1) свойство вероятности: 20 стр.
Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .
Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,
Свойство 3. Для любого события . , т.к. , то и следовательно .
Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:
Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей) .
Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то .
Свойство 7. Если (А влечет В), то . , тогда
Свойство 8. Если , то . Тогда
Свойство 9. . , .
Свойство 10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то . Т.к. , то по свойству 6:
2)условная вероятность, независимость:
Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). .
Теорема (умножение вероятностей): .
Теорема (обобщенная теорема умножения).
3)формулы полной вероятности и Баеса: 23 стр.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
, или .
Так как события образуют полную группу, то можно записать .
Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i{1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей
Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.
Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:
,
Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.
4)схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:
Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.
, , p+q=1.
Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.
Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания
независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Элементарным исходом будет являться:
(w1,w2,…,wn), .
Всего таких исходов 2n.
(1)
Формула (1) показывает, что события независимы.
Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .
По теореме сложения получим
Таким образом, получим
—формула Бернулли.
Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,
P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:
где
Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.
5)случайные велечины, функция распределения и её свойства.
Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.
.
.
Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.
Свойства функции распределения.
1.Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x1<x2 .
Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий
Тогда по теореме сложения вероятностей получим
, т.е.
. Поскольку , то .
2.Для любых
Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.
3.
, .
, .
4.Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).
5. Вероятность того, что значение случайной
.
Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности
.
Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то
.Отсюда .
6)мат. ожидание дискретной случайной велечины и его свойства (включая теорему 1)
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .
Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).
1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
M(C)=C.
Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .
Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.
2.множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(CX)=CM(X).
Если случайная величин Х имеет ряд распределения
| X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
| P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
Ряд распределения случайной величины СХ
| СХ |
Сx1 |
Сx2 |
… |
Сxn |
… |
| Р |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
Математическое ожидание случайной величины СХ .
Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn
3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:
.
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .
Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений события . По свойству 4:
.
Согласно примеру 2 . Таким образом, получим .
7)дисперсия дискретной случайной велечины и её свойства (включая теорему2): 43 стр.
Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число .
Свойства дисперсии.
1.Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:.
.
3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .
Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Хi—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.
.
. Т.к. MX1=p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .