МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Контрольная работа
по дисциплине: «Математика»
Вариант 1
Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5
Проверил:___________________________
Тюмень 2007 год
Содержание
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного
переменного……………………………………………………………………2
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6
«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»
1. Вычислить предел: .
Решение.
При имеем
Следовательно,
.
2. Найти асимптоты функции: .
Решение.
Очевидно, что функция не определена при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, – вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
.
Следовательно, – горизонтальная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы: при .
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
А затем находим критические точки.
.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
.
| x
|
|
0 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
+ |
0 |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
|
возрастает |
нет экстр. |
возрастает |
max |
убывает |
min |
возрастает |
Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при .
Точка – локальный максимум.
Точка – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .
Решение.
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
| x
|
|
2 |
|
|
|
– |
0 |
+ |
|
|
выпуклая |
перегиб |
вогнутая |
Отсюда следует, что функция
выпуклая при ,
вогнутая при .
Точка – точка перегиба.
«Дифференциальное исчисление функций и его прил
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Поскольку , функция не является четной или нечетной.
3) Точки пересечения с осями:
а) с о
x
:
б) с oy
.
4) Асимптоты.
а) .
Следовательно, – вертикальная асимптота.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что
– наклонная асимптота при .
5) Критические точки
К тому же не существует при .
6)
К тому же не существует при
| x
|
|
0 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
+ |
0 |
– |
Не сущ. |
– |
0 |
+ |
|
|
– |
– |
– |
Не сущ. |
+ |
+ |
+ |
| y
|
возрастает выпуклая |
max |
убывает выпуклая |
не сущ. |
убывает вогнутая |
min |
возрастает вогнутая |
Эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции .
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки
. Далее проведем исследование этих точек.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Вывод – локальных экстремумов у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции , если .
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки: .
В силу условия нам подходит только точка .
Поэтому будем исследовать эту точку
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки получаем .
Следовательно,
То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.
Следовательно, является точкой условного локального минимума.
«Интегральное исчисление функции одного переменного»
1–3. Найти неопределенный интеграл
1. .
Решение.
2. .
Решение.
3. .
Решение.
4. Вычислить .
Решение.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.