5
6
вариант
Задача 1
1. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:
| № п/п |
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
| Общая сумма ущерба, млн.руб. |
26,2 |
17,8 |
31,3 |
23,1 |
27,5 |
36,0 |
14,1 |
22,3 |
19,6 |
31,3 |
| Расстояние до ближайшей станции, км |
3,4 |
1,8 |
4,6 |
2,3 |
3,1 |
5,5 |
0,7 |
3,0 |
2,6 |
4,3 |
Построить поле корреляции результата и фактора
Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции).
На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.
2. Определить параметры а
и b
уравнения парной линейной регрессии:
где n
число наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10)
a
и b
искомые параметры
x
и y
фактические значения факторного и результативного признаков.
Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (
ŷ).
В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.
| № |
X |
Y |
X² |
x·y |
y² |
ŷ |
(y-ŷ) |
(x-x) |
(ŷ-y)² |
|
| 1. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
| 2. |
3,4 |
26,2 |
11,56 |
686,44 |
89,08 |
26,20 |
0,00 |
0,0729 |
1,6384 |
|
| 3. |
1,8 |
17,8 |
3,24 |
316,84 |
32,04 |
18,70 |
0,81 |
1,7689 |
36,6884 |
|
| 4. |
4,6 |
31,3 |
21,16 |
979,69 |
143,98 |
31,80 |
0,25 |
2,1609 |
47,3344 |
|
| 5. |
2,3 |
23,1 |
5,29 |
533,61 |
53,13 |
21,00 |
4,41 |
0,6889 |
15,3664 |
|
| 6. |
3,1 |
27,5 |
9,61 |
756,25 |
85,25 |
24,80 |
7,29 |
0,0009 |
0,0144 |
|
| 7. |
5,5 |
36 |
30,25 |
1296 |
198 |
36,00 |
0,00 |
5,6169 |
122,7664 |
|
| 8. |
0,7 |
14,1 |
0,49 |
198,81 |
9,87 |
13,50 |
0,36 |
5,9049 |
130,4164 |
|
| 9. |
3 |
22,3 |
9 |
497,29 |
66,9 |
24,30 |
4,00 |
0,0169 |
0,3844 |
|
| 10. |
2,6 |
19,6 |
6,76 |
384,16 |
50,96 |
22,40 |
7,84 |
0,2809 |
6,3504 |
|
| 11. |
4,3 |
31,3 |
18,49 |
979,69 |
134,59 |
30,40 |
0,81 |
1,3689 |
30,0304 |
|
| ∑
|
31,3
|
249,2
|
115,85
|
6628,78
|
863,8
|
249,1
|
25,77
|
17,881
|
390,9900
|
|
Коэффициент регрессии (b
) показывает абсолютную силу связи между вариацией x
и вариацией y
. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб.
Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:
3. Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:
В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y
и
x,
r = 0.957.
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации
Это означает, что доля вариации y
объясненная вариацией фактора x
включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии
4. Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:
и ее среднее квадратическое отклонение:
Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:
Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как
Полученное фактическое значение tb
сравнивается с критическим tk
, который получается по талблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L
=
0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы
Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к.
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера
Фактическое значение критерия для уравнения определяется как
Fфакт
сравнивается с критическим значением Fк
, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L
=0,05
(для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:
Следовательно, при F
факт
>
Fк
уравнении регрессии в целом признается существенным.
5. По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции
уменьшится на 5% от своего среднего уровня
Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:
а точечный прогноз :
Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L
=0,05)
по формуле
Табличное значение t
-
критерия Стьюдента для уровня значимости L
=0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8,
Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле
Отсюда доверительный интервал составляет:
Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10)
, а также тем, что по мере удаления xk
от ширина доверительного интервала увеличивается.
Задача 2
Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании.
| № |
цена акции лоллар США |
доходность капитала % |
уровень дивидендов % |
| 1 |
25 |
15,2 |
2,6 |
| 2 |
20 |
13,9 |
2,1 |
| 3 |
15 |
15,8 |
1,5 |
| 4 |
34 |
12,8 |
3,1 |
| 5 |
20 |
6,9 |
2,5 |
| 6 |
33 |
14,6 |
3,1 |
| 7 |
28 |
15,4 |
2,9 |
| 8 |
30 |
17,3 |
2,8 |
| 9 |
23 |
13,7 |
2,4 |
| 10 |
24 |
12,7 |
2,4 |
| 11 |
25 |
> 15,3 |
2,6 |
| 12 |
26 |
15,2 |
2,8 |
| 13 |
26 |
12 |
2,7 |
| 14 |
20 |
15,3 |
1,9 |
| 15 |
20 |
13,7 |
1,9 |
| 16 |
13 |
13,3 |
1,6 |
| 17 |
21 |
15,1 |
2,4 |
| 18 |
31 |
15 |
3 |
| 19 |
26 |
11,2 |
3,1 |
| 20 |
11 |
12,1 |
2 |
1. построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров
Составим расчетную таблицу
| № |
y |
X1 |
X2 |
X2*X2 |
X1*X1 |
y*X1 |
y*x2 |
X1*X2 |
| 1 |
25 |
15,2 |
2,6 |
6,76 |
231,04 |
380 |
65 |
39,52 |
| 2 |
20 |
13,9 |
2,1 |
4,41 |
193,21 |
278 |
42 |
29,19 |
| 3 |
15 |
15,8 |
1,5 |
2,25 |
249,64 |
237 |
22,5 |
23,7 |
| 4 |
34 |
12,8 |
3,1 |
9,61 |
163,84 |
435,2 |
105,4 |
39,68 |
| 5 |
20 |
6,9 |
2,5 |
6,25 |
47,61 |
138 |
50 |
17,25 |
| 6 |
33 |
14,6 |
3,1 |
9,61 |
213,16 |
481,8 |
102,3 |
45,26 |
| 7 |
28 |
15,4 |
2,9 |
8,41 |
237,16 |
431,2 |
81,2 |
44,66 |
| 8 |
30 |
17,3 |
2,8 |
7,84 |
299,29 |
519 |
84 |
48,44 |
| 9 |
23 |
13,7 |
2,4 |
5,76 |
187,69 |
315,1 |
55,2 |
32,88 |
| 10 |
24 |
12,7 |
2,4 |
5,76 |
161,29 |
304,8 |
57,6 |
30,48 |
| 11 |
25 |
15,3 |
2,6 |
6,76 |
234,09 |
382,5 |
65 |
39,78 |
| 12 |
26 |
15,2 |
2,8 |
7,84 |
231,04 |
395,2 |
72,8 |
42,56 |
| 13 |
26 |
12 |
2,7 |
7,29 |
144 |
312 |
70,2 |
32,4 |
| 14 |
20 |
15,3 |
1,9 |
3,61 |
234,09 |
306 |
38 |
29,07 |
| 15 |
20 |
13,7 |
1,9 |
3,61 |
187,69 |
274 |
38 |
26,03 |
| 16 |
13 |
13,3 |
1,6 |
2,56 |
176,89 |
172,9 |
20,8 |
21,28 |
| 17 |
21 |
15,1 |
2,4 |
5,76 |
228,01 |
317,1 |
50,4 |
36,24 |
| 18 |
31 |
15 |
3 |
9 |
225 |
465 |
93 |
45 |
| 19 |
26 |
11,2 |
3,1 |
9,61 |
125,44 |
291,2 |
80,6 |
34,72 |
| 20 |
11 |
12,1 |
2 |
4 |
146,41 |
133,1 |
22 |
24,2 |
| итого |
471 |
276,5 |
49,4 |
126,7 |
3916,59 |
6569,1 |
1216 |
682,34 |
Опрелеляем
По Данным таблицы составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными:
Разделим каждое уравнение на коэффициент при a
.
Вычтем первое уравнение из второго и третьего
Разделим каждое уравнение на коэффициент при
Сложим оба уравнения и найдем
Таким образом, уравнение множественной регрессии имеет вид
Экономический смысл коэффициентов и в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение цены акции при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении доходности капитала на один процентный пункт, цена акции измениться в том же направлении на 0,686 долларов; при изменении уровня дивидендов на один процентный пункт цена акции изменится в том же направлении на 11,331 доллара.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
Будем рассчитывать частные коэффициенты эластичности для среднего значения фактора и результата:
Э- эластичность цены акции по доходности капитала
Э- эластичность цены акции по уровню дивидендов
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии
формулы определения:
где j-
порядковый номер фактора
- среднее квадратическое отклонение j-го
фактора (вычислено раньше)
=2,168 = ,0484
- среднее квадратическое отклонение результативного признака
=6,07
4. сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
Коэффициенты эластичности факторов говорят о том, что при отклонении величины соответствующего фактора от его средней величины на 1% (% как относительная величина) и при отвлечении от сопутствующего отклонения другого фактора входящего в уравнение множественной регрессии, цена акции отклонится от своего среднего значения на 0,403% при действии фактора (доходность капитала) и на 1,188% при действии фактора (уровень дивидендов).
Таким образом сила влияния фактора на результат (цену акции) больше, чем фактора , а сами факторы действуют в одном и том же положительном направлениии.
Количественно фактор приблизительно в три раза сильнее влияет на результат чем фактор . ()
Анализ уравнения регрессии по стандартизованным коэффициентам показывает, что второй фактор влияет сильнее на результат, чем фактор (), т.е. при учете вариации факторов их влияние более точно.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.
Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам:
Частные коэффициенты корреляции определяются по ф-ле:
Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:
Матрица парных коэффициентов корреляции
Из таблицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между и можно оценить как слабую, между и - как высокую, между и связь практически отсутствует.
Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод об отсутствии в ней мультиколлениарности факторов.
Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной коэффициент корреляции каждого из факторов ( и ). Они характеризуют связи между результативными признаками (ценой акции) и соответствующим фактором x
при
Причина различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный коэффициент отражает долю вариации результативного прихнака (цены акции), дополнительно объясняемой при включении фактора (или ) после другого фактора (или ) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором (или ).
6
.