Алгебра и начало анализа

Алгебра и начала анализа.
1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.	Ответ
2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.	Ответ
3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).	Ответ
4. Показательная функция y = ax , её свойства и график.	Ответ
5. Логарифмическая функция y = loga x, её свойства и график.	Ответ
6. Функция y = sin(x), её свойства и график.	Ответ
7. Функция y = cos(x), её свойства и график.	Ответ
8. Функция y = tg(x), её свойства и график.	Ответ
9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.	Ответ
10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.	Ответ
11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.	Ответ
12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.	Ответ
13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.	Ответ
14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.	Ответ
15. Формулы приведения (с выводом).	Ответ
16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).	Ответ
17. Тригонометрические функции двойного аргумента.	Ответ
18. Тригонометрические функции половинного аргумента.	Ответ
19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).	Ответ
20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.	Ответ
21. Логарифм произведения, степени, частного.	Ответ
22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.	Ответ
23. Правила вычисления производной.	Ответ

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R
всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр
. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2
+ bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0. Графиком квадратичной функции является парабола. Свойства функции y = ax2(частный случай)
при а > 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ). 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ). Свойства функции y = ax2
при а < 0. 1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. График функции симметричен относительно оси Oy. 4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0]. 5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0]. И, так, график функции y = ax2
+ bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности.

Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр.
Функция, заданная формулой y = ax
, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной. 1. Функция y = ax
при а>1 а) область определения - множество всех действительных чисел; б) множество значений - множество всех положительных чисел; в) функция возрастает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то ax
> 1; е) если х < 0, то 0< ax
<1; 2. Функция y = ax
при 0< а <1 а) область определения - множество всех действительных чисел; б) множество значений - множество всех положительных чисел; в) функция убывает; г) при х = 0 значение функции равно 1; д) если х > 0, то 0< ax
<1; е) если х < 0, то ax
> 1.

№5.Опр
. Функцию, заданную формулой y = loga
x называют логарифмической функцией с основанием а. Свойства функции y = loga
x при a>1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция возрастает; г) если x = 1, то loga
x = 0; д) если 0<x<1, то loga
x < 0; е) если x > 1, то loga
x > 0. Свойства функции y = loga
x при 0<a<1: а) D(f) = R+; б) E(f) = R; в) функция убывает; г) если x = 1, то loga
x = 0; д) если 0 < x < 1, то loga
x > 0; е) если x > 1, то loga
x < 0.

№6. Опр
. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
).

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
sin(x) = 0 при x = ;
sin(x) > 0 для всех ;
sin(x) < 0 для всех ;
функция возрастает на ;
функция убывает на .

№ 7.Опр
. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos
)

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
cos(x) = 0 при ;
cos(x) > 0 для всех ;
cos(x) > 0 для всех ;
функция возрастает на ;
функция убывает на

№8.Опр
. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg
).

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
tg(x) = 0 при х = ;
tg(x) > 0 для всех ;
tg(x) < 0 для всех ;
функция возрастает на .

№9.Опр
. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg
)

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
ctg(x) = 0 при x = ;
ctg(x) > 0 для всех ;
ctg(x) < 0 для всех ;
функция убывает на .

Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2
- а1
= а3
- а2
= ... = ak
- ak-1
= ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d
.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn
), достаточно знать ее первый член а1
и разность d
.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an
= a1
+ d(n-1)
. (2)
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
Если в формулу (3) подставить вместо аn
его выражение по формуле (2), то получим соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1
+ an
= a2
+ an-1
= ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2
:b1
= b3
:b2
= ... = bn
:bn-1
= bn+1
:bn
= ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q

.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn
), достаточно знать ее первый член b1
и знаменатель q

.
Если q
> 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1
= -2, q
= 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q
= 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn
) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)
Если в формулу (3) подставить вместо bn
его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)
Из определения знаменателя геометрической прогр

ессии следует, что b1
bn
= b2
bn-1
= …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

Пусть (xn
) - геометрическая прогрессия со знаменателем q
, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n
первых ее членов при .
Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S
. Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: Частные случаи:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
формула для корней уравнения sin2
(x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x). sin(x) = 0 если х = ; sin(x) = -1, если x = >; sin(x) > 0, если ; sin(x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .
Частные случаи: cos(x) = 1, x = ; cos(x) = 0, ; cos(x) = -1, x =
Формула для корней уравнения cos2
(x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным моментом является знание, что: cos(x) = 0, если ; cos(x) = -1, если x = ; cos(x) = 1, если x = ; cos(x) > 0, если ; cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
Частные случаи: tg(x) = 0, x = ; tg(x) = 1, ; tg(x) = -1, .
Формула для корней уравнения tg2
(x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Важно знать, что: tg(x) > 0, если ; tg(x) < 0, если ; Тангенс не существует, если .

№ 15

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .
Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Функция	Аргумент
sin	cos	cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin
cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin	cos	cos
tg	ctg	-ctg	-tg	tg	ctg	-ctg	-tg	tg
ctg	tg	-tg	-ctg	ctg	tg	-tg	-ctg	ctg

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила: a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют; б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом: Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов: Рис.1 Рис.2 Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х1
и y1,
координаты точки С равны х2
и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и . По определению скалярного произведения векторов: = х1
х2 +
y1
y2
. (1) Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что х1
= R cos , y1
= R sin , х2
= R cos , y2
= R sin . Подставив значения х1
, х2
, y1
, y2
в правую часть равенства (1), получим: = R2
cos cos + R2
sin sin = R2
(cos cos + sin sin). С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем: = cos BOC = R2
cos BOC. Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому = R2
cos ( - ). Т.к. равно также R2
(cos cos + sin sin), то cos( - ) = cos cos + sin sin. cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin. Значит, cos( + ) = cos cos - sin sin.
Формулы синуса суммы и разности двух аргументов: sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin. Значит, sin( + ) = sin cos + cos sin. sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin. Значит, sin( - ) = sin cos - cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла . Положим в формулах sin( + ) = sin cos + cos sin , cos( + ) = cos cos - sin sin , , . равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ; cos 2 = cos2
- sin2
= 1 - sin2
= 2 cos2
- 1; ; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям cos 2 = 1 - sin2
, cos 2 = 2 cos2
- 1. Если в данных соотношениях положить = /2, то получим: cos = 1 - 2 sin2
/2, cos 2 = 2 cos2
/2 - 1. (1)
Из формул (1) следует, что (2), (3).
Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим (4).
В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.
Полезно знать следующую формулу: .

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения. Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим: sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy. Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = . Следовательно, sin + sin = 2 sin cos . Аналогичным образом выводят формулы: sin -sin = 2 cos sin ; cos + cos = 2 cos cos ; cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2
+ p
x + q
= 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2
= m только внешним видом: стоит вместо x
и - q
- вместо m
. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q
. Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q
. Возращаемся к обычному виду . 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2
+ p
x + q
= 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1
+ х2
= -р
, а х1
х2
= q
. 2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р
, q
, х1
, х2
таковы, что х1
+ х2
= -р
и х1
х2
= q
, то х1 и
х2
- корни уравнения x2
+ p
x + q
= 0.

№ 21

Опр
. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов:

;
;
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: . Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x = , y = . Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy = = . Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя: . Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: . При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

Производной функции f(x) в точке х0
называется предел отношения приращения функции в точке х0
к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0
только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0
, включая эту точку.
Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Существование производной функции f в точке х0
эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0
; f(х0
)) графика, при этом угловой коэффициент касательной
равен . В этом состоит геометрический смысл производной
.
Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют: .
Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
то их производные дифференцируемы в этой точке и .
Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
, а С
- постоянная, то функция Cu
дифференцируема в этой точке и .
Если функция u
и v
дифференцируемы в точке х0
и функция v
не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0
и .