Контрольная работа
Основы теории вероятности
Задание 1
Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.
Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
p1
= 0.7
p2
= 0.8
p3
= 0.9
p4
= 0.7
p5
= 0.8
Проверка теоремы с помощью программы:
Текст программы:
Program Cep;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op,i,j,n,m:integer;
a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;
p:array[1..c] of real;
x:array[1..c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;
Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write(' n=',n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x[j]:=0;
a:=random;
if a<p[j] then x[j]:=1;
End;
rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);
If rab>0 then m:=m+1;
End;
pp:=m/n;
writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);
End;
ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp:=ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);
Readln;
End.
Результаты работы программы
| Опытов |
М-сходы |
Вер-ть |
| n= 200 n= 300 n= 400 n= 500 n= 600 n= 700 n= 800 n= 900 n=1000 n=1100 n=1200 n=1300 n=1400 n=1500 n=1600 n=1700 n=1800 n=1900 n=2000 n= 100 |
M= 163 M= 247 M= 337 M= 411 M= 518 M= 591 M= 695 M= 801 M= 908 M= 990 M= 1102 M= 1196 M= 1303 M= 1399 M= 1487 M= 1576 M= 1691 M= 1782 M= 1877 M= 94 |
P*= 0.815 P*= 0.823 P*= 0.843 P*= 0.822 P*= 0.863 P*= 0.844 P*= 0.869 P*= 0.890 P*= 0.908 P*= 0.900 P*= 0.918 P*= 0.920 P*= 0.931 P*= 0.933 P*= 0.929 P*= 0.927 P*= 0.939 P*= 0.938 P*= 0.939 P*= 0.940 |
Вер. в опыте: p= 0.939
Проверка в ручную:
Первый способ:
Второй способ:
Вывод: Теорема Бернулли верна
Задача № 2
Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)
Исходы:
1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1
1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2
1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3
n = 36 – кол-во комбинаций
1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4
1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6
а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26
Вероятность
б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16
Вероятность
в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5
Вероятность
Задача № 3
Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно ni
, i = 1, 2, 3, 4.
Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1
первосортных, m2
, m3
и m4
второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.
Задача № 4
В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разны
k = 11, n = 4
а) Все на разных:
n = 114
= 14641
б) Хотя бы два на одном:
Задача № 5
В двух партиях k1
и k2
% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.
k1
= 86% , k2
= 32%
A1
- доброкачественные в 1-й партии
A2
- доброкачественные в 2-й партии
а). одно бракованное:
б). два бракованных:
в). Одно доброкачественное и одно бракованное:
Задача № 6
Из 1000 ламп ni
принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1
= 700 n2
= 90 n3
= 210
p1
= 0.06 p2
= 0.05 p3
= 0.04
Пусть:
H1
– взяли из 1-й партии
H2
– взяли из 2-й партии
H3
– взяли из 3-й партии
Пусть Bi
– брак из i - й партии =>
Так как
то =>
Задача № 7
В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
k = 8, l = 7, m = 3, n = 3
Пусть:
H1
– все чистые марки
H2
– 1-чистая, 2-гашёные
H3
– 2-чистые, 1-гашёная
H4
– все гашёные
По теореме о полной вероятности:
Задача № 8
В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi
% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1
% первосортных. Куплено одно изделие.
Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.
m1
= 60 m2
= 20 m3
= 20
n1
= 70 n2
= 80 n3
= 90
Пусть:
H1
– поставил первый завод
H2
– поставил второй завод
H3
– поставил третий завод
Пусть: А – первосортных изделий =>
По формуле Бейсса:
=> так как i = 3
Задача 9
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p = 0.3 - вероятность на 1 билет
n = 15 - кол-во купленных билетов
Формула Бернули :
m = 1,2,3,4,…..,n
Производная функция :
q = 1 – p
Наивероятнейшее число выигравших билетов
=>
Наивероятнейшее число выигравших билетов : m0
= 4
- соответствующая вероятность
Задача № 10
Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.
р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове
n = 1000 - кол-во вызовов
m = 7 - кол-во “сбоев”
По закону Пуассона:
=>
Задача № 11
По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.
Биномиальный закон:
n = 3
p = 0.67
=>
=>
Литература
1. Е.С. Венцель “Теория вероятности”
2. В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”
3. Курс лекций по Теории вероятности