно число
удовлетворяет двум условиям:
,
. (25.11)
Подставим формулу (25.9) в первое неравенство, тогда
. (25.12)
Отсюда следует
. Аналогично решение второго неравенства сводится к условию
. Таким образом, наивероятнейшее число
распределения Пуассона определяется условием:
. (25.13)
Поток случайных событий на оси времени
Пусть на оси времени точками отображаются моменты наступления некоторого случайного события. При этом само событие интереса не представляет, важным является только момент его наступления. Такая вероятностная схема называется потоком случайных событий. Примерами потоков являются: 1) последовательность телефонных вызовов, поступающих на коммутатор; 2) последовательность моментов распада атомов радиоактивного вещества; 3) поток претензий по страхованию и т.п.
Пусть вероятность появления хотя бы одного события потока за интервал времени
равна
, (26.1)
где
- интенсивность потока,
- вероятность появления одного события за интервал
и
- вероятность появления двух или большего числа событий за интервал
. Пусть поток дополнительно удовлетворяет следующим трем условиям. 1).
- величина постоянная, не зависимая от времени
, тогда поток называется стационарным. 2). В соотношении (26.1)
, при этом поток называется ординарным или потоком редких событий. 3). Поток называется потоком с независимыми значениями, если события потока независимы.
Стационарный ординарный поток с независимыми значениями называется простейшим потоком. Определим вероятность
появления
событий простейшего потока за интервал времени
. Интервал длительности
разделим на малые интервалы
, (26.2)
где
. Тогда в соответствии с (26.1)
(26.3)
- вероятность появления одного события потока за интервал длительности
. Теперь имеем последовательность
независимых опытов, каждый из которых заключается в просмотре очередного интервала длительности
. Результатом каждого опыта может быть появление события потока (с вероятностью
) в интервале
или непоявления события потока (с вероятностью
). Поэтому
вычисляется по формуле Бернули, как вероятность
успехов в серии из
опытов, если вероятность успеха
в одном опыте определяется соотношением (26.3). Но учитывая, что
и
можно применить асимптотику Пуассона с параметром
, который определяется формулой (26.3):
. (26.4)
Таким образом,
. (26.5)
Ординарный поток с независимыми значениями называется пуассоновским потоком, т.е. пуассоновский поток не обязательно должен быть стационарным. Если поток нестационарный, то его интенсивность
- является функцией времени. При этом вероятность
- появления
событий потока на интервале
вычисляется по следующей формуле, обобщающей (26.5):
. (26.6)
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Как отмечалось в п.25, при большом числе испытаний вычисления вероятностей
по формуле Бернулли оказываются весьма громоздкими. Поэтому важные значения имеют приближенные, но более простые формулы, которые можно получить из биномиального распределения. Одной из таких приближенных формул является асимптотика Пуассона, полученная при условии, что число опытов
, а вероятность успеха
.
Рассмотрим другую асимптотическую формулу биномиального распределения при условиях:
,
,
. (27.1)
Эти условия эквивалентны неравенству
, которое означает, что вероятность успеха
в одном опыте не может быть слишком малой величиной
, так что величиной
невозможно пренебречь по сравнению с единицей, а также
не может быть слишком большой величиной, то есть неверным является предположение
. Биномиальное распределение вероятностей имеет вид:
. (27.2)
Для представления факториала используем формулу Стирлинга
(27.3)
Эта формула является асимптотикой факториала, то есть получена при большом
. Отметим достаточно высокую точность формулы (27.3) даже при небольших
. Так в наихудшем случае при
(27.3) дает относительную ошибку всего 8%, а при
эта ошибка уменьшается до 0,08%. Для произвольного
отношение точного значения
к асимптотическому, вычисленному по формуле (27.3), находится в интервале
.
Соотношение (27.3) подставим в (27.2), тогда
(27.4)
Введем обозначения:
,
(27.5)
Из (22.7) при
следует, что наивероятнейшее число
, поэтому числитель величины
- это уклонение числа успехов
от наивероятнейшего числа
.
Из (27.5) и условий (27.1) следует
, (27.6)
а также
. (27.7)
Условия (27.6) и (27.7) приводят к ограничению на скорость роста второго слагаемого
в выражениях (27.6), (27.7), а именно при большом
,
, (27.8)
то есть величина
пропорциональна
, где число
. Скорость ростане может быть большей, то есть параметр
, характеризующий скорость роста не может принимать значения
. В противном случае нарушаются условия (27.6), (27.7). действительно, при
величина
растет с увеличением
быстрее, чем первое слагаемое в (27.6) и в (27.7), при этом условие (27.6) выполняется:
, а условие (27.7) нарушается, поскольку число
становится отрицательным с ростом
.
Рассмотрим в (27.4) выражение под корнем, в котором числа
,
представим в виде (27.6), (27.7), тогда
(27.9)
При большом
вторые слагаемые в скобках (27.9) является малыми по сравнению с первыми, поскольку выполняется условие (27.8). Поэтому при
из (27.9) следует
. (27.10)
Рассмотрим два последних множителя выражения (27.4), причем удобно рассматривать его логарифм:
. (27.11)
Подставим сюда выражения для
и
(27.6) и (27.7). Тогда
. (27.12)
При малом
справедливо разложение в ряд:
, (27.13)
где
- величина, малая по сравнению с
. Используем разложение с точностью до
в соотношении (27.12). Тогда
.
(27.14)
Введем для краткости обозначение
, тогда правая часть (27.14) преобразуется следующим образом:
. (27.15)
Здесь второе слагаемое зависит от
через
. Согласно (27.8)
,
, поэтому
. (27.16)
При
и
выражение
, поэтому второе слагаемое в (27.15) является малой величиной по сравнению с первым, которое равно
. Таким образом, (27.14) при
имеет вид
. (27.17)
Полученные результаты (27.10) и (27.17) подставим в (27.4), тогда
,
,
. (27.18)
Формула (27.18) называется локальной асимптотикой Муавра-Лапласа. Этот же результат может быть сформулирован как следующая локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность успеха
в одном опыте удовлетворяет условию
, тогда вероятность
того, что в последовательности
независимых испытаний успех наступит
раз удовлетворяет условию:
. (27.19)
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вероятность
того, что в последовательности
независимых испытаний число
успехов находится в интервале
определяется выражением
. (28.1)
Получим асимптотику выражения (28.1) при тех же условиях, которые были определены для локальной теоремы Муавра-Лапласа. При этом
определяется формулой (27.18). Подставим (27.18) в (28.1), тогда
(28.2)
где
. (28.3)
Поскольку
, то
при
. Пусть
,
. (28.4)
Тогда при
сумма в выражении (28.2) переходит в интеграл:
. (28.5)
Этот результат носит название интегральная теорема Муавра-Лапласа. Соотношение (28.5) можно представить через функцию Лапласа:
. (28.6)
Практическое применение интегральной теоремы основано на приближенном равенстве:
. (28.7)
Для функции
составлены подробные таблицы, которые обычно используются при решении задач. Вместо функции Лапласа (28.6) может быть использован интеграл ошибок:
. (28.8)
Функции
и
связаны соотношением:
.
Если в таблицах даны значения
только для
, тогда значения
при
можно вычислить, используя очевидное равенство
.
Рассмотрим примеры вычисления вероятностей с использованием теоремы Муавра-Лапласа.
1. Какова вероятность того, что при 200 бросаниях монеты герб выпадет 100 раз?
Для вычисления вероятности можно использовать локальную асимптотику (27.18). Здесь
,
,
,
,
. Поскольку
, то
. Подставим полученные результаты в (27.18), тогда:
.
2. Какова вероятность того, что при 200 бросаниях герб выпадет в интервале от 80 до 120 раз?
Решать эту задачу удобно, используя интегральную асимптотику из (28.7). Здесь
,
,
,
. Необходимо найти
. Определим по формулам (28.4)
,
.
Теперь по (28.7):
.