Содержание
ТЕМА 1. Выборка и генеральная совокупность
Задача 1
ТЕМА 2. Модель парной регрессии
Задача 12
ТЕМА 3. Модель множественной регрессии
Задача 13
ТЕМА 4. Нестационарные временные ряды
Задача 23
ТЕМА 1. Выборка и генеральная совокупность
Задача 1
1. Найдите среднее число государственных вузов в России, если данные их статистического учета с 1994 по 2000г таковы
| Год | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 |
| Число государственных вузов | 548 | 553 | 569 | 573 | 578 | 582 | 584 |
2. Найдите вариацию числа государственных вузов в России за 1994 2000гг
Решение
Определим выборочное среднее государственных вузов в России, по зависимости учитывая, что n =7.
Найдем вариацию числа государственных вузов в России за 1994-2000г по формуле:
Таким образом, среднее число государственных вузов в России составляет 570 шт, а вариация 169.
ТЕМА 2. Модель парной регрессии
Задача 12
1. Предварительно вычисленная ковариация двух рядов составляет -4.32, а вариация ряда занятых в экономике равна 7,24. Средние выборочные равняются 68,5 и 5,87 соответственно. Оцените параметры линейного уравнения парной регрессии .
Решение
Оценим параметры линейного уравнения парной регрессии
Зная выборочные ковариацию и вариацию, вычислим параметр b по формуле (4)
а параметр a по зависимости
На основании полученных данных уравнение парной регрессии примет вид
Определим объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
ТЕМА 3. Модель множественной регрессии
Задача 13
1. В таблице представлены ряды данных по продовольственным ресурсам (производству и импорту ) и личному потреблению картофеля y (млн. тонн) за 9 лет
| Год | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
| 30.8 | 34.3 | 38.3 | 37.7 | 33.8 | 39.9 | 38.7 | 37 | 31.4 | |
| 1.1 | 1.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.2 | 0.33 | |
| y | 15.7 | 16.7 | 17.5 | 18.8 | 18 | 18.3 | 18.5 | 19.1 | 18 |
Рассчитать вариации и попарные ковариации для этих рядов.
2. По данным таблицы построить уравнение регрессии, приняв личное потребление картофеля за зависимую переменную, а производство и импорт - за объясняющие. Рассчитать коэффициенты при объясняющих переменных.
3. Для регрессии, описывающей линейную зависимость потребления картофеля от производства и импорта , определить свободный коэффициент a .
4. Рассчитать значения личного потребления y картофеля, используя полученное в задаче уравнение регрессии.
5. Рассчитать общую, объясненную и необъясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии для личного потребления y картофеля.
6. Используя полученные в предыдущем пункте TSS и ESS , рассчитать коэффициент детерминации для регрессии по картофелю.
Решение
Определим выборочные средние , и по формуле (1) при числе наблюдений: n =9
млн. т
млн. т
млн. т
Рассчитаем вариации и попарные ковариации для этих рядов. Вариации для рядов объясняющих переменных и можно вычислить по зависимостям (11)
А вариацию зависимой переменной y по зависимости (12)
Попарные ковариации для этих рядов определяются по (13) как
По данным таблицы построим уравнение регрессии
,
Приняв личное потребление фруктов за зависимую переменную, а производство и импорт - за объясняющие, предварительно рассчитав коэффициенты при объясняющих переменных.
Расчет коэффициентов и производим по зависимостям (15) и (16)
Для регрессии, описывающей линейную зависимость потребления фруктов от производства и импорта , определить свободный коэффициент a .
Свободный коэффициент уравнения регрессии вычисляется как
млн. т
Рассчитаем значения личного потребления y фруктов, используя полученное в задаче уравнение регрессии.
Расчет значений по зависимости
сведен в табл.2.
Таблица 2
| Год | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
| 16.16 | 16,21 | 18,04 | 18,38 | 18,31 | 18,73 | 18,65 | 18,33 | 17,68 | |
| - | -1,68 | -1,63 | 0,56 | 0,54 | 0,47 | 0,89 | 0,81 | 0,49 | -0,16 |
| (-) 2
|
2,82 | 2,66 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,8 | 0,7 | 0,24 | 0,03 |
| y i
|
15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 18,3 | 18,5 | 19,1 | 18 |
| (y i
- ) |
-2,14 | -1,14 | -0,34 | 0,96 | 0,16 | 0,46 | 0,67 | 1,26 | 0,16 |
| (y i
- ) 2 |
4,58 | 1,3 | 0,12 | 0,92 | 0,03 | 0,21 | 0,45 | 1,59 | 0,03 |
Рассчитаем общую и объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии для личного потребления y фруктов.
Определим объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
с помощью результатов, приведенных в табл.2. Тогда получим
Общая сумма квадратов отклонений Т SS находится по зависимости (9)
с использованием данных табл.2. Суммируя результаты, приведенные в последней строке этой таблицы, получим
Используя полученные в предыдущем пункте величины TSS и ESS , рассчитаем коэффициент детерминации для регрессии по фруктам в соответствии с (7) как отношение ESS к TSS
Оценим теперь коэффициент корреляции для фактических y и прогнозных значений . Фактически, коэффициент детерминации равен квадрату выборочной корреляции между y и , т.е.
В соответствии с зависимостью (20) имеем
,
Вывод: Полученная величина коэффициента корреляции лежит в диапазоне 0,7-0,9, что указывает на хорошее состояние соответствия уравнения регрессии фактическому изменению величины у.
ТЕМА 4. Нестационарные временные ряды
Задача 23
По данным таблицы в задаче 18, где представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983гг. (США), с помощью критерия, основанного на критерии восходящих и нисходящих серий, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.
1. В таблице представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983гг. (США)
| Год | 1969 | 1970 | 1971 | 1972 | 1973 | 1974 | 1975 | 1976 |
| расходы | 6200 | 6300 | 6400 | 6600 | 6400 | 6500 | 6600 | 6700 |
| Год | 1977 | 1978 | 1979 | 1980 | 1981 | 1982 | 1983 |
| расходы | 6500 | 6700 | 6600 | 6600 | 6300 | 6400 | 6000 |
Решение
Определяем число наблюдений n =15. Для нахождения медианы производим ранжирование временного ряда, т.е. записываем все значения ряда по порядку от минимального до максимального:
6000,6200,6300,6300,6400,6400,6400,6500,6500,6600,6600,6600,6600,6700,6700.
Поскольку число наблюдений n нечетное, то вычисляем медиану по формуле ( )
Теперь вместо исходного временного ряда, содержащегося в таблице, создаем ряд из плюсов и минусов согласно правилу:
«+» если и «-» если . Члены не учитываются
Ряд, состоящий из плюсов и минусов, имеет вид
« +
», «+»,«+», «+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+», «+».
Глядя на полученный ряд из плюсов и минусов, определяем общее число непрерывных серий из плюсов и из минусов . В данном случае . Определяем протяженность самой длинной серии .
Проверяем выполнение неравенств
Вывод. Поскольку ни одно из неравенств не выполняется (4<5, а 6>4), то гипотеза о неизменности среднего значения отвергается с вероятностью ошибки от 0,05 до 0,0975.
Список литературы
1. Эконометрика. Юниты 1,2,3. //Разработка С.Б.Давыдовой. -М.:Современная гуманитарная академия. -2006.
2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело. 2001.- 400с.
3. Афанасьев В.Н., Юзданцев М.М., Гуляева Т.Н. Эконометрика. Учебник. – М.: Финансы и статистика., 2006.
4. Елисеева Н.Н., Кудряшова С.В., Костеева Т.В. . Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика., 2005.-576с.
5. Бородин С.А. Эконометрика: учебное пособие. – М.: Новое издание, 2001.
6. Колемаев В.А. Эконометрика. Учебник. – М.: ИНФРА – М, 2005 -160с.