МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Физико–математический факультет
Курсовая работа по математическому анализу
Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»
Выполнила: Пляшешник Ксения
студентка 131 группы
Руководитель: Делюкова Я.В.
Уссурийск – 2011г.
Содержание
Введение.............................................................................................. 3
Историческая справка......................................................................... 4
Основные определения и теоремы..................................................... 5
Пример непрерывной функции без производной........................... 10
Решение упражнений........................................................................ 13
Заключение........................................................................................ 21
Список литературы........................................................................... 22
Введение
Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:
1. Изучить учебную литературу;
2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;
3. Прорешать систему упражнений.
Историческая справка
Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden , 2 февраля 1903, Амстердам , Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих , Швейцария) — голландский математик.
Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете , где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.
Основные работы в области алгебры , алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики , где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером ). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.
Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию .
Основные определения и теоремы
Предел функции в точке. Левые и правые пределы
Определение (предел по Коши, на языке Число называется пределом функции в точке , если
Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только
Определение (по Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу
Определение Число называется левым пределом функции в точке , если
Определение Число называется правым пределом функции в точке , если
Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)
Для того чтобы в точке существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.
Понятие производной. Односторонние производные.
Рассмотрим функцию заданную на множестве
1. В озьмем возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .
2.
Вычислим значение функции в точках . и
3. Найдем приращение функции в точке .
4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента .
причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным.
левой (левосторонней) производной функции в точке , а если
существует конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .
Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:
(
(
.
Рассмотрим функцию Найдем односторонние производные в точке
Следовательно, (
=-1;
(
=1
и (
(
,
то есть в точке функция производной не имеет.
Различные определения непрерывности функции в точке.
Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.
Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .
Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Определение 4 (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Понятие дифференцируемой функции
Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая при
Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .
Доказательство.
Пусть задана функция Функция дифференцируема в точке , где
При
Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.
Обратная теорема неверна.
в - не дифференцируема, хотя непрерывна.
Классификация точек разрыва
Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.
Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.
Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.
Определение Точка называется точкой устранимого разр ыва
, если , но они не равны значению функции в точке .
Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.
· –
бесконечные;
·–
бесконечный или–
бесконечный;
·
Признаки равномерной сходимости рядо
в
Признак Вейерштрасса.
Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.
Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.
Пример непрерывной функции без производной
Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
,
где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.
Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными.
Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.
Положим, затем, для к=1,2,3,…:
Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.
Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f ( x ) равенством
Так как, очевидно, 0≤ ( k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.
Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:
≤ , где -целое.
( n =0,1,2,…).
Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.
=;
Ясно, что с возрастанием n варианта .
Составим теперь отношение приращений
=
Но при k > n , число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем
(k=0,1,…,n).
Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.
Решение упражнений
Упражнение 1 ([2], №909)
Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование
Решение
На непрерывна как многочлен;
На (0;1) непрерывна как многочлен;
На (1;2) непрерывна как многочлен;
На (2; непрерывна как элементарная функция.
- точки подозрительные на разрыв
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .
Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке функция непрерывна в точке
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .
1 способ. В точке не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.
2 способ. Найдем односторонние пределы функции в точке x =0.
Упражнение 2
([1], №991)
Показать, что функция имеет разрывную производную.
Решение.
Найдем производную функции.
При
При
Предел не существует разрывна в точке
Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная.
Докажем, что функция в точке предела не имеет.
Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что не сходится к
Вывод: функция в точке предела не имеет.
Упражнение 3 ([1], №995)
Показать, что функция где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные
Решение.
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке .
Упражнение 4 ([1], №996)
Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках:
Решение.
Рассмотрим функцию в точках
Найдем односторонние пределы
=
=
Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках
Упражнение 5 ([4], №125)
Показать, что функция не имеет производной в точке .
Решение
Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим
Найдем значение функции в точках и
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке .
Упражнение 6
([4], №128)
Показать, что функция не имеет производной в точке .
Решение
Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим
Найдем значение функции в точках и
Найдем приращение функции в точке
Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента
Перейдем к пределу
Вывод: не имеет конечной производной в точке .
Упражнение 7
([4], №131)
Исследовать функцию на непрерывность
Решение.
На
На
– точка подозрительная на разрыв
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв I рода.
Заключение
В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием « Непрерывная, но не дифференцируемая функции », цели данной работы достигнуты, задачи решены.
Список литературы
1. Б. П. Демидович, / Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.
2. Г. Н. Берман, / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.
3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.
4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.
5. Ресурс Интернет http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. Ресурс Интернет http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.