Квадратичные формы 3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………..................................................3

1 Теоретические сведения о квадратичных формах……………………………4

1.1 Определение квадратичной формы……………………………………….…4

1.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду………………...6

1.3 Закон инерции…………………………………………………………….….11

1.4 Положительно определенные формы……………………………………...18

2 Практическое применение квадратичных форм …...………………………22

2.1 Решение типовых задач …………………………………………................22

2.2 Задания для самостоятельного решения……...………………….………...26

2.3 Тестовые задания…………………………………………............................27

Заключение………….……………………………...……………………………29

Список использованной литературы…………………………………………...30

ВВЕДЕНИЕ

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами [2] .

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области [3].

Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.

В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения, решить ряд задач и подготовить тесты.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ

1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма бывает двух видов: действительной и комплексной, в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или комплексными числами.

Обозначая коэффициент при через , а при произведении , через , квадратичную форму можно представить в виде:

Из коэффициентов можно составить квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг - рангом квадратичной формы. Если, в частности, , где , то есть матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Для любой симметрической матрицы - го порядка можно указать в полне определенную квадратичную форму:

(1.1)

от - неизвестных, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.

Обозначим теперь через столбец, составленный из неизвестных:

является матрицей, имеющей строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу: , составленную из одной строки.

Квадратичная форма (1.1) с матрицей может быть записана теперь в виде произведения:.

1.2 ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Предположим, что квадратичная форма от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду , где - новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов непременно равно рангу формы . Матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

и требование, чтобы эта матрица имела ранг , равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов.

Теорема.
Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

Доказательство. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид , являющийся каноническим. Введем доказательство по индукции, то есть доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая что она уже доказана для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма (1.1) от неизвестных . Необходимо найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из квадрат одного из неизвестных, то есть привело бы к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эту цель легко достигнуть в том случае, если среди коэффициентов , состоящих в матрице формы на главной диагонали, есть отличные от нуля, то есть в (1.1) входит отлично от нуля коэффициентом квадрат хотя бы одного из неизвестных .

Пусть , тогда выражение , являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным , как и форма , и по этому разность будет квадратичной формой содержащей лишь неизвестные , но не . Отсюда . Если ввести обозначения

, при , (21)

получим

, (2.2)

где будет теперь квадратичной формой от неизвестных . Выражение (2.2) есть искомое выражение для формы , так как оно получено из (1.1) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (2.1), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства , то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению форме квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (1.1) этой формы должны быть отличные от нуля,- иначе нечего было бы доказывать,- то пусть, например, , то есть является суммой члена и членов, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных .

Представим линейное преобразование

, при . (2.3)

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель

В результате этого преобразования член формы примет вид , то есть форме появится, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных, причем они не могут сократится ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входят хотя бы одно из неизвестных .

Квадратичная форма зависит от меньшего, чем , числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматривается как преобразование всех неизвестных, при котором остается без изменения, приводит, следовательно, (2.2) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием - их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно рангу формы . Если, сверх того, квадратичная форма действительная, то коэффициенты, как в каноническом виде формы , так и в линейном преобразовании, приводящем к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (2.1), и линейное преобразование (2.3) имеют действительные коэффициенты [3].

Для того чтобы представить квадратичную форму в каноническом виде необходимо найти ее характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

Пусть заданное мерное линейное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования . Само число называется характеристическим числом линейного преобразования , соответствующим вектору .

Квадратичная форма имеет вид:

так как .Если линейное преобразование в базисе имеет матрицу:, то характеристическими числами линейного преобразования служат действительные корни и уравнение второй степени, которое можно записать в виде:

Для нахождения собственных значений и , решается полученное уравнение: , где и могут быть равными[1].

Если числа и одного знака, то квадратичная форма принадлежит к эллиптическому типу; если и разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел или равно нулю, то параболическому типу[4].

Для получения собственных векторов получаются две системы линейных уравнений:

где - координаты собственных векторов.

Затем можно найти координаты векторов нового базиса и , для этого необходимо найти длины собственных векторов по формуле , следовательно ; , где - собственные векторы. Следовательно, получается уравнение второго порядка в каноническом виде: .

А также необходимо отметить следующие важные теоремы:

Теорема 1
. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Теорема 2
. Если матрица линейного преобразования является симметрической, то все корни характеристического - действительные числа, где - тождественный оператор[1].

1.3 ЗАКОН ИНЕРЦИИ

Предположим, что рассматриваются произвольные комплексные квадратичные формы и допускается применение невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Всякая квадратичная форма от неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду: , где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполняются следующее невырожденное линейное преобразование: при ; при . Оно приводит форм к виду:

, (3.1)

называемому нормальным; то есть сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Нормальный вид зависит лишь от ранга формы , то есть все квадратичные формы ранга приводятся к одному и тому же нормальному виду (3.1). Если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (3.1), а затем (3.1) в , то есть существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то получается следующий результат.

Теорема.
Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Доказательство. Из этой теоремы вытекает, что каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.

Всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду. Форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом: , , где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами при ; при , приводит к нормальному виду, . Общее число входящих сюда квадратов будет равно рангу формы.

Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это показывает следующая важная теорема, называемая законом инерции действительных квадратичных форм.

Теорема.
Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть квадратичная форма ранга от неизвестных двумя способами приведена к нормальному виду:

. (3.2)

Так как переход от неизвестных к неизвестным был невырожденным линейным преобразованием, то, обратно, вторые неизвестные также будут линейно выражаться через первые отличными от нуля определителями:

. (3.3)

Аналогично,

, (3.4)

причем определитель из коэффициентов снова отличен от нуля. Коэффициенты же как в (3.3), так и в (3.4) действительные числа.

Можно предположить, что , и написать систему равенств

. (3.5)

Если левые части этих равенств будут заменены их выражениями из (3.3), и (3.4), получится система линейных однородных уравнений с неизвестными . Число уравнений в этой системе равно меньше числа неизвестных, поэтому система обладает ненулевым действительным решением .

Необходимо заменить в равенстве (3.2) все и все их выражениями (3.3) и (3.4), а затем подставить вместо неизвестных числа . Если через и будут обозначены значения неизвестных и , получающиеся после такой подстановке, то (3.2) превращается в равенство

. (3.6)

Так как все коэффициенты в (3.3) и (3.4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (3.6),положительны, а поэтому (3.6) влечет за собой равенство всех этих квадратов; отсюда следует равенства

. (3.7)

С другой стороны, по самому выбору чисел

. (3.8)

Таким образом, система линейных однородных уравнений , с неизвестными обладает, (3.7) и (3.8), ненулевым решением , то есть определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит, однако, тому, что преобразование (3.4) предполагалась невырожденным. Такое же противоречие будет, если . Отсюда следует равенство , доказывающее теорему.

Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов- отрицательным индексом инерции, а разность между положительным и отрицательным индексами инерции- сигнатурой формы .

Теорема.
Две квадратичные формы от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Доказательство. Пусть форма переводится в форму невырожденным действительным преобразованием. Уже известно что преобразование не меняет ранга формы. Оно и не может менять сигнатуры, так как противном случае и приводились бы к различным нормальным видам, а тогда и форма приводилась бы, в противоречие с законом инерции, к этим обоим нормальным видам. Обратно, если формы и имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.

Если дана квадратичная форма в каноническом виде,

, (3.9)

с неравными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен . Если приводить такую форму к нормальному виду, то можно увидеть, что положительный индекс инерции формы равен числу положительных коэффициентов в правой части равенства (3.9). Отсюда и вытекает такой результат:

Квадратичная форма тогда и только тогда будет иметь форму (3.9) своим каноническим видом, если ранг формы равен , а положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (3.9).

Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде произведения двух линейных форм, и для этого необходимо ввести условие, при которых это имеет место, то есть при которых квадратичная форма является распадающейся.

Комплексная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг меньше или равен двум. Действительная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг не больше единицы, или же он равен нулю, а сигнатура равна нулю.

Для начала необходимо рассмотреть произведение линейных форм и . Если хотя бы одна из этих форм нулевая, то их произведение будет квадратичной формой с нулевыми коэффициентами, то есть оно имеет ранг 0. Если линейные формы и пропорциональны, , причем и форма ненулевая, то пусть, например, коэффициент . Тогда невырожденное линейное преобразование при приводит квадратичную форму к виду .

Справа стоит квадратичная форма ранга 1, а поэтому и квадратичная форма имеют ранг 1. Если же, линейные формы и не являются пропорциональными, то пусть, например,.

Тогда линейное преобразование

при

будет невырожденным; оно приводит квадратичную форму к виду . Справа стоит квадратичная форма ранга 2, имеющая в случае действител

ьных коэффициентов сигнатуру 0.

Необходимо перейти к доказательству обратного утверждения. Квадратичная форма ранга 0 может, конечно, рассматриваться как произведение двух линейных форм, одна из которых нулевая. Далее, квадратичная форма ранга 1 невырожденная линейным преобразованием приводится к виду , то есть к виду . Выражая линейно через , получится представление формы в виде произведения двух линейных форм. Тогда действительная квадратичная форма ранга 2 и сигнатуры 0 приводится невырожденным линейным преобразованием к виду ; к этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма ранга 2. Однако , но справа, после замены и их линейными выражениями через , будет стоять произведение двух линейных форм. Теорема доказана.

1.4 ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ

Квадратичная форма и неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из положительных квадратов, то есть если и ранг, и положительный индекс инерции этой формы равны числу неизвестных[7].

Теорема.
Квадратичная форма от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.

Доказательство. Пусть форма положительно определенная, то есть приводится к нормальному виду

, (4.1)

причем

, (4.2)

с отличным от нуля определителем из действительных коэффициентов . Если подставить в произвольные действительные значения неизвестных , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то можно подставить их сначала в (4.2), а затем значения полученные, для всех , - в (4.1). Значения, полученные для из (4.2), не могут все сразу равняться нулю, так как иначе получилось бы, что система линейных однородных уравнений обладает ненулевым решением, хотя ее определитель отличен от нуля. Подставляя найденные для значения в (4.1), получатся значения, получатся значения формы , равное сумме квадратов действительных чисел, которые не все равны нулю; это значение будет строго положительным.

Обратно, пусть форма не является положительно определенной, то есть или ранг, или положительный индекс инерции меньше . Это означает, что в нормальном виде этой формы, к которому она приводится, невырожденным линейным преобразованием (4.2), квадрат хотя бы одного из новых неизвестных, например , или отсутствует совсем, или же содержится со знаком минус. В этом случае можно подобрать такие действительные значения для неизвестных , которые не все равны нулю, что значения формы при этих значениях неизвестных равно нулю или даже отрицательно.

Пусть дана квадратичная форма от неизвестных с матрицей . Миноры порядка этой матрицы, расположенные в ее левом углу, то есть миноры , из которых последний совпадает с определителем матрицы , называются главными минорами формы .

Теорема.
Квадратичная форма от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все главные миноры строго положительны.

Доказательство. При теорема верна, так как форма имеет в этом случае вид и поэтому она положительно определенная тогда и только тогда, когда . Поэтому необходимо доказывать теорему для случая неизвестных, предполагая, что для квадратичных форм от неизвестных она уже доказана.

После преобразования получается квадратичная форма с матрицей , однако, ввиду , , то есть определитель умножается на положительное число.

Пусть дана квадратичная форма. Ее можно записать в виде

(4.3)

где будет квадратичной формой от неизвестных, составленной из тех членов формы , в которые не входит неизвестное . Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы .

Пусть форма положительно определенная. Форма также будет положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных , не все равны нулю, при которых форма получает не строго положительное значение, то полагая дополнительно , то получилось бы (4.3), также не строго положительное значение формы , хотя не все значения неизвестных , равны нулю. Поэтому, по индуктивному предложению, все главные миноры формы , кроме последнего, строго положительны. Что же касается последнего главного минора формы , то есть определителя самой матрицы , то его положительность вытекает из следующих соображений: форма , которая положительно определенная с линейным невырожденным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящей из положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен.

Пусть строго положительны главные миноры формы . Отсюда вытекает положительность всех главных миноров , то есть, по индуктивному, предположению, положительная определенность этой формы. Следовательно, существует, такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое приводит форму к виду суммы положительных квадратов от новых неизвестных , то линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех неизвестных , полагая . Ввиду (4.3) форма приводится к указанным преобразованием к виду:

; (4.4)

точные выражения коэффициентов несущественны. Так как , то невырожденное линейное преобразование приводит форму к каноническому виду

. (4.5)

Для доказательства положительной определенности формы необходимо доказать положительность числа . Определитель формы, стоящий в правой части равенства (4.5), равен . Этот определитель должен быть положительным, так как правая часть равенства (4.5) получена из формы двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы был последний из главных миноров этой формы, положительным. Теорема доказана [3] .

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

2.1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Написать матрицу квадратичной формы .

Решение. Здесь

Следовательно:

Задача № 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение. Коэффициенты: .

Составим характеристическое уравнение ;

Задача № 3. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: .

Решение. Коэффициенты .