Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1.
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел:
.
Решение.
При имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты функции:
.
Решение.
Очевидно, что функция не определена при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, – вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, – наклонная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы:
при .
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:
.
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
| x | –3 | 0 | |||
| – | 0 | + | 0 | + | |
| убывает | min | возрастает | возрастает | возрастает |
Отсюда следует, что функция
возрастает при ,
убывает при .
Точка – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
.
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
x |
–2 | 1 | |||
| – | 0 | – | 0 | + | |
| вогнутая | перегиб | выпуклая | перегиб | вогнутая |
Отсюда следует, что функция
выпуклая при ,
вогнутая при .
Точки , – точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с о
x
: , б) с oy
.
4) Теперь найдем асимптоты.
а)
А значит, является вертикальной асимптотой.
б) Теперь н
Отсюда следует, что
является наклонной асимптотой при .
5) Теперь найдем критические точки
не существует при .
6)
не существует при
| x | 0 | 2 | 4 | ||||
| + | 0 | – | Не сущ. | – | 0 | + | |
| – | – | – | Не сущ. | + | + | + | |
| y | возрастает выпуклая |
max |
убывает выпуклая |
не сущ. | убывает вогнутая |
min |
возрастает вогнутая |
Построим эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.
Далее проведем исследование этой точки.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Это означает, что точек экстремума у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции , если .
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
(Учитываем, что по условию )
То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия нам подходит только первая .
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
.
Для точки
Далее получаем
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно, – точка условного локального максимума.
.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1–3. Найти неопределенный интеграл
1. .
Решение.
.
2.
.
Решение.
.
3.
Решение.
.
4. Вычислить
.
Решение.
.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.