Подсказка по алгебре
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)І=aІ±2ab+bІ
(a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі
aІ-bІ=(a+b)(a-b)
aі±bі=(a±b)(aІ∓ab+bІ),
(a+b)і=aі+bі+3ab(a+b)
(a-b)і=aі-bі-3ab(a-b)
xn
-an
=(x-a)(xn-1
+axn-2
+aІxn-3
+...+an-1
)
axІ+bx+c=a(x-x1
)(x-x2
)
где x1
и x2
— корни уравнения
axІ+bx+c=0
Степени и корни :
ap
·ag
= ap+g
ap
:ag
=a p-g
(ap
)g
=a pg
ap
/bp
= (a/b)p
ap
×bp
= abp
a0
=1; a1
=a
a-p
= 1/a
p
Öa =b => bp
=a
p
Öap
Öb = p
Öab
Öa ; a = 0
Квадратное уравнение
axІ+bx+c=0; (a¹0)
x1,2
= (-b±ÖD)/2a; D=bІ -4ac
D>0® x1
¹x2
;D=0® x1
=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1
+x2
= -b/a
x1
× x2
= c/a
Приведенное кв. Уравнение:
xІ + px+q =0
x1
+x2
= -p
x1
×x2
= q
Если p=2k (p-четн.)
и xІ+2kx+q=0, то x1,2
= -k±Ö(kІ-q)
Нахождение длинны отр-ка по его координатам
Ö((x2
-x1
)І-(y2
-y1
)І)
Логарифмы:
loga
x = b => ab
= x; a>0,a¹0
a loga x
= x, loga
a =1; loga
1 = 0
loga
x = b; x = ab
loga
b = 1/(log b
a)
loga
xy = loga
x + loga
y
loga
x/y = loga
x - loga
y
loga
xk
=k loga
x (x >0)
loga
k
x =1/k loga
x
loga
x = (logc
x)/( logc
a); c>0,c¹1
logb
x = (loga
x)/(loga
b)
Прогрессии
Арифметическая
an
= a1
+d(n-1)
Sn
= ((2a1
+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn
= bn-1
× q
b2
n
= bn-1
× bn+1
bn
= b1
×qn-1
Sn
= b1
(1- qn
)/(1-q)
S= b1
/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sinІ a + cosІ a =1
ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ
tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ
1+tgІa = 1/cosІa , a¹p(2n+1)/2
1+ ctgІa =1/sinІa , a¹ pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹ p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ¹ p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cosІ a - sinІ a = 2 cosІ a - 1 =
= 1-2 sinІa
tg 2a = (2 tga)/ (1-tgІa)
1+ cos a = 2 cosІ a/2
1-cosa = 2 sinІ a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1-tgІ(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sinІ a/2 = (1 - cos a)/2
cosІa/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a¹ p + 2pn, n ÎZ
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2
x/2)
cos x = (1-tg2
2/x)/ (1+ tgІ x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2
x)
sinІa = 1/(1+ctgІa) = tgІa/(1+tgІa)
cosІa = 1/(1+tgІa) = ctgІa / (1+ctgІa)
ctg2a = (ctgІa-1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sinіa = 3cosІasina-sinіa
cos3a = 4cosіa-3 cosa=
= cosіa-3cosasinІa
tg3a = (3tga-tgіa)/(1-3tgІa)
ctg3a = (ctgіa-3ctga)/(3ctgІa-1)
sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)
cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)
tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=
sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]
arcsin(sin
a
)=
1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]
2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]
arccos (cos
a
) =
1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]
2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]
arctg(tg
a
)=
a
-
p
k
aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)
arcctg(ctg
a
) =
a
-
p
k
aÎ(pk; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =
= arctg a/Ö(1-aІ)
arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=
= arc ctga/Ö(1-aІ)
arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =
= arcsin a/Ö(1+aІ)
arc ctg a = p-arc cctg(-a) =
= arc cos a/Ö(1-aІ)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ö(1+aІ)= arccos1/Ö(1+aІ)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m
; |m| = 1
x = (-1)n
arcsin m +
p
k
, kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m
; |m| = 1
x =
±
arccos m + 2
p
k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2
); t - tg
cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)
>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
loga
f(x) >(<) log a
j(x)
1. a>1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
j(x)>0
f(x)<j(x)
3. log f(x)
j(x) = a
ОДЗ: j(x) > 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - Ö3 cos x = 0
2sin x cos x -Ö3 cos x = 0
cos x(2 sin x - Ö3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.
sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2
sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin
a
³
m
2
p
k+
a
1
=
a
=
a
2
+ 2
p
k
2
p
k+
a
2
=
a
=
(
a
1
+2
p
)+ 2
p
k
Пример:
I cos (p/8+x) < Ö3/2
pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk
2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;
II sin a = 1/2
2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk
cos
a
³
(
=
) m
2
p
k +
a
1
<
a
<
a
2
+2
p
k
2
p
k+
a
2
<
a
< (
a
1
+2
p
) + 2
p
k
cos a ³ - Ö2/2
2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk
tg
a
³
(
=
) m
p
k+ arctg m
=
a
=
arctg m +
p
k
ctg
(
=
) m
p
k+arcctg m <
a
<
p
+
p
k
Производная:
(xn
)’
= n× xn-1
(ax
)’ = ax
× ln a
(lg ax
)’= 1/(x×ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cosІ x
(ctg x)’ = - 1/sinІx
(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-xІ)
(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-xІ)
(arctg x)’ = 1/ Ö(1+xІ)
(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+xІ)
Св-ва:
(u × v)’ = u’×v + u×v’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0
)+ f ’(x0
)(x-x0
)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0
, f(x0
), f ‘ (x0
), выразим х
Интегралы :
ò xn
dx = xn+1
/(n+1) + c
ò ax
dx = ax/ln a + c
ò ex
dx = ex
+ c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = - cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cosІ x = tg x + c
ò 1/sinІ x = - ctg x + c
ò 1/Ö(1-xІ) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö(1-xІ) dx = - arccos x +c
ò 1/1+ xІ dx = arctg x + c
ò 1/1+ xІ dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
aІ = bІ+cІ - 2bc cos a
bІ = aІ+cІ - 2ac cos b
cІ = aІ + bІ - 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
_____________
S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)
S = Ѕab sin a
Sравн.
=(aІÖ3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pRІ
Sсектора
=(pRІa)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн
×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.
×H
Sполн.
= Sбок.
+ Sосн.
Усеченная :
H .
_____
V = 3 (S1
+S2
+ÖS1
S2
)
S1
и S2
— площади осн.
Sполн.
=Sбок.
+S1
+S2
Конус
V=1/3 pRІH
Sбок.
=pRl
Sбок.
= pR(R+1)
Усеченный
Sбок.
= pl(R1
+R2
)
V=1/3pH(R1
2
+R1
R2
+R2
2
)
Призма
V=Sосн.
×H
прямая: Sбок.
=Pосн.
×H
Sполн.
=Sбок
+2Sосн.
наклонная :
Sбок.
=Pпс
×a
V = Sпс
×a, а -бок. ребро.
Pпс
— периметр
Sпс
— пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pRІH ; Sбок.
= 2pRH
Sполн.
=2pR(H+R)
Sбок.
= 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pRі - шар
S = 4pRі - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pRіH
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=pHІ(R-H/3)
S=2pRH
| град |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
180° |
|||||
| a |
-p/2 |
-p/3 |
-p/4 |
-p/6 |
0 |
p/6 |
p/4 |
p/3 |
p/2 |
2p/3 |
3p/4 |
3p/6 |
p |
| sina |
-1 |
-Ö3/2 |
-Ö2/2 |
- Ѕ |
0 |
Ѕ |
Ö2/2 |
Ö3/2 |
1 |
- Ѕ |
0 |
||
| cosa |
1 |
Ö3/2 |
Ö2/2 |
Ѕ |
0 |
- Ѕ |
-Ö2/2 |
- Ö3/2 |
-1 |
||||
| tga |
Ï |
-Ö3 |
-1 |
-1/Ö3 |
0 |
1/Ö3 |
1 |
Ö3 |
Î |
-Ö3 |
-1 |
0 |
|
| ctga |
--- |
Ö3 |
1 |
1/Ö3 |
0 |
-1/Ö3 |
-1 |
-- |
| n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 2 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
| 3 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
| 4 |
16 |
81 |
256 |
625 |
1296 |
2401 |
4096 |
6561 |
| 5 |
32 |
243 |
1024 |
3125 |
7776 |
16807 |
32768 |
59049 |
| 6 |
64 |
729 |
4096 |
15625 |
46656 |
|||
| 7 |
128 |
2181 |
||||||
| 8 |
256 |
6561 |
| -a |
p-a |
p+a |
p/2-a |
p/2+a |
3p/2 - a |
3p/2+a |
|
| sin |
-sina |
sina |
-sina |
cosa |
cosa |
-cosa |
-cosa |
| cos |
cosa |
-cosa |
-cosa |
sina |
-sina |
-sina |
sina |
| tg |
-tga |
-tga |
tga |
ctga |
-ctga |
ctga |
-ctga |
| ctg |
-ctga |
-ctga |
ctga |
tga |
-tga |
tga |
-tga |