СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Список использованной литературы
Задание 1
Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья ( y
– стоимость квартиры (тыс. у.е.), x
– размер общей площади (м 2
)). Данные приведены в табл. 1.4.
Таблица 1
| Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| у | 22,5 | 25,8 | 20,8 | 15,2 | 25,8 | 19,4 | 18,2 | 21,0 | 16,4 | 23,5 | 18,8 | 17,5 |
| х | 29,0 | 36,2 | 28,9 | 32,4 | 49,7 | 38,1 | 30,0 | 32,6 | 27,5 | 39,0 | 27,5 | 31,2 |
Задание:
1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий
и .
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F -статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Таблица 2
| х | х 2
|
у | ху | у 2
|
А(%) | ||||||||
| 29,0 | 841,0 | 22,5 | 652,5 | 506,3 | 2,1 | -4,5 | 4,38 | 20,33 | 18,93 | 3,57 | 12,75 | 15,871 | |
| 36,2 | 1310,4 | 25,8 | 934,0 | 665,6 | 5,4 | 2,7 | 29,07 | 7,25 | 21,28 | 4,52 | 20,40 | 17,506 | |
| 28,9 | 835,2 | 20,8 | 601,1 | 432,6 | 0,4 | -4,6 | 0,15 | 21,24 | 18,90 | 1,90 | 3,62 | 9,152 | |
| 32,4 | 1049,8 | 15,2 | 492,5 | 231,0 | -5,2 | -1,1 | 27,13 | 1,23 | 20,04 | -4,84 | 23,43 | 31,847 | |
| 49,7 | 2470,1 | 25,8 | 1282,3 | 665,6 | 5,4 | 16,2 | 29,07 | 262,17 | 25,70 | 0,10 | 0,01 | 0,396 | |
| 38,1 | 1451,6 | 19,4 | 739,1 | 376,4 | -1,0 | 4,6 | 1,02 | 21,08 | 21,90 | -2,50 | 6,27 | 12,911 | |
| 30,0 | 900,0 | 18,2 | 546,0 | 331,2 | -2,2 | -3,5 | 4,88 | 12,31 | 19,26 | -1,06 | 1,12 | 5,802 | |
| 32,6 | 1062,8 | 21,0 | 684,6 | 441,0 | 0,6 | -0,9 | 0,35 | 0,83 | 20,11 | 0,89 | 0,80 | 4,256 | |
| 27,5 | 756,3 | 16,4 | 451,0 | 269,0 | -4,0 | -6,0 | 16,07 | 36,10 | 18,44 | -2,04 | 4,16 | 12,430 | |
| 39,0 | 1521,0 | 23,5 | 916,5 | 552,3 | 3,1 | 5,5 | 9,56 | 30,16 | 22,20 | 1,30 | 1,69 | 5,536 | |
| 27,5 | 756,3 | 18,8 | 517,0 | 353,4 | -1,6 | -6,0 | 2,59 | 36,10 | 18,44 | 0,36 | 0,13 | 1,923 | |
| 31,2 | 973,4 | 17,5 | 546,0 | 306,3 | -2,9 | -2,3 | 8,46 | 5,33 | 19,65 | -2,15 | 4,62 | 12,277 | |
| 402,1 | 13927,8 | 244,9 | 8362,6 | 5130,7 | 0,0 | 0,0 | 132,7 | 454,1 | - | - | 79,0 | 129,9 | |
| Среднее значение | 33,5 | 1160,7 | 20,4 | 696,9 | 427,6 | - | - | - | - | - | - | 6,6 | 10,8 |
| 6,43 | - | 3,47 | - | - | |||||||||
| 41,28 | - | 12,06 | - | - |
Тогда
,
и линейное уравнение регрессии примет вид: .
Рассчитаем коэффициент корреляции:
.
Связь между признаком и фактором заметная.
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R 2
= 0,606 2
= 0,367
Средний коэффициент эластичности
позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:
,
допустимые значения которой 8 - 10 %.
Вычислим значение -критерия Фишера.
,
где
– число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );
– объем совокупности.
.
По таблице распределения Фишера находим
.
Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.
Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.
Таблица 3
| y | yU | y 2
|
А(%) | ||||||||||
| 5,385 | 29,0 | 22,5 | 121,17 | 506,25 | 1,640 | -0,452 | 2,69 | 0,20 | 13,74 | 8,76 | 76,7 | 38,92 | |
| 6,017 | 36,2 | 25,8 | 155,23 | 665,64 | 4,940 | 0,180 | 24,40 | 0,03 | 14,01 | 11,79 | 139,0 | 45,70 | |
| 5,376 | 28,9 | 20,8 | 111,82 | 432,64 | -0,060 | -0,461 | 0,004 | 0,21 | 13,74 | 7,06 | 49,9 | 33,95 | |
| 5,692 | 32,4 | 15,2 | 86,52 | 231,04 | -5,660 | -0,145 | 32,04 | 0,02 | 13,87 | 1,33 | 1,8 | 8,72 | |
| 7,050 | 49,7 | 25,8 | 181,89 | 665,64 | 4,940 | 1,213 | 24,40 | 1,47 | 14,42 | 11,38 | 129,5 | 44,11 | |
| 6,173 | 38,1 | 19,4 | 119,75 | 376,36 | -1,460 | 0,336 | 2,13 | 0,11 | 14,07 | 5,33 | 28,4 | 27,45 | |
| 5,477 | 30,0 | 18,2 | 99,69 | 331,24 | -2,660 | -0,360 | 7,08 | 0,13 | 13,78 | 4,42 | 19,5 | 24,27 | |
| 5,710 | 32,6 | 21,0 | 119,90 | 441 | 0,140 | -0,127 | 0,02 | 0,02 | 13,88 | 7,12 | 50,7 | 33,89 | |
| 5,244 | 27,5 | 16,4 | 86,00 | 268,96 | -4,460 | -0,593 | 19,89 | 0,35 | 13,68 | 2,72 | 7,4 | 16,58 | |
| 6,245 | 39,0 | 23,5 | 146,76 | 552,25 | 2,640 | 0,408 | 6,97 | 0,17 | 14,10 | 9,40 | 88,3 | 39,98 | |
| 58,368 | 343,4 | 208,600 | 1228,71 | 4471,02 | - | - | - | - | - | - | - | 313,567 | |
| Среднее значение | 5,837 | 34,34 | 20,860 | 122,871 | 447,10 | - | - | - | - | - | - | - | 31,357 |
| 0,549 | - | 3,646 | - | - | - | - | |||||||
| 0,302 | - | 13,292 | - | - | - | - |
Рассчитаем параметры уравнения:
,
,
.
Коэффициент корреляции
.
Коэффициент детерминации
,
следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .
,
,
следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
|
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t -распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
,
,
,
.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем
.
Тогда
.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t -распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
, ,
, .
Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1. , следовательно, качество модели не очень хорошее.
2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем . Тогда .
3. Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .
Задание 2
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.
Известны – чистый доход ( у
), оборот капитала ( х
1
), использованный капитал ( х
2
) в млрд у.е.
Таблица 4
| у
|
х
1 |
х
2 |
| 1,5 | 5,9 | 5,9 |
| 5,5 | 53,1 | 27,1 |
| 2,4 | 18,8 | 11,2 |
| 3,0 | 35,3 | 16,4 |
| 4,2 | 71,9 | 32,5 |
| 2,7 | 93,6 | 25,4 |
| 1,6 | 10,0 | 6,4 |
| 2,4 | 31,5 | 12,5 |
| 3,3 | 36,7 | 14,3 |
| 1,8 | 13,8 | 6,5 |
| 2,4 | 64,8 | 22,7 |
| 1,6 | 30,4 | 15,8 |
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение
Результаты расчетов приведены в табл. 5.
Таблица 5
| y
|
x
1 |
x
2 |
yx
1 |
yx
2 |
x
1 x 2 |
x
1 2 |
x 2
2 |
y 2
|
|
| 1,5 | 5,9 | 5,9 | 8,85 | 8,85 | 34,81 | 34,81 | 34,81 | 2,25 | |
| 5,5 | 53,1 | 27,1 | 292,05 | 149,05 | 1439,01 | 2819,61 | 734,41 | 30,25 | |
| 2,4 | 18,8 | 11,2 | 45,12 | 26,88 | 210,56 | 353,44 | 125,44 | 5,76 | |
| 3 | 35,3 | 16,4 | 105,90 | 49,20 | 578,92 | 1246,09 | 268,96 | 9 | |
| 4,2 | 71,9 | 32,5 | 301,98 | 136,50 | 2336,75 | 5169,61 | 1056,25 | 17,64 | |
| 2,7 | 93,6 | 25,4 | 252,72 | 68,58 | 2377,44 | 8760,96 | 645,16 | 7,29 | |
| 1,6 | 10 | 6,4 | 16,00 | 10,24 | 64,00 | 100,00 | 40,96 | 2,56 | |
|
>2,4 |
31,5 | 12,5 | 75,60 | 30,00 | 393,75 | 992,25 | 156,25 | 5,76 | |
| 3,3 | 36,7 | 14,3 | 121,11 | 47,19 | 524,81 | 1346,89 | 204,49 | 10,89 | |
| 1,8 | 13,8 | 6,5 | 24,84 | 11,70 | 89,70 | 190,44 | 42,25 | 3,24 | |
| 2,4 | 64,8 | 22,7 | 155,52 | 54,48 | 1470,96 | 4199,04 | 515,29 | 5,76 | |
| 1,6 | 30,4 | 15,8 | 48,64 | 25,28 | 480,32 | 924,16 | 249,64 | 2,56 | |
| 32,4 | 465,8 | 196,7 | 1448,33 | 617,95 | 10001,03 | 26137,30 | 4073,91 | 102,96 | |
| Средн. | 2,7 | 38,8 | 16,4 | 120,69 | 51,50 | 833,42 | - | - | 65,80 |
| 1,2 | 27,1 | 8,8 | - | - | - | - | - | - | |
| 1,4 | 732,4 | 77,2 | - | - | - | - | - | - |
Рассматриваем уравнение вида:
.
Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:
Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:
, где
– стандартизированные переменные,
– стандартизированные коэффициенты:
Коэффициенты определяются из системы уравнений:
, ;
;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
.
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:
,
,
.
Следовательно, при увеличении оборота капитала ( x 1
) на 1% чистый доход ( y ) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня.
Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:
,
.
Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле
.
Коэффициент множественной детерминации .
,
где
- объем выборки,
- число факторов модели.
В нашем случае
.
Так как , то и потому уравнение незначимо.
Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.
Для этого рассчитаем частные -статистики.
.
Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
.
Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
Результаты расчетов позволяют сделать вывод :
1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;
2) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.
Задание 3
1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модель денежного и товарного рынков:
R t
= a
1
+ b
12
Y
t
+ b
14
M
t
+ e 1
,
Y t
= a
2
+ b
21
R
t
+ b
23
I
t
+ b
25
G t
+ e 2
,
I t
= a
3
+ b
31
R
t
+ e 3
,
где
R
– процентные ставки;
Y
– реальный ВВП;
M
– денежная масса;
I
– внутренние инвестиции;
G – реальные государственные расходы.
Решение
1. Модель имеет три эндогенные ( R t
Y t
I t
) и две экзогенные переменные ( M t
G t
).
Проверим необходимое условие идентификации:
1-е уравнение: D =1, H =2, D +1= H - уравнение идентифицировано.
2-е уравнение: D =1, H =1, D +1=2 - уравнение сверхидентифицировано.
3-е уравнение: D =1, H =2, D +1= H - уравнение идентифицировано.
Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверим достаточное условие:
В первом уравнении нет переменных I t
, G t
Строим матрицу:
| It | Gt | |
| 2 ур. | b23 | b23 |
| 3 ур. | 0 | 0 |
det M = det , rank M =2.
Во втором уравнении нет переменных M t
det M ¹ 0
В третьем уравнении нет переменных Y t
, M t
, G t
Строим матрицу:
det M/
Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.
Система точно идентифицируема.
2. Найдем структурные коэффициенты модели.
Для этого:
Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:
R t
-b 12
Y t
=a 1
+b 12
M t
Y t
-b 21
R t
-b 23
I t
=a 2
+b 25
G t
I t
-b 31
R t
=a 3
откуда
, и , , , .
Решаем систему относительно : . Найдем
, где –
алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
,
,
,
.
Поэтому
В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .
Задание 4
Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6 .
Таблица 6
| День | Глазное отделение |
| 1 | 30 |
| 2 | 22 |
| 3 | 19 |
| 4 | 28 |
| 5 | 24 |
| 6 | 18 |
| 7 | 35 |
| 8 | 29 |
| 9 | 40 |
| 10 | 34 |
| 11 | 31 |
| 12 | 29 |
| 13 | 35 |
| 14 | 23 |
| 15 | 27 |
Требуется:
1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.
3. Сделать выводы.
4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.
Решение
Определим коэффициент корреляции между рядами и . Ррасчеты приведены в таблице 7:
| год |
|
|
|
|||||||||||
| 1 | 30 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |
| 2 | 22 | 30 | - | -6,14 | 1,64 | 37,73 | 2,70 | - | - | - | - | 10,09 | - | |
| 3 | 19 | 22 | 30 | -9,14 | -6,36 | 83,59 | 40,41 | -9,36 | 1,23 | 87,56 | 1,51 | 58,12 | 11,52 | |
| 4 | 28 | 19 | 22 | -0,14 | -9,36 | 0,02 | 87,56 | -0,36 | -6,77 | 0,13 | 45,82 | 1,34 | 2,42 | |
| 5 | 24 | 28 | 19 | -4,14 | -0,36 | 17,16 | 0,13 | -4,36 | -9,77 | 18,98 | 95,44 | 1,48 | 42,57 | |
| 6 | 18 | 24 | 28 | -10,14 | -4,36 | 102,88 | 18,98 | -10,36 | -0,77 | 107,27 | 0,59 | 44,19 | 7,97 | |
| 7 | 35 | 18 | 24 | 6,86 | -10,36 | 47,02 | 107,27 | 6,64 | -4,77 | 44,13 | 22,75 | 71,02 | 31,68 | |
| 8 | 29 | 35 | 18 | 0,86 | 6,64 | 0,73 | 44,13 | 0,64 | -10,77 | 0,41 | 115,98 | 5,69 | 6,92 | |
| 9 | 40 | 29 | 35 | 11,86 | 0,64 | 140,59 | 0,41 | 11,64 | 6,23 | 135,56 | 38,82 | 7,62 | 72,54 | |
| 10 | 34 | 40 | 29 | 5,86 | 11,64 | 34,31 | 135,56 | 5,64 | 0,23 | 31,84 | 0,05 | 68,19 | 1,30 | |
| 11 | 31 | 34 | 40 | 2,86 | 5,64 | 8,16 | 31,84 | 2,64 | 11,23 | 6,98 | 126,13 | 16,12 | 29,68 | |
| 12 | 29 | 31 | 34 | 0,86 | 2,64 | 0,73 | 6,98 | 0,64 | 5,23 | 0,41 | 27,36 | 2,27 | 3,36 | |
| 13 | 35 | 29 | 31 | 6,86 | 0,64 | 47,02 | 0,41 | 6,64 | 2,23 | 44,13 | 4,98 | 4,41 | 14,82 | |
| 14 | 23 | 35 | 29 | -5,14 | 6,64 | 26,45 | 44,13 | -5,36 | 0,23 | 28,70 | 0,05 | 34,16 | 1,24 | |
| 15 | 27 | 23 | 35 | -1,14 | -5,36 | 1,31 | 28,70 | -1,36 | 6,23 | 1,84 | 38,82 | 6,12 | 8,46 | |
| 120 | - | - | - | 0,00 | 0,00 | 547,71 | 549,21 | 3,36 | 0,00 | 507,94 | 518,31 | 330,84 | 234,47 | |
| Средн. | 8 | 28,14 28,36 |
28,36 | 28,77 |
Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.
Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:
,
Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .
Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.
Таблица 8
| 1 | 30 | 1 | 900 | 30 | -7,00 | 49 | |||
| 2 | 22 | 4 | 484 | 44 | -6,00 | 36 | |||
| 3 | 19 | 9 | 361 | 57 | -5,00 | 25 | |||
| 4 | 28 | 16 | 784 | 112 | -4,00 | 16 | |||
| 5 | 24 | 25 | 576 | 120 | -3,00 | 9 | |||
| 6 | 18 | 36 | 324 | 108 | -2,00 | 4 | |||
| 7 | 35 | 49 | 1225 | 245 | -1,00 | 1 | |||
| 8 | 29 | 64 | 841 | 232 | 0,00 | 0 | |||
| 9 | 40 | 81 | 1600 | 360 | 1,00 | 1 | |||
| 10 | 34 | 100 | 1156 | 340 | 2,00 | 4 | |||
| 11 | 31 | 121 | 961 | 341 | 3,00 | 9 | |||
| 12 | 29 | 144 | 841 | 348 | 4,00 | 16 | |||
| 13 | 35 | 169 | 1225 | 455 | 5,00 | 25 | |||
| 14 | 23 | 196 | 529 | 322 | 6,00 | 36 | |||
| 15 | 27 | 225 | 729 | 405 | 7,00 | 49 | |||
| 120 | 424 | 1240 | 12536 | 3519 | 0 | 280 | |||
| Средн. | 8,00 | 28,27 | 82,67 | 835,73 | 234,6 | - | - |
.
Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции
.
Расчетное значение критерия Фишера равно ,
,
уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.
Список использованной литературы
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.
3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.
4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.
5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.
6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.